Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Решение. Из закона сохранения энергии найдем скорость частицы и = (2/т) (Š— С). Переходя к новому аргументу 8 — ~ з, где з длина дуги, представим второй закон Ньютона в виде д Нг дь — и — = дя дз дг Это уравнение формально совпадает с дифференциальным уравнением для световых лучей (12, 13(: е1 дг — и — =- ~?н, аз е'3 здесь и — коэффициент преломления. А. Пусть С = [/(е).
Тогда сохраняются величины 4х ду и — =Се, и — =Се. дз ' дз Если частица движется в плоскости ех, то е[х/е[з = гйп ч, где ч — угол между осью е и касательной к траектории. Соотношение и(е) гйп у(е) = Сз аналогично закону преломления п(з) зш ?(е) =- сопз1 для плоскослоистых сред. Однако п =- с/иф, где иф — фазовая скорость света. Возникает вопрос: верно ли данное утверждение? Согласно квантовой механике в малой окрестности пространства волновой фронт является плоским, причем частота и величина волнового вектора ы = —, й =- — 2гп (Š— Ц.
Е 1 1.3] Интегрирование уравнений дв женил Групповая скорость волны вероятности и = дш/и1е = 2т(Š— 11). Плоскости постоянной фазы распространяются со скоростью иф ы/й = Е/ти. Поэтому (1) действительно совпадает с законом преломления в оптике (Е/тиф) яп у .= сопв1. В. Пусть среда сферически симметрична 11 =. 11(~г~). Тогда со- дг1 храняется вектор и [г — ~.
Отсюда следует, что траектории являются дв плоскими кривыми. Вдоль каждой траектории выполняется условие ти яп у = сопв1, где ч — угол между вектором г и касательной к траектории. 1.3.8. Пучок частиц с одинаковой скоростью рассеивается сферически-симметричным «ядромо. Потенциальная энергия взаимодействия ядра и частицы — — (1 — — а), .т<с, О, т>с.
Показать, что частицы со скоростями ио = (1о/т фокусируются в одной точке независимо от величины прицельного параметра р < < с. Решение. В области т > с частица движется прямолинейно (рис. 1.3.8). Внутри области взаимодействия траектория представляет часть дуги эллипса. Согласно условию задачи Е =-. Ц>/2, М =- тпр Рд, япооо = р/с. Используя решение задачи 1.3.4, найдем параметры с1 = 2 (Е/Оо+ + 1/2) с = 2сз, с~ ~— — рс. Уравнение траектории в плоскости е =- О 2 ° 2 с яп ооо 1-Гсовро сов2(Оо — р ) Полагая в (1) т = с, оо =. Ооо~ получим значение угла оо = я!2+ ро/2. Найдем теперь значение угла ~р1 в точке выхода частицы из области взаимодействия.
Полагая Рис. 1.3.8 в (1) оо = ~рп т =- с, получим уравнение совооо+сов2(р1 — р ) =- О, из которого следует оо1 = я. Таким образом, траектории всех частиц пучка пересекают ядро в одной точке. Угол рассеяния О между векторами мм и иове равен ооо. р = с яп в.
При квантово-механическом рассмотрении этой задачи инверсия волнового фронта налетающей частицы приведет к рассеянию назад под углом я — д. В оптике и технике СВЧ применяется линза Лунеберга, показатель преломления которой внутри сферы радиуса с равен п(т) = 2— — (т(с)з [132]. Каждый луч пучка параллельных лучей на рис. 1.3.8 представляет собой касательную к дуге эллипса на поверхности сферы. [Гл.
1 Уравнения Ньютона Найти уравнение траектории, если полная энергия равна нулю. Решение. Поскольку сохраняется вектор Мо момент импульса, то траектория лежит в плоскости гМо = О. Совместим ось з с вектором Мо и выберем начальные условия так, чтобы о(8) = О. Тогда первые интегралы принимают вид Пусть г(0) = го, и(0) = то. Начальные положение и скорость должны быть связаны условием Мо с у2тпро т ы = — (1+ 1 — 4И), Точки поворота существуют при условии 0 < Мо < с тНо/2.
Если Мо = — О, то возможно падение на центр. Найдем уравнение траектории. Пусть т(ооо) = то, т(оо ) = т ы. Тогда из (1), (3) получим Преобразуя интеграл к виду й е[(с т — ст ') 1 — 4йо — йо(с-'т — ст-1)о + Фт~ 1.3.9. Потенциальная энергия частицы тпт р=Мо, — ( + Ф)+Н()=Е Исключая из (1), (2) Д получим уравнение Из условия то ) 0 найдем границы области движения частицы ат + 'Рт. 2 — — Н,ф т (1) (2) 1.3] Интегрирование уравнений движения находим с = т + — 1 — 4йэ сов(ог — уг,„).
ст й Это соотношение можно представить как уравнение окружности а тт+ Ь + 2тЬ сов(ег — ~р ), (4) Ь=— 26 1 — 4И а= сз+Ьо=— 26 1/ С2 3 Рис. 1,3.9 ем теоремы косинусов для треугольника СОМ. Заметим также, что т(оо + я/2) = с. Период движения частицы Т=.2 Йт того = я 2 Мо КФ(т) т Точки, лежащие на произвольной хорде МоМ„связаны преобразованием инверсии г т = — эг = эго+ (5) то По этой же причине т „= сз(т~ы. Время движения двух частиц, испущенных из точки го со скоростями уг(0) = ъо и ъгз(0) = — ъо, до точки М; одинаково. Для определения угла у положим в (4) оо = ~ро. с — то = 6 сов(уо — уг ). 2то с радиусом а, центр которой С находится на прямой ОР на расстоянии Ь = ~СО~ от начала координат. На рис.
1.3.9а изображена траектория частицы при Мо ) О. Соотношение (4) является следстви- [Гл. 1 Уравнения Ньютона о 2,3 п»(т — т«» ) =- — — + —, тот р = Мо. Произведем замену аргумента 1 — » ~р: получим из (1) уравнение 4 и , +(1 — в) «[»»' Мс »по 1 и = р' 1 и =-— т 2~3 ор (2) Если в ( 1, то решение (2) и(~р) =- + С соз (Л вЂ” э р+ у). 1 р (1 — в) Переходя к координате т,получим уравнение траектории т(р) = 1 + е сов (»т1 — в ~р + у) где е = Ср (1 — в).
Траектория представляет собой незамкнутую кривую. В случае в > 1 — + С сЬ(~~~ — 1 р+ у). 1 1 т р(1 — э) Учитывая (5), находим, что левая часть равна отрезку КО. Это обстоятельство приводит к удивительному следствию; траектории множества частиц (с различными скоростями), испущенных в точке Мо, пересекут точку М; (рис. 1.3.9б). В оптике аналогичные траектории лучей окружности возможны т 2 1 — 1 в среде с коэффипиентом преломления п(т) = по 1+ [ — 1 ~ . Та~с~ ~ кая среда называется «рыбьим глазом», и ее свойства были впервые рассмотрены Д.К. Максвеллом в 1858 г. [14].
«Рыбий глаз» является безаберрационным прибором, в котором отображение осуществляется преобразованием инверсии. 1.3.10. Частила движется в поле с потенциальной энергией Н(г) = = — аут+ Д(т~. Найти уравнение траектории. Решение. Эта задача может быть решена стандартным методом в результате использования законов сохранения момента импульса и полной энергии. Здесь мы приведем решение, позволяющее не прибегать к вычислению интегралов.
Из второго закона Ньютона следуют два уравнения: 1А] Движение частиц в элентрвмагнитн х полях Наконец, при в = 1 имеем траекторию -= — р +с,а+со. 1 г г 2р При о = 0 траектории называют спиралямн Котов 11о]. 1.3.11. Частица движется в поле с потенциальной энергией У(г) = — Но (го(г)~ 1п(г(го) . Найти уравнение траектории, если полная энергия частицы равна нулю. Решение. Записывая первые интегралы в координатах г, р (х = 0), получим уравнение + ггт, 2 — (Е - Нф(г)) т Мг Вычисляя интеграл, находим т сгого г М г г г' =- г'о ехр г (Эг — ~рт) + 2тго Бо ~ 1А. Движение частиц в электромагнитных полях 1А.1.
Электрон движется в электрическом поле ондулятора Е(г) = = (Е соз 6х, О, 0). Найти г(с), если г(0) = О, т(0) = (О, О, ио). Решение. Из уравнений движения Б=О, тх =- — ееЕ соз 6х, у .=- О, находим р(Х) = Ог х(Х) = иоХ, 2еоЕ . гвво8 т6 ио 1А.2.
Две сетки, через которые могут проходить электроны, расположены в плоскостях хг = 6 и хг = Н > 6. Разность потенциалов между сетками о' = ~рг — ~рг > О. В начальный момент времени г(0) = О, т(0) = (ио созе, О, ио в]по). Показать, что существуют три траектории, пересекающие ось х в одной точке. Решение. Из второго закона Ньютона следуют уравнения пгх =О, гпр =-О, х ( 6, тБ = — воЕ, 6 ( ~х ~( Н, тй =О, [Гл. 1 Уравнен л Ньютона 50 где Е = М[(Н вЂ” 6).
Предположим, что тпоп ьйпза < 2еоГ. Дальность полета электрона 1(се) =-26 с1яее+ — гйп2а, а =- а т (Н вЂ” 6) Найдем максимальную дальность полета. Производя замену и = йй са, получим функцию 1(и) = — + 2— 26 оа и и а 1+и Из уравнения д1/ ди =- 0 найдем положения экстремумов функции 1(и): 1 — 2ст Л вЂ” 8с 6а из и —— 2(сг1) оа с = — а При 6 =- 0 получим известный результат ее = — и/4. Если а6 < ио < а (Н вЂ” 6), то существуют два экстремальных положения дальности 1 ы и 1 Значения углов, при которых частица достигнет заданной дальности 1о винтервале1 ы < 1о < 1 „, определяются уравнением и' — (й+е) и + + и — е = О, 6 = 2иф1оа., е = 26/1о. Следовательно, при условии (1) существуют три траектории, пересекающие ось г в одной точке.
Рассмотренная задача аналогична задаче о распространении электромагнитных волн при наклонном падении на линейный слой ионосферы. 1.4.3. Найти амплитуду колебаний свободного электрона при действии на него излучения радиостанции мощностью Р = 100 кВт, находящейся на расстоянии г = 10 км. Длина волны Л = 500 м. Рееаение. Для описания взаимодействия нерелятивистских частиц с электромагнитной волной достаточно ограничиться дипольным приближением [2). В этом случае уравнение движения имеет вид тг = еЕо созоЛ.
Выберем начальные условия в виде г(0) = О, т(0) = то. Интегрируя (1), находим г(1) = а Ео (1 — соэ ю1) + то1. ты Для вычисления амплитуды колебаний электрона а = еЕо/тып найдем величину напряженности поля. Для изотропного излучателя Р (Я) 4пгт Я Е~ где Я величина вектора Умова †Пойнтин, следовательно, Еоз = 2Р[сгп. Амппитуда колебаний а =- ( — ) [ ) — = 0,3 см. (.тг) [,2тс) с Движение частиц о элентроэлагнитн х полях 1.4.4. Заряд движется в среде в однородном магнитном поле. Найти расстояние от точки влета до точки остановки заряда. Решение. Пусть сила сопротивления Ре = — йу. Начальные условия г(0) = О, у(0) =- уо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
