Dmitriev1 (1114436)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

п.1. Понятие дифференциального уравнения.

Математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение является основой математического моделирования. Кратко о математическом моделировании. Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. Если функции одной переменной, то имеем обыкновенные дифференциальные уравнения, если функции нескольких переменных, то дифференциальное уравнение в частных производных. Наш курс посвящен исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть на отрезке [0,T] определена n раз дифференцируемая функция и ее производные . Переменные образуют (n+2) – мерное пространство. Если в области определена функция то соотношение

(1.1)

называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Решением (1.1) называется n-раз дифференцируемая функция , заданная на [0,T] и обращающая соотношение (1.1) в тождество. Порядком уравнения называется порядок старшей производной в (1.1). Уравнение, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид:

. (1.2)

Уравнение, разрешенное относительно старшей производной, легко записать в виде системы первого порядка

(1.3)

Общий вид системы первого порядка, разрешенной относительно производных, называют нормальной системой

. (1.4)

Решением системы (1.4) называют совокупность дифференцируемых функций , определенных на отрезке [0,T], которые при подстановке в (1.4) обращают их в тождество. При моделировании могут быть непрерывными или разрывными, соответственно определяют функции . Мы будем считать в дальнейшем непрерывными функциями. Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Задача для дифференциального уравнения или системы состоит из уравнения (или системы) и дополнительных условий, которые должны обеспечить существование и единственность решения этой задачи. Обыкновенные дифференциальные уравнения моделируют явления и процессы, которые описываются одной функцией или вектор-функцией одного переменного.

1.1 Временные процессы, где y(t) характеризует изменение какого-либо параметра во времени. Обычно математическая модель описывает связь между , скоростью и ускорением процесса в виде:

или более простая модель, связывающая со скоростью , в виде:

.

Если мы имеем несколько параметров модели , связанных между собой и со скоростью и ускорением их изменения, то имеем системы дифференциальных уравнений в виде:

(1.5)

или, если связаны и ,

.

Система (1.4) является нормальной, а система (1.5) не является нормальной. Систему (1.5) можно перевести в нормальную, если ввести обозначения , где

.

Тогда имеем нормальную систему для

,

где ,

.

П р и м е р ы м а т е м а т и ч е с к и х м о д е л е й

д л я в р е м е н н ы х п р о ц е с с о в:

1. Радиоактивный распад .

— масса распадающегося вещества. Количество распавшегося вещества пропорционально количеству и времени, т.е.

при имеем

. (1.6)

Решение дифференциального уравнения . Дополнительно условие – , тогда задача

Решение задачи : .

2. Размножение с миграцией.

– численность популяции, изменяющейся во времени,

– миграция. Уравнение имеет вид:

.

Его решение .

Дополнительные условия: . Тогда задача имеет вид:

Решение задачи:

.

1.2 Пространственные процессы, где y(x) описывает распределение параметра процесса вдоль оси Оx. Модели

(1.7)

или

. (1.8)

П р и м е р м а т е м а т и ч е с ко й м о д е ли

п р о с т р а н с т в е н н о г о п р о ц е с с а:

Равновесие атмосферы в поле сил тяжести.

Давление и плотность воздуха в атмосфере изменяются с высотой ( =0 земная поверхность). Если выделить маленький цилиндрический объем в воздухе высотой и площадью сечения , то его вес равен , где — земное ускорение. На этот цилиндр действует сила за счет разности давления на разных концах цилиндра. Условие равновесия дает соотношение

или .

Для того, чтобы получить окончательно дифференциальное уравнение, необходимо из уравнения Клайперона , выразить плотность через давление :

; — температура воздуха.

Откуда имеем

. (1.9)

Решение этого уравнения дает барометрическую формулу

, , (1.10)

которая определяет убывание давления с высотой при известном распределении температуры .

п.2. Постановка задачи с начальными данными

(задача Коши). Понятие корректной постановки задачи.

Лемма Гронуолла–Беллмана.

Рассмотрим вначале систему дифференциальных уравнений

. (2.1)

Ее решение представляет кривую в (n+1)-мерном пространстве Эта кривая называется интегральной кривой. Подпространство называют фазовым пространством. Проекция интегральной кривой на это пространство называется фазовой траекторией (или просто траекторией).(Пример из балистики).

Cистема (2.1) в каждой точке области D, где определена , определяет направление . Эта область с заданным направлением называется полем направлений. Кривые, определенные уравнением , называют изоклинами. Это кривые в поле направлений выделяют постоянный наклон.

П р и м е р для уравнения I порядка ; например, изоклины окружности.

Семейство интегральных кривых однопараметрическое – это общее решение дифференциального уравнения. Если положить (фиксированное значение), то мы получаем частное решение. Для однозначности решения (определение интегральной кривой) надо задать начальную точку, через которую проходит интегральная кривая .

Таким образом, задача Коши:

1) для уравнения I порядка

(2.2)

2) для системы уравнений I порядка

(2.3)

3) для уравнения n-го порядка

(2.4)

.

Корректность постановки задачи (Адамар)

При данной постановке задачи решение должно

1) существовать и

2) быть единственным.

Это определяет математическую разрешимость задачи. Кроме того, должно выполняться условие:

3) решение задачи должно быть устойчивым по отношению к изменениям правой части и начальных данных. Это определяет физическую детерминированность задачи.

Формулировка устойчивости решения: для существует такое , что из условия

и следует , где

.

Мы последовательно должны рассмотреть все вопросы корректности задачи Коши.

Л е м м а Гронуолла – Беллмана.

Если непрерывная функция Z(t) удовлетворяет условию при

, (2.5)

то выполняется оценка

. (2.6)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) Вначале выведем дифференциальную оценку.

Из при и следует

. (2.7)

Теперь проведем общее доказательство.

2) Введем .

Подставим в (2.5)

. (2.8)

Тогда, согласно (2.7), получаем

или, подставив в правую часть (2.8) получим неравенство

.

Лемма доказана.

п.3. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения I-порядка, разрешенного относительно

производной.

Рассмотрим задачу Коши:

(3.1)

Л е м м а 3.1. Задача Коши (3.1) эквивалентна интегральному уравнению

. (3.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть решение задачи Коши (3.1) . Подставив в (3.1), получим тождество, которое можно проинтегрировать, и тогда имеем (3.2) решение задачи Коши (3.1) является решением интегрального уравнения (3.2). В обратную сторону,если решение интегрального уравнения (3.2), то в силу непрерывности по интеграл в (3.2) является дифференциальной функцией. Продифференцировав (3.2), получим (3.1) решение интегрального уравнения является решением задачи Коши. Лемма доказана.

Т е о р е м а 3.1 Решение задачи Коши (3.1) для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной единственно, если

1) непрерывна по t и y в области

;

2) удовлетворяет в области R условию Липшица по y т.е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3.1.

Редуцируем задачу Коши в предположении решения к интегральному уравнению (3.2). Предположим, что оно имеет два решения и . Тогда их разность удовлетворяет соотношению

.

Сделаем оценку, используя условия Липшица

при ,

где выбирается так, что и можно использовать условия Липшица. Так как , то по лемме Гронуолла - Беллмана при имеем

. Теорема доказана.

Дальше можно распространить доказательство на больший интервал по , пока выполняются условия теоремы. Для линейного уравнения единственность доказывается сразу для всего интервала по , т.к. условия теоремы по выполняются на всем интервале .

п.4. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

Т е о р е м а 4.1. Решение задачи Коши (3.1) при выполении условий (1) и (2) теоремы 3.1 существует в интервале , где , где в R.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как задача Коши эквивалентна интегральному уравнению (3.2), то докажем решения интегрального уравнения. Будем строить решение интегрального уравнения методом последовательных приближений.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций