Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Таким образом, =~ Е21, где ш — угловая скорость трехгранника Френе, ш = йез + Згем 1.1.25. Самолет садится на корабль, движущийся со скоростью ч, в восточном направлении. Скорость ветра ч2 направлена на север. Самолет снижается по отношению к кораблю вертикально со скоростью чз. Определить скорость самолета по отношению к движущемуся воздуху. Решение. Скорость точки а в системах отсчета Я и Я', движущихся поступательно относительно друг друга, можно записать в виде ч,ч = = ч„з +чз 3, где ч,ь скорость тела а относительно тела 6.
Очевидно, ч,ь =- — чь„. Обозначая буквами М, К, В, С соответственно море, корабль, воздух и самолет, получим чсв = чск — чвк = чек — чвм + чкм. Поскольку векторы в правой части взаимно перпендикулярны, то исв = и2+и2+из 2 2 2 1.1.26. Окружность равномерно вращается вокруг оси, которая проходит через одну из ее точек и расположена перпендикулярно ее Рис. 1.1.26 [Гл.
1 Уравнения Ньютона х = — ай я1пй1 — а(й+ В) я1п(Й1+ В), р =- ай сояй1+ а(й+ О) соя(Й1-ь В), и~ = а~й~ + а (й+ В) + 2а~й (й+ О) соя В. Решение 2. Выберем неинерциальную систему отсчета с началом вточкеО (рис. 1.1.26б).Тогдаи = [йг'[+г', г' —.—. (а+а соя В, а ягпВ, 0), г' =- аВ( — я)пО, соя О, 0). Величина ив = [йг']Я + 2 [г'г'[й + г'Я = 2йва (1+ сояВ) + 2а~йВ(1+ сояВ) + а~О~, разумеется, совпадает с (1). Решение Ж Выберем неиверциапьную систему отсчета с началом в точке С.
Тогда г = а + г', а = [йа[, г =- [йа[+ [йг'[+ г'. Проекции векторов на оси подвижной системы отсчета а .= (а, О., 0), г' = (а соя О, а я)п В, 0), г' = аВ( — я)п О, соя О) 0). 1.1.27. Найти скорость, с которой диск движется вдоль оси х, если частица, перемещающаяся по оси р, скользит по его ободу (рис.
1.1.27). Решение. Введем две системы координат Я и Я' с началом в центре диска радиуса а. В момент времени 1 = 0 обе системы координат совпадают. В предположении, что частица движется с постоянной скоростью х = О, р = = а — и1. Используя преобразование Галилея, получим 0 = хо + х', а — и1 = р'. Поскольку точка (х', р') должна лежать на окРУжности, то хво, + (а — ир)Я .=- аз) следо- вательно, (2а — и1)и1, 0<1< —, (а — ов) ь ио = ') 2 — й) Рис. 1,1.27 1.1.28.
Радиус-вектор частицы изменяется по закону г(1) (1(г), О, 0). Найти закон движения и уравнение траектории частицы плоскости. По окружности движется частица со скоростью ъ о относительно окружности. Найти скорость частицы в лабораторной системе отсчета. Решение 1. В инерциальной системе координаты частицы (рис. 1.1.26а) х = а соя Й1+ а соя (Й1+ В), р = а я)п Й1+ а я1п (Й1+ О), здесь а — радиус окружности, й — угловая скорость вращения, В(1)— известная функция времени.
Дифференцируя, находим 1.2] Одномерное доинеение в системе отсчета, вращающейся вокруг оси х. Начала координат систем х, у, х и х', у', -' совпадают. Решение. Пусть система координат Я неподвижна, а система координат Я' вращается вокруг оси х в направлении движения часовой стрелки. Координаты частицы в системах Я и Я' связаны преобразованием х' = х соя й1 — у сйп й1, у' = х я1п й1 + у соя й1. Следовательно, х' = 1(1) спэйс, у' = Я) я1пй1.
Полагая й1 = д, получим уравнение траектории в полярных координатах Если изготовить эксцентрик, профиль которого определяется функцией (1), то появляется возможность преобразовать равномерное вращательное движение в поступательное движение стержня, скользящего по оси х. 1) Улитка Паскаля. Положим 1" (1) =- с+а соя й1. Уравнение кривой р = с + а соя р.
Равномерно вращательное движение эксцентрика преобразуется в гармонические колебания стержня. 2) Кардиоида. Полагая 1(1) = у У' а(1 + сояй1), получим профиль р(~р) = а (1 + соя ~р) — уравнение кардиоиды. l 3) Спираль Архимеда. Положим 1 (1) = ис. Уравнение профиля РМ = иу!й. Вращательное движение преобразуется в равномерное движение стержня.
4) В технике особую роль играет логарифмическая спираль р = ае~". Если лезвие ножа очерчено по дуге х' логарифмической спирали, то угол р между осью х и касательной к дуге Рис. 1.1.28 в точке пересечения ее с осью х сохраняет постоянное значение (рис. 1.1.28) (это обстоятельство весьма важно двя создания постоянного давления в процессе резания). Дей- 1 ар ствительно, с1пд = — — = й ]3!. р гор 1.2. Одномерное движение 1.2.1. Найти решение уравнения гпх' = Р(1) в терминах функции Грина [8, 9!. Решение 1. Запишем уравнение в виде [Гл.
1 Уравнения Ньютона Вводя обратный оператор 7 ', запишем решение (Ц; т(е) = 1, 1д"(е), (2) С(1, 1') = А ~о(1 — 1'). (3) Как с помощью функции Грина выразить результат преобразования (2) заданной функции г (г)? Для этого представим г (г) в виде г'(1) =- ~ М г'(о') б(1 — о'). Следовательно, я(1) =- Х ' ~ е1е' Г(г') б(Х вЂ” 1') =- ~ М Е'(Х') 7 'б(1 — 1') = ~ И С(1,. Е') РЯ.
(4) Функция Грина (3) удовлетворяет уравнению тС = 6(1 — 1') (5) с начальными условиями С(1=1' — е, 1') =О, С(1= о' — е, г') =О. (б) Проинтегрируем уравнение (5) в пределах 1' — е < 1 < 1' + е, где е бесконечно малое время. В результате получим лС Нте ги — =-1 — «гпС(1 +е, 1) =-1, н — е (7) т.е. при 1 = г' имеем конечный разрыв. Поэтому функция С(г, г') непрерывна при 8 = 8': С )„= — Π— ь С(г' + е, г') =- О. (8) Следовательно, Ьудем понимать под функцией Грина С(1, 1') результат мгновенного воздействия «силыь 5(1 — 1') в момент времени 1'. Тогда 1.2] Одномерное движение 27 Из начальных условий (7), (8) получим А = сп ", В = — АР = — пс 1Р, В результате находим С(1, 1') = д(1 — 1') — (1 — 1'), (9) здесь 6(т) — разрывная функция Хевисайда, / 1, т ) О, '( О, т(0.
Подставляя (9) в (4), получим решение (1) х(1) = — ~ сй' (1 — с') Е(1'). (10) с с, х(1) ~ си1 ~ ос12 Р (12) Изменяя порядок интегрирования, получим с с х(1) ~ с112 е (12) ~ с111 ~ с112 (1 12) Р(12). 1 1 Решение 2. Если Ь линейный оператор, то для определения функпии Грина удобно использовать метод Фурье-преобразования. Поскольку (1) является уравнением с постоянными коэффициентами, то функция Грина зависит только от разности 1 — 1'с С(с с~) = ~ — С е 2я (11) Учитывая, что Д(с сс) -сир-10 2сс (12) Этот результат согласуегся с принципом причинности — координата в момент 1 зависит только от значений функции г'(с) в предыдущие моменты времени (10). Разумеется, зависимость х(1) может быть получена двухкратным интегрированием (1) [Ггь 1 Уравнен л Ньютона 28 находим после подстановки (11), (12) в (5) С = — (тогг) г, т.е. С(1 1Р) ~ ы — гор — г ) 2ггт ) агг Это выражение не определено, пока не задано правило обхода полюсов.
Поскольку С(1, 1г) = О при 1 ( 1', то контур интегрирования следует замкнуть в верхней полуплоскости переменной аг. Это обстоятельство можно учесть, сдвигая полюсы в нижнюю полуплоскость аг. С этой целью производят замену аг — э ю + ге, С(1;о)= наг .. г 2пт 1 (ы т ге) Таким образом, аналитичность функции Грина обусловлена принципом причинности. 1.2.2. Броуновское движение. Одномерное движение частицы в среде описывается уравнением тх + ух = г'(г), где г"(1) — случайная сила, с которой среда в результате теплового движения воздействует на частицу. Средние по ансамблю значения (Е(1)) = О, (Р(1)1' (1')) = 2-~ИвТ б(1 — 1'), где Т температура среды, нв постоянная Больцмана.
Найти корреляционную функцию 8(т) .=- (о(г) п(1+ т)) и значение среднеквадратичного смещения частицы. Решение. Решение исходного уравнения л(1) = ~ М С(1 — г') Р(1') представим в терминах функции Грина С(г — 1'), удовлетворяющей уравнению тС+ уС = б(1 — 1'), 1 — ыг С(1) =- — ~ ды 2нт 1' (ю+ г у/т) (ы+ гв) 1.2] Одномерное доиосеение 29 Следовательно, л(т) = 2 уИвТ ~ ей' С(1 — 1') С(1+ т — 1') = ггт ] (ис -ЬЗ /т ) Интеграл вычисляется методом теории вычетов. При значениях т > 0 контур интегрирования в комплексной плоскости ьс = ос' + сосо следует замкнуть в нижней полуплоскости, при т < 0 контур замыкается в верхней полуплоскости. В результате получим д(т) = (йвТ/т) ехр ( — ]т] ~(т).
Г!ри т = 0 имеем (ти~/2) = ИвТ(2. Найдем теперь средний квадрат смещения за промежуток времени Й с (Ьх ) = ((х(1) — х(0)] ) = ~гйг ~еЫ2 д.(12 — Хд) = о о (2 ь Т с ) с"о (1 — свенска) Б 2 ( 2 2 2) При Х» т,г"г получим (Ьле) = (2йвТ1/ г). Здесь мы использовали соотношение —, 1'(ос) (1 — сов асс) — ~ Гя,((0) при 1 — ~ оо. дог В случае сферической частицы коэффициент г вычислил в 1851 г. английский ученый Дж. Стоке: т = бяг]а, где а — радиус сферы, 21— коэффициент вязкости.
В теории броуновского движения необходимо вычислить основную характеристику средний квадрат смещения (Ьх~) = (2гсвТ1ссч). Эта задача впервые решена А. Эйнштейном в 1905 г. Он показал, что (Ьлэ) = 2Ю, где Π— коэффициент диффузии. Следовательно, 11 = = ИвТ!"~. В серии экспериментов, проведенных в 1908 г., французский физик Ж. Перрен измерял расстояния я, на которые перемещалась часгица каждые 30 с. Вычисляя средний квадрат смещения, Перрен нашел значение постоянной Больцмана и определил число Авогадро (Нобелевская премия, 1926 г.). Это был решающий эксперимент, убедивший ученых в существовании молекул.
Задачу о случайном блуждании можно свести к уравнению др др дг де~ ' [Гл. 1 Уравнения Ньютона 30 где р(1., х) — плотность вероятности нахождения частицы в точке х в момент времени 1 [52[. При начальном условии р(0, х) =- б(0) решение уравнения (1) г р(1, х) = ехр( — ). Средний квадрат смещения (Лх~) = ~ )1хх р(1., х) = 2В1. 1.2.3.
Частица движется в потенциальном поле Г1(х) =- — б)ое' Нб Найти х(1). Начальные условия — х(0) = О, х(0) = ио 3 20о))т. Решение. Из интеграла энергии получим уравнение — тх — Ное' =Е 2 н)а 2 2 Е= 2 то — с)о о Предположим, что Е > О. Вычислим интеграл )1х ,/~-Тт 'е ~(~) ))е ге ) [Е гГ 1 [Е [ Следовательно., х(1) =- а 1и ~ — вЬ ) (Т вЂ” 8) — ~( — 1 [Но ~ а ()' 2т1 ) т ъ)Е т' Но + ъ~Е 7 2Е;/Е -Ь Но — уŠ— тх — [Уо сЬ йх = — Ео. 1 г — г 2 Таким образом, частица уходит в бесконечность за конечное время Т. Следует отметить, что решение нелинейного уравнения тх = и = — е'~ содержит движущуюся особенность, зависящую от начальа ных условий [11). Пусть Е = О. Тогда получим уравнение х = иое ~~; из которого ьо следует х(1) = — 2а [и (1 — — Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
