В.И. Гаврилов - Математический анализ (1114633), страница 2
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Ïîñêîëüêór rkk′sin t+ϕ ,x = −Amm4qk sin ϕ = 0. Ïîýòîìó ϕ = 0òî x0 = x(0) = A cos ϕ è v0 = x (0) = −A mèëè ϕ = π è, òàê êàê cos 0 = 1, cos π = −1 è A > 0, òî 0 < x0 = A cos 0 =A, ÷òî ïðèâîäèò ê îòâåòó:r kx = x0 cos t;m′àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ ðàâíà x0 .II.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ãðóç íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèèðàâíîâåñèÿ è åãî ïîäòàëêèâàþò; ò.
å. ïðèäàþò åìó íåêîòîðóþ ñêîðîñòüv0 > 0. Òåïåðü çàêîí äâèæåíèÿ îïèñûâàåòñÿ îðìóëîé (8) è íà÷àëüíûìèóñëîâèÿìèx(0) = 0, x′ (0) = v0 . Ïîýòîìó 0 = x(0) = A cos ϕ è v0 = x′ (0) =qk sin ϕ, òàê ÷òî ϕ = 3π èëè ϕ = π . Ñ ó÷åòîì v > 0 è A > 0−A m022rmèìååì ϕ = 3π è A = v0. Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ A è ϕ â2k(8), ïîëó÷èì îòâåòrrr rk3π mmk= v0,cos t+sin tx = v0km2kmqè àìïëèòóäà êîëåáàíèé ðàâíà v0 m .kÊàê ñëåäóåò èç ñïîñîáà äîêàçàòåëüñòâà âèäà îáùåãî ðåøåíèÿ (4) (øàã(iii)), â îáùåì ñëó÷àå, êîãäà â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ãðóçîòâåäåí îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ïîëîæåíèå x0 è åìó ïðèäàíà íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 , äâèæåíèå ãðóçà îáðàçóåòñÿ ñëîæåíèåì äâèæåíèéâ ðàçîáðàííûõ âûøå ñëó÷àÿõ.
Çàêîíp äâèæåíèÿ îïèñûâàåòñÿ îðìóëîé(7),âêîòîðîéC=xèC=vm/k ; àìïëèòóäà êîëåáàíèé ðàâíà1020rmx20 + v02 .k0.3. Çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ.Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê îáùåìó ñëó÷àþ, èçó÷åíèå êîòîðîãî ïðîâåäåì âòîé æå ñèñòåìå êîîðäèíàò, ÷òî è äëÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.
Îäíàêî÷òîáû ðàçëè÷àòü ñëó÷àè, äîãîâîðèìñÿ çàêîí äâèæåíèÿ ãðóçà îáîçíà÷àòüòåïåðü äðóãîé óíêöèåé s = s(t), õîòÿ s ïî-ïðåæíåìó ñëóæèò êîîðäèíàòîé ïîëîæåíèÿ ãðóçà íà îñè Ox â ìîìåíò âðåìåíè t. Òåïåðü ñêîðîñòüäâèæåíèÿ ãðóçà â ìîìåíò t ðàâíà s′ (t), à óñêîðåíèå ðàâíî s′′ (t).Âîññòàíàâëèâàþùàÿ ñèëà ïðóæèíû ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó óêà, åå âåëè÷èíà ðàâíà as, a > 0 êîýèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, è îíà5íàïðàâëåíà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ íàïðàâëåíèþ ñìåùåíèÿ ãðóçà.
Ñîïðîòèâëåíèå ñðåäû, ïî ðåçóëüòàòàì îïûòà, ïðèíèìàþò ïðîïîðöèîíàëüíûì ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ãðóçà è, ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíà ñîïðîòèâëåíèÿ ðàâíà bs′ , b > 0 êîýèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, è ñèëàíàïðàâëåíà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ.Òåïåðü âòîðîé çàêîí êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ïðèâîäèò ê äèåðåíb s′ + a s = 0. Îáîçíà÷èâöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ms′′ = −bs′ − as èëè s′′ + mmb = 2h è a = n2 , ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíî óðàâíåíèåmms′′ + 2hs′ + n2 s = 0,(10)â êîòîðîì ÷èñëî h íàçûâàåòñÿ êîýèöèåíòîì çàòóõàíèÿ (ñð. [1, ñ. 424℄),à n2 êîýèöèåíòîì âîññòàíîâëåíèÿ.Ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ (10) ðàçëè÷àþò òðè êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûõñëó÷àÿ: à) 0 < h < n (ñîïðîòèâëåíèå ñðåäû ïðèñóòñòâóåò, íî îíî íå î÷åíüçíà÷èòåëüíî); á) 0 < n < h (ñîïðîòèâëåíèå ñðåäû âåñüìà çíà÷èòåëüíî;âÿçêàÿ ñðåäà ), è â) 0 < n = h (ñëó÷àé êðèòè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, ñð.[1, ñ. 430℄).àññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé à) 0 < h < n. Îáîçíà÷èì n2 − h2 = ω 2 ,ω > 0, è ïîêàæåì, ÷òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (10) ïðåäñòàâëÿåòñÿîðìóëîés = e−ht (C1 cos ωt + C2 sin ωt),(11)â êîòîðîé C1 , C2 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.Ìû çíàåì, ÷òî îðìóëîé x = C1 cos ωt + C2 sin ωt çàäàåòñÿ îáùååðåøåíèå óðàâíåíèÿ êîëåáàíèÿ (3).
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñêîëüêó s = xe−ht ,ñîðìóëèðîâàííîå óòâåðæäåíèå áóäåò äîêàçàíî, åñëè ìû óñòàíîâèì, ÷òîóíêöèÿ s = s(t) åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (10) òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà x = x(t) åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ êîëåáàíèÿ (3) ñ ω 2 = n2 − h2 .Ïðèâåäåì ïîäðîáíîå îáîñíîâàíèå îäíîãî èç ýòèõ óòâåðæäåíèé; äðóãîåäîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Èòàê, ïóñòü óíêöèÿ s = s(t) åñòü ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (10); ò. å.
s′′ + 2hs′ + n2 s = 0. Òîãäà óíêöèÿ x = seht èìååòx′′ = eht (s′′ + 2hs′ + h2 s),(12)è ïîñêîëüêó eht > 0, òîx′′ + ω 2 x = eht (s′′ + 2hs′ + h2 s) + (n2 − h2 )eht s = eht (s′′ + 2hs′ + n2 s) = 0;ò. å. x = seht åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3) ñ ω 2 = n2 − h2 .Ôîðìóëó (11) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü, ïîäñòàâèâ â åå ïðàâóþ ÷àñòüîðìóëó (5), íî ìîæíî èçìåíèòü ïàðàìåòðûqC1 = A sin α, C2 = A cos α, A = C12 + C22 ,6è ïîëó÷èòü(13)s = Ae−ht sin(ωt + α).Äëÿ âûÿñíåíèÿ âèäà ãðàèêà óíêöèè (13) ñ÷èòàåì â íåé A > 0,α = 0, è òåïåðü ãðàèê óíêöèè(13′)s = Ae−ht sin ωtñðàâíèì ñ ñèíóñîèäîé s = A sin ωt. Òàê êàê e−ht > 0, òî, î÷åâèäíî, îáàπ, i ∈ãðàèêà ïåðåñåêàþò îñü àáñöèññ â îäíèõ è òåõ æå òî÷êàõ t = i ωZ. Êðîìå òîãî, óíêöèÿ s= A sin ωt èìååò ïîïåðåìåííî ìàêñèìóìû è1π , â êîòîðûõ îáðàùàåòñÿ â íóëü ååìèíèìóìû â òî÷êàõ t = i +ω2ïðîèçâîäíàÿ s′ = Aω cos ωt.
àññìîòðèì ïðîèçâîäíóþ óíêöèè (13′ ):s′ = Ae−ht (ω cos ωt − h sin ωt) =√hω= A ω 2 + h2 e−ht √cos ωt − √sin ωtω 2 + h2ω 2 + h2è, ââîäÿ âñïîìîãàòåëüíûé óãîë θ ïîä óñëîâèåìhh= sin θ,=√2nω + h2ωω= cos θ,=√2nω + h2çàïèøåì åå â âèäås′ = Ane−ht cos(ωt + θ),n=√ω 2 + h2 .Îíà îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êàõθ1π− ,t= i+2 ω ωè òàê êàê êîñèíóñ, ïðîõîäÿ ÷åðåç íóëü, ìåíÿåò çíàê, òî çàêëþ÷àåì, ÷òîïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ t óíêöèÿ (13′) äåéñòâèòåëüíî èìååò ìàêñèìóìûïðè i ÷åòíûõ è ìèíèìóìû ïðè i íå÷åòíûõ. Ïî ñðàâíåíèþ ñ ñèíóñîèäîéθ.ïðîèçîøëî ñìåùåíèå ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê âëåâî íà âåëè÷èíó ωÍåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî âñå ìàêñèìóìû áóäóò ïîëîæèòåëüíûìè, àìèíèìóìû îòðèöàòåëüíûìè. Åñëè âåëè÷èíó i-îãî ýêñòðåìóìà îáîçíà÷èòü÷åðåç Ai , òî A hπ i = e ω , i ∈ Z,Ai+1òàê ÷òî ðàçìàõè óáûâàþò â ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
ðàèê óíêöèè (13′ ) äëÿ ïðîñòîãî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ è t > 0 èçîáðàæåí íà ðèñ. 2 (ñì.òàêæå [1, ñ. 426℄).71s = sins2π t−ts=esin 2 π t0−100.5t11.522.533.5èñ. 2.Äâèæåíèå ïîäîáíîãî òèïà íîñèò íàçâàíèå çàòóõàþùåãî êîëåáàíèÿ.0.4. Íåïåðèîäè÷åñêèå êîëåáàíèÿ (àïåðèîäè÷åñêèå êîëåáàíèÿ).Êàðòèíà äâèæåíèÿ ãðóçà ìåíÿåòñÿ êà÷åñòâåííî, åñëè ñðåäà ñòàíîâèòñÿ âñå áîëåå âÿçêîé; ò.
å. åñëè â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ (10) åãî êîýèöèåíòû ñâÿçàíû îòíîøåíèåì h > n > 0. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî â ïðîñòåéøåìñëó÷àå, êîãäà h = n.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (10) ïðèíèìàåò âèäs′′ + 2hs′ + h2 s = 0.(14)Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (14) íà ìíîæèòåëü eht > 0 è âñïîìèíàÿîðìóëó (12), çàêëþ÷àåì, ÷òî óðàâíåíèå (14) ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþz ′′ = 0äëÿ óíêöèè z = seht . Òîãäà èìååì z ′ = C1 , ãäå C1 ïðîèçâîëüíàÿïîñòîÿííàÿ, èëè (z − C1 t)′ = 0.
Ïîýòîìó z = C1 t + C2 , ãäå C1 , C2 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, ès = e−ht (C1 t + C2 ).8(15)Ôóíêöèÿ (15) íå ïåðèîäè÷åñêàÿ. Êðîìå òîãî, s → 0 ïðè t → +∞, òàêêàêC1 t + C2= 0,lim s(t) = limt→+∞t→+∞ehtïðè÷åì ïðîèçâîäíàÿ s′ = −e−ht (hC1 t + C2 h − C1 ) ñîõðàíÿåò ñâîé çíàê,íà÷èíàÿ ñ òî÷êè t = 1 − C2 , ò. å. s ñòàíîâèòñÿ ìîíîòîííîé.h C1Ñëåäîâàòåëüíî, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå äâèæåíèå íå ÿâëÿåòñÿ êîëåáàòåëüíûì, è ãðóç áûñòðî ñòðåìèòñÿ çàíÿòü ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ.ðàèê óíêöèè (15) â ñëó÷àå, êîãäà C1 = C2 = h = 1, ïðåäñòàâëåí íàðèñ.
3 (ñð. òàêæå [1, ñ. 430℄).4t=0ss′2s = s(t)t → +∞0−2tèñ. 3.02sèñ. 3′ .Êîãäà èìååò ìåñòî ñëó÷àé á) h > n > 0 (âÿçêàÿ ñðåäà), ýåêò àïåðèîäè÷íîñòè ðåøåíèÿ s = s(t) êà÷åñòâåííî ìåíÿåòñÿ.  ýòîì ñëó÷àå îáùååðåøåíèå s = s(t) óðàâíåíèÿ (10) çàäàåòñÿ îðìóëîés = C1 e−(h−p)t + C2 e−(h+p)t ,(16)√â êîòîðîé C1 , C2 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à p = h2 − n2 , 0 < p < h.Òèïè÷íîå ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ (16) èçîáðàæåíî íà ðèñ. 3′ â àçîâîéïëîñêîñòè, íà êîòîðîé îòêëàäûâàåòñÿ (s(t), s′ (t)) ïðè êàæäîì çíà÷åíèèâðåìåíè t (äëÿ ïðèìåðà âçÿòû h = 5, n = 4, p = 3, C1 = 2, C2 = −1),ãäå âèäíî, ÷òî êðèâàÿ ïðè t → +∞ àñèìïòîòè÷åñêè ñòðåìèòñÿ ê ïðÿìîé,ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ñ óãëîâûì êîýèöèåíòîì −(h − p)(ñì.
òàêæå [1, . 430℄).94Äîêàçàòåëüñòâî îðìóëû (16) ïðîâîäèòñÿ ñ íåáîëüøèìè èçìåíåíèÿìè àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó îðìóëû (4). Ïîêàæåì, íàïðèìåð, êàêïðîõîäÿòñÿ øàãè (i) è (iii).(i) Ïðîâåðèì, ÷òî åñëè óíêöèÿ f óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (10) èf (0) = f ′ (0) = 0, òî f = 0 ïðè t > 0.Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì óíêöèþ (f ′ )2 + n2 f 2 è åå ïðîèçâîäíóþ:′(f ′ )2 + n2 f 2 = 2f ′ f ′′ + 2n2 f f ′ = 2f ′ (f ′′ + n2 f ).′Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (10), f ′′ + n2 f = −2hf ′ , ïîýòîìó (f ′ )2 + n2 f 2 =−4h(f ′ )2 6 0. Ñëåäîâàòåëüíî, óíêöèÿ (f ′ )2 + n2 f 2 , ïðèíèìàþùàÿ íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, íåâîçðàñòàåò ïðè t > 0.
Òàê êàê ïðè t = 0 èìååì(f ′ )2 + n2 f 2 = 0, òî èç íåâîçðàñòàíèÿ è íåîòðèöàòåëüíîñòè ýòîé óíêöèè âûòåêàåò, ÷òî îíà ðàâíà íóëþ è ïðè âñåõ t > 0. Çíà÷èò, (f ′ )2 = 0,f ′ = 0 è f ïîñòîÿííà ïðè t > 0, ïðè÷åì ýòà ïîñòîÿííàÿ ðàâíà íóëþ âñèëó f (0) = 0.(iii) Ïðîâåðèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ u = u(t) óðàâíåíèÿ (10) ìîæíî ïîäîáðàòü òàêèå ïîñòîÿííûå ÷èñëà C1 è C2 , ÷òî u áóäåò ðàâíà óíêöèè(16).Äëÿ ýòîãî îáîçíà÷èì u(0) = x0 , u′ (0) = v0 è ðàññìîòðèì óíêöèþg(t) =v0 + x0 (h + p) −(h−p)t v0 + x0 (h − p) −(h+p)te−e.2p2pÎíà èìååò ïðîèçâîäíóþg ′ (t) = −v0 (h − p) + x0 (h2 − p2 ) −(h−p)t v0 (h + p) + x0 (h2 − p2 ) −(h+p)te+e.2p2pÈç ýòèõ äâóõ îðìóë âèäíî, ÷òî g(0) = x0 = u(0) è g ′ (0) = v0 = u′(0).Ñîãëàñíî øàãó (ii), u(t) = g(t) äëÿ t > 0, ÷òî çàêàí÷èâàåò äîêàçàòåëüñòâîøàãà (iii).Òàêèì ñïîñîáîì óäàåòñÿ äîêàçàòü óòâåðæäåíèå îá îáùåì ðåøåíèèòîëüêî äëÿ çíà÷åíèé t > 0, íî áåðÿ â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî âðåìåíè âìåñòî0 âñå ìåíüøèå è ìåíüøèå çíà÷åíèÿ t0 < 0, ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü îáùèéâèä ðåøåíèÿ (16) (ñ òåìè æå çíà÷åíèÿìè ïîñòîÿííûõ C1 è C2 ) äëÿ âñåõt.0.5.
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