Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Из второго закона Ньютона 4г о Йг т —, =- — [уВ] — й— йоо с 41 получим уравнение — = — йи Е = ти,12, 2 2 41 из которого следует, что при 1 )) т (т = ти/й) кинетическая энергия частицы стремится к нулю. Первый интеграл уравнения (Ц т (у — ъо) = — [гВ] — йг. Ч с (2) Пусть напряженность магнитного поля В = (О, О, В) . Из (2) найдем поперечное расстояние р от точки остановки до оси е и смещение частицы х вдоль оси хч сот В Рт =— — —,„= — ио 1 Е (Йт)о Т =- 4 ~ еЬ 2Ео 1 ео — е о где хо = а (й — 1), й =- е (аЕо.
Вычисляя интеграл, получим Т вЂ” 4а ~ъ4 — 1 — й агс13 ъ'й — 11. 2Ео 1.4.6. Заряд движется в однородном постоянном магнитном поле. Найти первые интегралы. 1.4.5. Наложение сильного магнитного поля на атом приводит к ограничению движения в плоскости, перпендикулярной вектору напряженности поля и, как следствие, превращению трехмерной потенциальной ямы в одномерную. Поэтому задача о движении электрона в атоме водорода и сильном магнитном поле напряженностью В =. (О, О, В) сводится к задаче движения в одномерном кулоновом поле, эффективный потенциал которого р(е) = — е/(]е] + а), где ив — (еВ)1~о параметр обрезания [133[.
Найти период движения электрона. Решение. Полная энергия электрона Е =- -Ео. Согласно определению периода [Гл. 1 Уравнения Ньютона 52 Решение. Пусть п — единичный вектор, параллельный вектору индукции: В =- Вп. Умножая уравнение движения тг = — [гВ] с скалярно на п, находим тгп = р,о. Запишем теперь закон изменения момента импульса = — [г [гВ] ]. После свертки с вектором п получим оп еВ .. еВ 4 о о еВ д Пг с = — (пгпг — гг) = — — ((пг) — г ) =- — — — [гп], 2с <[Г 2с ао следовательно, Мп+ (еВ/2с) [гп]~ =- М,о.
Это выражение совпадает с проекцией момента обобщенного импульса М = т [гг] + — [гА], А = — [Вг], на направление вектора п. Умножая (1) на г, получим третий интеграл тго[2 =- Е, следовательно, кинетическая энергия частицы остается постоянной величиной. 1.4.7. Пучок электронов движется в однородном постоянном магнитном поле, вектор индукции которого В = (О, О, В) перпендикулярен плоскости экрана.
Начальные скорости электронов т(О) = (ио соэ оп ио в[п оп и) отличаются значением угла со. Найти условие, при котором электроны фокусируются в одной точке. Решение. Поместим начало координат в точку вылета электрона, а ось с направим параллельно вектору индукции В. Уравнения движения имеют вид еоВ х= — юу, ю= тс ' (2) у=юг, Я=О, Из уравнений (2) находим в(8) = и1 и первый интеграл (3) у юг =уо.
Решение системы уравнений (1), (3) т = — — ' (1 — совшг) + — вшш1, уо йо (4) у =- — ' в[в ш1+ — (1 — сов оо1). уо ао Движение частиц в электромагнита х полях 53 Полагая ио = Йиц представим (4) в виде х =- — Й япа+ Й яп(оЛ+ а), у = Й сов а — Й сов (оЛ + а). Проекцией траектории на плоскость ху является окружность (х+ Й япа) +(у — Й сова) = Й. (1) (2) тй = р„ трФ р В=-Мг 2с — (р + р~~р~+ йг) = Е.
(3) Из (1) — (3) находим х = йо1+ со, .г 2 т Введем обозначения г р~~ = 2т (Š— — "), рхс еоВ ' 2М„ ты еоВ =то, ог= тс тогда г рг = о' Г4Йгрг — (Йг — тг+ рг)г~ = 1р г = — (4р г.о — (р — Й + г.о) ] . (4) 4р Пусть т -- время пролета электронов до экрана, расположенного на расстоянии Е от точки вылета: В = ит. Электроны, вылетающие под различными углами а, фокусируются в разных местах экрана. Однако при условии оэт = 2яп (и — целое число) все электроны фокусируются в точке (О, О, Е).
Следовательно, длина трубки должна удовлетворять условию Ь = 2гг (тси,геоВ) п. Например, при В = 100 Гс, и = 10т смгс, п = 4 длина трубки А = 14,3 см. Частота вращения и = ог,г2я = = 280 МГц. 1.4.8. Электрон движется в однородном магнитном поле. Найти решение уравнений движения в цилиндрических координатах. Решепие. Запишем первые интегралы в цилиндрических координатах: [Гл. 1 Уравнении Ньютона Границы движения [й — то[ < р < й+ то по координате р, получаемые из условия р > О, определяют в плоскости яу кольцо, внутри которого расположена траектория электрона. После интегрирования (4) получим [16) р (6) = й + то + 2йто сов ш (6 — 6о).
Зависимость ог(6) определяется уравнением (2): 1 [йг — т,'[ ог 'гг(с) = — ог (с со) + агс1К г г 1К вЂ” (о — со). 2 йгл тг 2 Из (2), (4) находим уравнение проекции траектории на плоскость ау 4 [р- (й' — т')(р) уг уго = 4тг [р (йг тг) ~р)г й'= р'+ о — 2р о (р — ро). Очевидно, й является радиусом окружности, а то расстояние между началом координат и центром окружности.
Если М, > О, то й > то окружность охватывает начало координат; если М, < О, то й < то окружность не охватывает начала координат. 1.4.9. Электроны движутся между обкладками цилиндрического конденсатора в аксиально-симметричном постоянном магнитном поле (ось симметрии совпадает с осью конденсатора). Начальная скорость электронов, испущенных внутренней обкладкой, равна нулю. Найти значение индукции В, при котором сила тока обращается в нуль. Решение.
Потенциальная энергия электрона Г1 .= — еоог, 1и р/а о!л6/а ' где По - - разность потенциалов между обкладками, а, 6 - радиусы внутренней и внешней обкладок. Из законов сохранения энергии, момента и импульса получим треф — — р В = тпр~'тг(О) — — а В, е = ео. Полагая ио = О., Эг(О) = О, ео = О, р = Ь, получим систему — (р + 6~уг~) — еойо = Ог 2 т6у — — ЬВ= — — аВ. г ео г ео г 2с 2с Движение частиц о элентромагнитнь х полях Исключая ээ(Ь), находим 2Ьс 2гпуо 2 2 Ь вЂ” а ео 1.4.10. Электрон движется в скрещенных однородных, постоянных магнитном и электрическом полях Е = (О, Е, 0), В = (О, О, В).
Найти г(М), если г(0) = О, и(0) = ио. Решепие. Уравнения движения (1) (2) Б=О, х= — — юу, еоВ ~а = тс ео у=-ых — — Е, т Из уравнений (1) находим х(1) = йоЬ и первый интеграл х+ оэу = хо. Подставляя (3) в (2), получим уравнение (3) У+ы У=-ыхо — — Е, ео т решение которого 1 /еоЕ Уо у =- — ] — хо) (сов ш1 — Ц+ — ' сйпоа1. оэ (,тоэ ) оэ (4) Из (4), (3) находим еоЕ1 соЕ х =- (хо — ) созоэ1 — уо з]поэ1+ ты) тоэ 1 /. еоЕ1 уо еоЕ х= — (хо — ) з]поЛ+ — '(созы1 — 1)+ 1.
(5) х (, тоэ) оэ то) х(1) =- ио1, у(1) = — — ' Е1, у(1) =- — — ' Е1. (6) т 2т Эксперимент Томсона. В 1897 г. Дж. Дж. Томсон открыл первую элементарную частицу электрон. Он разгадал природу катодных лучей и показал, что они представляют собой поток частиц с наибольшим значением отношения заряда к массе ео/т электронов. Пучок электронов влетает со скоростью и(0) = (ио, О, 0) в конденсатор две параллельные пластины длиной 1 в области 0 < х < Е В конце трубки в плоскости х =- 1+ э расположен экран, покрытый сернистым цинком.
В первой фазе эксперимента электрон движется в электрическом поле. Полагая В = О, получим из (4), (5) [Гл. 1 Уравнение Ньютона 56 В момент вылета из конденсатора 1г —— 1/ио компонента скорости у(П) =- — еоЕ11(тио). Далее электрон движется с постоянной скоростью в интервале времени в/ио. Величина отклонения по оси у равна Ьу = — е1, е[ = еоЕ1в[(тио). Можно исключить неопределенную в эксперименте скорость электрона ио, помещая конденсатор в магнитное поле индукцией В (О, О, В). Теперь из (4), (5) следует, что при значении индукции магнитного поля В = Е1ио (или оо =- еоЕ/ты) электроны в скрещенном электрическом и магнитном полях будут двигаться по прямой линии: л(1) =.
ио1, у(1) =- О, е(1) =- О. Отношение ео/т принимает вид ео/т = Ее[/(1вВз). В опыте Томсона Е = 10в В/м, В = 3,6. 10 4 Тл, 1 = О 05 м, в = 1,1 м, д = О 1 м. 1.4.11. Электроны движутся в плоском конденсаторе. Плоскости р =- О, у = д являются катодом и анодом. Разность потенциалов между ними равна 11о. Вектор магнитной индукции постоянного однородного поля В =- (О, О, В). Электроны эмитируются с начальной скоростью то -— — О.
Найти значение В, при котором ток отсутствует. Решение А Полагая в решении предыдущей задачи Е = — Но/4, то — — О., получим у(1) = япоЛ, ту а у(1) = ' ', (1 — совоЛ) тсйо~ По условию задачи в момент времени 1 = т у(т) = е[., у(т) =- 0: япют = О, (1 — совыт) = 4, е Н т4ю~ следовательно, е (2туа) в. Потенциальная энергия электрона Н = — ео~р, р = (1у/е[. Используем интегралы энергии и обобщенного импульса ° 2 — г — ео — у = О, х + юу = О, 1 =-- О.
2 д Полагая у = д, у = О, получим соотношение (1). 1.4.12. Частица движется в однородных постоянных электрическом и магнитном полях. Найти т(1). Решение. Уравнение движения частицы тг' = еЕ+ — [гВ) с после замены г=с[ ~+ъ' В Движение частиц в электромагнитных полях 57 преобразуется в уравнение тФ' = е (В/Вг) (ЕВ) + (е/с) [т'В). Далее, подстановка т' =- е(В11т) (ЕВ) 1+ гг приводит к уравнению тФ =- = (е,1с) [тВ1. Введем три орта В [ЕВ; ег = —, е1 = ., е2 = [еге1). В ' [[ЕВ [' Полагая и = и„еео получим систему и1 — 1ои2 и2 — аги!1 решение которой и1 = С1 сов оэ1 + Сг згп ог1, иг =- — С1 шп аг2 + Сг соз аг8, иг=С2, следовательно, г(1) = с г + г (ЕВ) 1+ и(1). [ЕВ) е В е . тх = — — 2В, с е .
тх = — тд + — хВ с гцу = О., находим два интеграла х + агг = а1Н, у = О. Исключая х, у из закона сохранения полной энергии — (х +у +Д )+туг=- — ио+тдН., получим уравнение 22 = 2д (Н вЂ” 2) — аг~ (Н вЂ” 2)2 + по~. Полагая 22 = О, получим значения верхней и нижней границ движения 21 2 = Н + 1о 2 ( — д т д'2 + ио21ог ) .
Первое слагаемое в (1) — скорость дрейфа, второе слагаемое обусловлено ускоренным движением в направлении вектора В. 1.4.13. Заряд движется в однородных постоянном поле тяжести д = = — (О, О, — д) и магнитном поле индукции В = (О, В, 0). Начальные условия г(0) = (О, О,. Н), т(0) =- (О, О, ив). Найти границы области движения по координате 2. Решение. Из уравнений движения [Гл. 1 Уравнения Ньютона 58 1.4.14. Электрон движется в магнитном ондуляторе., индукция поля которого В = (О, О, Во савау).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
