В.И. Гаврилов - Математический анализ (1114633)
Текст из файла
В.И. Гаврилов. Математический анализ I.Математический анализ лежит в основании математического образования студентоввысшей школы, обучающихся всем естественнонаучным и техническим специальностям,по следующим причинам. Во-первых, он поставляет математический аппарат, которыйиспользуют все другие математические курсы и учебные курсы по всем другиместественнонаучным и техническим дисциплинам, и значит, используют специалисты,работающие в областях естественнонаучных и технических наук. Во-вторых, и что неменее важно, математический анализ формирует математическое мировоззрение иматематическую культуру, необходимые не только профессионалам-математикам, но ивсем профессионалам, связанным с изучением научных проблем в естествознании итехнике.Обязательный курс математического анализа, читаемый на факультетефундаментальной физико-химической инженерии Московского государственногоуниверситета имени М.В.
Ломоносова в течение первых трёх семестров по шесть часов внеделю, полностью соответствует решению обеих стоящих перед ним задач.Программа курса в первом семестре содержит следующие разделы: введение вматематический анализ, включающее теорию пределов и свойства непрерывных функций;дифференциальное исчисление функций единого переменного и основные положениятеории неопределенного интеграла.Раздел I.
Введение в математический анализ.Основу математического анализа образует множество действительных чисел, аосновными объектами исследования служат функции над этим множеством. Поэтомупервая глава имеет название:Глава 1. Действительные числа и числовые функции.Главу начнем вводным параграфом, в котором демонстрируется мотивация изучениякурса на примере двух достаточно глубоких задач физики: свободных колебаний идвижение математического маятника.Для полного понимания изложения достаточны знания в объёме школьного курсаалгебры и начал анализа.
Требуется владение основными приёмами дифференцированияфункций, понимание механического смысла первой и второй производной как скорости иускорения движения, а также принятие таких интуитивно понятных фактов, что функцияпостоянна на промежутке, если её производная всюду на нём равна нулю (другимисловами, движения не происходит при нулевой скорости) и что в приближённыхвычислениях синусы достаточно малых углов можно заменять значениями этих углов (врадианах). Впрочем, все эти высказанные утверждения будут полностью обоснованы внашем курсе.0. Äâå çàäà÷è èçèêè0.1. Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ.Òèïîâàÿ ìîäåëü, èëëþñòðèðóþùàÿ ýòî èçè÷åñêîå ÿâëåíèå, ñîñòîèò âñëåäóþùåì.
Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïðóæèíå, çàêðåïëåííîé â îáîèõ êîíöàõ,íàâåøåí ãðóç ìàññû m. Îòâåäåì åãî íà íåìíîãî â ñòîðîíó îò ïîëîæåíèÿðàâíîâåñèÿ è îòïóñòèì. ðóç íà÷íåò ñîâåðøàòü äâèæåíèå, êîòîðîå íàçûâàþò ñâîáîäíûì êîëåáàíèåì, è íóæíî èçó÷èòü çàêîí ýòîãî äâèæåíèÿ.×òîáû íå îñëîæíÿòü âû÷èñëåíèé, ñ÷èòàþò, ÷òî äâèæåíèå ãðóçà îáóñëîâëåíî íàëè÷èåì òîëüêî äâóõ àêòîðîâ : 1) âîññòàíàâëèâàþùåé ñèëûïðóæèíû, è 2) ñîïðîòèâëåíèåì ñðåäû, à ñàì ãðóç ïðèíèìàþò çà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó (÷òîáû èìåòü âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü çàêîíû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè).0.2. àðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.àçáåðåì ñíà÷àëà ñëó÷àé îòñóòñòâèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû. Âîññòàíàâëèâàþùàÿ ñèëà ïðóæèíû, ò. å. ñèëà, êîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ âåðíóòü ãðóçâ ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ïî ñâîåé âåëè÷èíå ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçìåðóîòêëîíåíèÿ ãðóçà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è íàïðàâëåíà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ íàïðàâëåíèþ ñìåùåíèÿ ãðóçà (çàêîí óêà).Âîçüìåì îñü Ox ïî îñè ïðóæèíû (ñì.
ðèñ. 1) è íà÷àëî êîîðäèíàò Oïîìåñòèì â òî÷êå ðàâíîâåñèÿ. Òîãäà ïîëîæåíèå ãðóçà îïðåäåëÿåòñÿ åãîêîîðäèíàòîé x, êîòîðàÿ ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì t; ò. å. x åñòü óíêöèÿâðåìåíè t: x = x(t). Íàäî íàéòè ýòó íåèçâåñòíóþ óíêöèþ è ïî íåéèçó÷èòü êîëåáàíèÿ ãðóçà.èñ. 1.Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ãðóçà, íà îñíîâàíèè âòîðîãî çàêîíà êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, èìååò âèäF = mj,(1)ãäå j óñêîðåíèå ãðóçà, êàê èçâåñòíî, ðàâíîå âòîðîé ïðîèçâîäíîé x′′ , à Fåñòü ñóììà âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ãðóç.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå1F = −kx, k > 0 ïîñòîÿííàÿ, è çíàê ìèíóñ ïîñòàâëåí ïîòîìó, ÷òîñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ïðóæèíû íàïðàâëåíà îò ãðóçà ê íà÷àëó êîîðäèíàò:åñëè x > 0, òî ñèëà íàïðàâëåíà â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Ox, àåñëè x < 0, òî ñèëà íàïðàâëåíà â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Ox.Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ äëÿ ñèëû è óñêîðåíèÿ â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èìóðàâíåíèå äâèæåíèÿ ãðóçà mx′′ = −kx, èëèkx = 0.(2)mÓðàâíåíèå (2) åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿâòîðîãî ïîðÿäêàx′′ + ω 2 x = 0,(3)x′′ +â êîòîðîì ω > 0 èêñèðîâàííîå ÷èñëî, à x = x(t) íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ àðãóìåíòà t, óæå íèêàê íå ñâÿçàííîãî ñî âðåìåíåì, à ÿâëÿþùåãîñÿíåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ñî ñâîåé îáëàñòüþ çàäàíèÿ.
Äèåðåíöèàëüíîåóðàâíåíèå (3) íàçûâàþò óðàâíåíèåì êîëåáàíèÿ (è óðàâíåíèå (2) îáúÿñíÿåò ïðîèñõîæäåíèå ýòîãî íàçâàíèÿ).Òàêèì îáðàçîì, èçè÷åñêóþ ìîäåëü èçó÷àåìîãî ïðèðîäíîãî ÿâëåíèÿìû îïèñàëè ìàòåìàòè÷åñêèì ÿçûêîì è ïðèìåíèì òåïåðü ìàòåìàòè÷åñêèåìåòîäû äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ. Ïðè ýòîì áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ íåêîíêðåòíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü (2), à åå îáùåå ïðåäñòàâëåíèå (3).Ïîíÿòíî, ÷òî ïîñòîÿííàÿ óíêöèÿ x = x(t) = 0 åñòü ðåøåíèå äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (3) äëÿ âñåõ t íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî óíêöèÿx = C1 cos ωt + C2 sin ωt,(4)â êîòîðîé C1 , C2 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3) ïðè âñåõ t, ïîñêîëüêó x′′ = −C1 ω 2 cos ωt − C2 ω 2 sin ωt èx′′ + ω 2x = 0.
Áîëåå òîãî, óíêöèÿ (4) ñëóæèò îáùèì ðåøåíèåì äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (3) â òîì ñìûñëå, ÷òî ëþáîå ðåøåíèå u = u(t)óðàâíåíèÿ (3) ìîæíî ïîëó÷èòü èç îðìóëû (4) íàäëåæàùèì âûáîðîì÷èñåë C1 è C2 .⊳ Îáîñíîâàíèå ýòîãî íàáëþäåíèÿ ðàçîáüåì íà òðè íåñëîæíûõ øàãà.(i) Ïðîâåðèì ñíà÷àëà, ÷òî åñëè óíêöèÿ f åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(3) è f (0) = f ′ (0) = 0, òî f (t) = 0 äëÿ âñåõ t.àññìîòðèì óíêöèþ(f ′ )2 + ω 2 f 2 , êîòîðàÿ â ìîäåëüíîì ñëó÷àå óðàârkíåíèÿ (2) ïðè ω =ñîâïàäàåò ñ óäâîåííîé ïîëíîé ýíåðãèåé E ãðóçà,mäåëåííîé íà åãî ìàññó m (ïîñêîëüêó ïîëàãàÿ f = x, f ′ = x′ = v , èìååìmh ′ 2k i mh ′ 2k i mv 2 kx2(f ) + f 2 =(x ) + x2 =+= Eêèí + Eïîòåíö = E,2m2m222kx2ãäå Eïîòåíö =åñòü ðàáîòà ñèëû óêà). Òàê êàê f óäîâëåòâîðÿåò óðàâ2′′íåíèþ (3), òî f + ω 2 f = 0 è ïîýòîìó′(f ′ )2 + ω 2 f 2 = 2f ′ · f ′′ + 2ω 2f · f ′ = 2f ′ (f ′′ + ω 2 f ) = 0.Îòñþäà, ïî êðèòåðèþ ïîñòîÿíñòâà óíêöèè íà ïðîìåæóòêå (ïîíÿòíîì èñ èçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ: åñëè ïðîèçâîäíàÿ, ò.
å. ñêîðîñòü èçìåíåíèÿóíêöèè, ðàâíà íóëþ, òî äâèæåíèÿ íåò è óíêöèÿ ïîñòîÿííàÿ), çàêëþ÷àåì, ÷òî (f ′ )2 + ω 2 f 2 = C , ãäå C íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ (çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè). Ïîñêîëüêó f (0) = f ′ (0) = 0, ïîëó÷àåì C = 0 è(f ′ )2 + ω 2 f 2 = 0. Ïîýòîìó ω 2 f 2 = 0, f 2 = 0, f = 0 (÷èñëî ω > 0).(ii) Åñëè óíêöèè f è g ñóòü òàêèå äâà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3), ÷òîf (0) = g(0) è f ′ (0) = g ′ (0), òî f = g .Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ óíêöèè h = f − g èìååìh′′ = f ′′ − g ′′ = −ω 2 f + ω 2 g = −ω 2 (f − g) = −ω 2 h,òàê ÷òî h åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3), ó êîòîðîãî, ïî óñëîâèþ, h(0) = 0,h′ (0) = 0. Íà îñíîâàíèè øàãà (i) çàêëþ÷àåì, ÷òî h = 0 äëÿ âñåõ t.(iii) Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ u = u(t) óðàâíåíèÿ(3) ìîæíî óêàçàòü òàêèå ÷èñëà C1 è C2 , ÷òîu(t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt.u′(0)Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì óíêöèþ g(t) = u(0) cos ωt + ω sin ωt, êîòîðàÿ, êàê îòìå÷åíî âûøå, åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3).
Ïîñêîëüêó g ′ (t) =−u(0)ω sin ωt + u′ (0) cos ωt, òî g(0) = u(0) è g ′ (0) = u′ (0) è íà îñíîâàíèèøàãà (ii) èìååì u(t) = g(t).Ýòèì çàâåðøàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ, ÷òî îðìóëà (4) çàäàåò îáùåå ðåøåíèå äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (3). ⊲Ôóíêöèþ (4) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåx = A cos(ωt + ϕ),(5)ãäå A > 0 è ϕ ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.pÄåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèì A = C12 + C22 . Òîãäà åñëè A = 0, òî C1 =C2 = 0 è îðìóëà (5) âåðíà; óãîë ϕ ìîæíî âçÿòü ëþáûì.
Åñëè A > 0, 2C1 +1 , − C2ëåæèòíàåäèíè÷íîéîêðóæíîñòè,òàêêàêòî òî÷êà CAAA212−C= 1, è ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîé óãîë ϕ, ÷òî cos ϕ = CAA , sin ϕ =2−CA , îòêóäàC1 = A cos ϕ, C2 = −A sin ϕ.(6)3Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ (6) â îðìóëó (4), ïîëó÷èìx = A cos ωt cos ϕ − A sin ωt sin ϕ = A cos(ωt + ϕ)è îðìóëà (5) äîêàçàíà.Ôóíêöèÿ (5) îïèñûâàåò ãàðìîíè÷åñêèé êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ. Ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà A íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé êîëåáàíèÿ (5), à ϕ åãî íà÷àëüíîé àçîé èëè ïðîñòî àçîé. ×èñëî ω íàçûâàåòñÿ êðóãîâîé ÷àñòîòîé êîëåáàíèé, â îòëè÷èå îò îáû÷íîé ÷àñòîòû ν = ω , ðàâíîé ÷èñëó2πêîëåáàíèé â ñåêóíäó.Âîçâðàùàÿñü ê óðàâíåíèþ êîëåáàíèÿ (2), âèäèì, ÷òî åãî îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä rk rkx = C1 cos t(7)+ C2 sin t,mmèëè rkx = A cos t(8)+ϕ .mÔîðìóëà (8) ïîêàçûâàåò, ÷òî ãðóç ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ îêîëî òî÷êè ðàâíîâåñèÿ O ñ àìïëèòóäîé A è ïåðèîäîìrmT = 2π(9).kÊîíå÷íî, íåêîòîðûå âûâîäû (â îñíîâíîì, êà÷åñòâåííîãî õàðàêòåðà)î êîëåáàíèè ãðóçà ìîæíî ñäåëàòü è áåç îðìóë (8), (9), îñíîâûâàÿñü íàèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèÿõ.
Íàïðèìåð, ÿñíî, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ìàññûãðóçà êîëåáàíèÿ áóäóò ïðîèñõîäèòü ìåäëåííåå èõ ïåðèîä óâåëè÷èòñÿ,à ñ óâåëè÷åíèåì æåñòêîñòè ïðóæèíû (ò. å. ñ óâåëè÷åíèåì k ) êîëåáàíèÿóáûñòðÿòñÿ, èõ ïåðèîä óìåíüøèòñÿ. Îäíàêî òîëüêî îðìóëà (9) îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó ïðè óâåëè÷åíèè ìàññû ãðóçà, ñêàæåì, â 4 ðàçà ïåðèîä êîëåáàíèé óâåëè÷èâàåòñÿ â 2 ðàçà è íå áîëåå, à ïðè óâåëè÷åíèè æåñòêîñòèïðóæèíû â òå æå 4 ðàçà ïåðèîä êîëåáàíèé óìåíüøèòñÿ òîëüêî â 2 ðàçà.àññìîòðèì äâà êîíêðåòíûõ (íî çíàêîâûõ) ñëó÷àÿ çàäà÷è (2) î êîëåáàíèè ãðóçà, íàïîìèíàÿ, ÷òî x′ åñòü ñêîðîñòü v åãî äâèæåíèÿ.I.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ãðóç îòâåäåí îò ïîëîæåíèÿðàâíîâåñèÿ â ïîëîæåíèå x0 > 0 (ñì. ðèñ. 1) è îòïóùåí.Çäåñü çàêîí äâèæåíèÿ îïèñûâàåòñÿ îðìóëîé (8) è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x(0) = x0 > 0 è x′ (0) = v0 = 0.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
