В.И. Гаврилов - Математический анализ (1114633), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Çàäà÷à î ìàòåìàòè÷åñêîì ìàÿòíèêå.Ñîñòàâèì è ðåøèì ïðèáëèæåííî óðàâíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòÌàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òî÷êó M ìàññû m,êîòîðàÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè K ðàäèóñà l, ëåæàùåé â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Âåëè÷èíó l íàçûâàþò äëèíîéìàÿòíèêà. Íà îêðóæíîñòè K âûáåðåì óãëîâóþ êîîðäèíàòó, ïðèíÿâ çàíà÷àëî êîîðäèíàò ñàìóþ íèæíþþ òî÷êó O îêðóæíîñòè K (ðèñ. 4).íèêà.10èñ.

4.Ïåðåìåííóþ êîîðäèíàòó òî÷êè M îáîçíà÷èì ÷åðåç ϕ = ϕ(t), ãäå tåñòü âðåìÿ íà ïåðåìåùåíèå èç òî÷êè O â òî÷êó M . Òî÷êà M íàõîäèòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè P = mg , íàïðàâëåííîé âåðòèêàëüíîâíèç. Ñîñòàâëÿþùàÿ ýòîé ñèëû, íàïðàâëåííàÿ ïî íîðìàëè ê îêðóæíîñòè, óðàâíîâåøèâàåòñÿ áëàãîäàðÿ ðåàêöèè ñâÿçè (îêðóæíîñòè èëè íèòè,çàñòàâëÿþùåé òî÷êó äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòè). Ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû P ,íàïðàâëåííàÿ ïî êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè â òî÷êå M , ðàâíà −mg sin ϕ(åñëè çà ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå íà êàñàòåëüíîé ïðèíÿòü íàïðàâëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå âîçðàñòàíèþ óãëà ϕ). Òàêèì îáðàçîì, äëèíà ïóòèOM ðàâíà lϕ, è â ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðûì çàêîíîì êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òî÷êè M èìååò âèä: m(lϕ)′′ = F = −mg sin ϕ,èëèlϕ′′ + g sin ϕ = 0.(17)Íàõîæäåíèå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò áîëüøèå òðóäíîñòè(ñì.

[2, ñ. 408413℄ èëè [3, ñ. 250253℄). Îäíàêî åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òîêîîðäèíàòà ϕ òî÷êè M â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ìàëî îòêëîíÿåòñÿ îò íóëÿ,òî ïðèáëèæåííî â óðàâíåíèè (17) ìîæíî çàìåíèòü sin ϕ íà ϕ è ïîëó÷èòü"ïðèáëèæåííîå" óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà â âèäågϕ′′ + ϕ = 0.l(18)Òàêèì îáðàçîì, ïåðèîä êîëåáàíèÿ; ò. å. âðåìÿ íà ïåðåìåùåíèå èç òî÷êè Mâ ñèììåòðè÷íóþ åéqòî÷êó M ′ íà îêðóæíîñòè K , çàäàåòñÿ ïðèáëèæåííîéîðìóëîé T = 2π gl , êîòîðàÿ îáû÷íî ïðèâîäèòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ (â11÷àñòíîñòè, â øêîëüíûõ) êóðñàõ èçèêè,qà ÷àñòîòà "ìàëûõ êîëåáàíèé"gìàÿòíèêà îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé ω =. ×èñëî ν ìàëûõ êîëåáàíèélìàÿòíèêà â ñåêóíäó îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîér1 gω=.ν=2π2π lÏîýòîìó, äëèíà ñåêóíäíîãî ìàÿòíèêà ; ò.

å. ìàÿòíèêà, ñîâåðøàþùåãî îäíî êîëåáàíèå â ñåêóíäó (ν = 1/ñåê), îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîél=gñåê2 ≈ 0,25 ì.4π 2Çàêëþ÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå äàâíî èçâåñòíà ìåòîäèêà îòûñêàíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (10) (îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè), èñïîëüçóþùèå íåñëîæíûå äåéñòâèÿ íàä íåîïðåäåëåííûìè èíòåãðàëàìè è êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Îäíàêî ïîñëåäíèå íå âõîäÿò â ïðîãðàììû ñðåäíåéøêîëû, è ïîýòîìó íàì ïðèøëîñü çäåñü äëÿ ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé âèäà (3) è (10) âîñïîëüçîâàòüñÿ èñêóññòâåííûìè ìåòîäàìè,çíàÿ çàðàíåå îòâåò. Îïðåäåëåííûì îïðàâäàíèåì ýòèõ íàøèõ äåéñòâèéñëóæèò îòìå÷åííàÿ âûøå èõ äîñòóïíîñòü øêîëüíèêàì ñòàðøèõ êëàññîâîáùåîáðàçîâàòåëüíûõ øêîë, à òàêæå èõ èçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ Â.

Â. Äîáðîíðàâîâ, Í. Í. Íèêèòèí. Êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ì.:Âûñø. øêîëà, 1983. 575 ñ., èë.[2℄ Í. Í. Áóõãîëüö. Îñíîâíîé êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. ×. 1. Êèíåìàòèêà, ñòàòèêà, äèíàìèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Èçä. 6-îå, äîï. Ì.:Íàóêà, 1965. 468 ñ.[3℄ . Ì. Ôèõòåíãîëüö. Êóðñ äèåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ò. 2. Ì.: Íàóêà, 1969. 800 ñ.12.

Характеристики

Список файлов книги