Dmitriev1 (1114436), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

. (4.1)

Легко видеть, что если ,

то и , т.к.

. (4.2)

Поскольку , то по методу математической индукции все Теперь докажем, что предел .

Представим

. (4.3)

П р и з н а к В е й е р ш т р а с с а.

Если функциональный ряд определен на и если существует сходящийся числовой ряд такой, что для всех и для справедлива оценка

,

то функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на .

С л е д с т в и е.

Если – непрерывная функция и ряд сходится равномерно, то предел ряда – непрерывная функция.

Докажем, что ряд сходится, тогда

.

Для этого построим можарантную оценку членов ряда (4.3)

,

(используя условия Липшица)

и т.д., получим по методу математической индукции

.

Мажорантный ряд сходится по признаку Даламбера

.

Следовательно, функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно по признаку Вейерштрасса при , и мы имеем предел

, (4.4)

причем – непрерывная функция. Покажем теперь, что

. (4.5)

Так как удовлетворяет условиям 1), 2) теоремы 3.1, то , если (N – коэффициент Липшица). Тогда такое, что при имеем из условия , что . Тогда при , причем при .

Следовательно,

.

Отсюда следует, что при из

имеем

.

Продифференцировав, получим

. теорема доказана.

n.5 Дифференциальное уравнение I-порядка,

неразрешенное относительно производной.

Теорема существования и единственности решения.

Уравнение

. (5.1)

Т е о р е м а 5.1. Если в некотором замкнутом трехмерном параллелепипеде

с центром в точке , где – действительный корень уравнения , выполнены условия

а) непрерывна по совокупности аргументов вместе с частными производными и ;

б) ,

то в окрестности точки существует единственное решение уравнения (5.1), удовлетваряющее начальным условиям .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Условия а), б) дают, что в точке выполнены условия и ! неявной функции

,

причем – непрерывна по , а также непрерывна (это сильнее, чем условие Липшица по y.)

Следовательно, решение и ! .

Метод введения параметра.

Пусть уравнение разрешено относительно т.е.

. (5.2)

Обозначим (это введение параметра). Тогда предполагая решения уравнения (5.2), получим

.

Окончательно получаем уравнение для

. (5.3)

Это уравнение разрешено относительно производной. Найдем его общее решение .

Тогда

. (5.4)

Решение найдено. С – определено из начальных данных.

Общий случай введения параметра.

Уравнение (5.1). Введем имеем

. (5.5)

(5.5) определяет поверхность в пространстве . Зададим эту поверхность параметрически

Найдем уравнение для от .

Так как , то, подставив

,

получим

.

Откуда

. (5.6)

Получили уравнение в , которое разрешено относительно производной .

n.6 Особые решения уравнения I-го порядка,

неразрешенного относительно производной.

Особым называется такое решение, во всех точках которого нарушается единственность решения задачи Коши.

Рассмотрим вначале уравнение разрешенное относительно производной . Нарушение единственности будет там, где нарушаются условия теоремы и !. Если - неограничено, то условие Липшица не выполнено и единственность нарушена.

Например :

.

Решение уравнения

.

Функция является особым решением.

Рассмотрим общий случай

.

Если бы разрешили это уравнение, то для соответствующей ветви мы могли бы вычислить . В соответствии с правилом дифференцирования неявной функции имеем

. (6.1)

Если – ограничено, то условием нарушения единственности будет

(6.2)

Таким образом, условием (необходимым) существования особого решения есть

или (6.3)

Исключив из системы (6.3) p, получим p-дискриминантную кривую , которая будет особым решением, если является решением .

П р и м е р 1.

Система

– особое решение.

П р и м е р 2.

.

Система

– особое решение, так как оно удовлетваряет уравнению

.

Метод получения особых решений при известном общем решении.

Пусть известен общий интеграл уравнения . Это семейство решений. Особое решение есть огибающая этого семейства, т.е.

Исключая с, получим с-дискриминантную кривую . Это особое решение, т.к. функция является решением дифференциального уравнения и в каждой точке нарушается единственность решения.

Для того, чтобы разрешить относительно (или , необходимо, чтобы одновременно не обращались в ноль и , т.е. должно быть выполнено условие

.

Однако точки могут входить в огибающую, т.к.

при и .

Чтобы исключить эти точки, мы должны записать условия особого решения

(6.4)

П р и м е р:

.

Общий интеграл

(т.к. ) ;

особое решение находим из системы

Откуда , а c – дискретная кривая , – особое решение.

n.7. Общий интеграл уравнения I-го порядка.

Интегральный множитель.

Уравнение всегда можно представить в виде

(7.1)

Если , а , то (7.1) уравнение в полных дифференциалах и мы имеем

. (7.2)

Следовательно, имеем

. (7.3)

Представление (7.3) — общий интеграл уравнения (7.1). Неявно представлено однопараметрическое семейство решений. Оно разрешимо, т.к. , следовательно,

. (7.4)

Если мы для уравнения (7.1) имеем задачу Коши , то и общее решение

. (7.5)

Это другое определение общего решения через задачу Коши для произвольного .

Чтобы найти явное выражение решения (7.3) необходимо, чтобы . Если в некоторой точке , а , то можно определить

. (7.6)

Если в некоторой точке одновременно и , то это особая точка.

Т е о р е м а 7.1. Необходимым и достаточным условием представления уравнения (7.1) в полных дифференциалах является условие (если решение ).

1) Д о к а з а т е л ь с т в о н е о б х о д и м о с т и.

.

2) Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и.

Пусть

Возьмем , тогда

(это мы получим из и ).

Теорема доказана.

Общее решение можно записать в виде:

, (7.7)

если .

Предположим, что . Тогда можно поставить вопрос: существует ли такая функция , называемая интегрирующим множетелем, что

. (7.8)

Т е о р е м а 7.2. Если уравнение

имеет общий интеграл , то это уравнение имеет интегрирующий множитель.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Имеем

а из

.

Откуда имеем

такое что,

уравнение в полных дифференциалах.

Число интегрирующих множителей бесконечно, т.к. если – интегрирующий множитель, то , также интегрирующий множитель:

,

где .

Т е о р е м а 7.3. Формула дает любой интегрирующий множитель уравнения (если его решение ).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть и два различных интегральных множителя

.

Так как Якобиан функции и равен нулю, то

или для .

С л е д с т в и е. Если известно два интегральных множителя при , то условие дает общее решение дифференциального уравнения т.к.

– общее решение.

Как найти ?

Пусть

,

но такое, что

.

Откуда получим

1) Если , то

.

Если (функция только от t), то

. (7.9)

2) Если (функция только y), то – функция только y, и мы имеем

. (7.10)

п.8. Нормальные системы DУ. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы и уравнения n-го порядка.

Нормальная система (8.1)

Т е о р е м а 8.1. Если для всех удовлетворяет условиям

1) непрерывности по всем аргументам в области

одно и то же для ) ;

2) условию Липшица по , т.е.

для всех ,

то решение задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений существует и единственно на отрезке , где для .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Строится эквивалентная система интегральных уравнений

. (8.2)

1. Доказательство эквивалентности аналогично лемме 3.1.

2) Доказательство единственности аналогично теореме 3.1, но только нужно учитывать векторный характер решения.

Пусть есть два решения

,

у которых не все равны , тогда не равна нулю функция

Из (8.2) следует

Просуммировав по всем “k”, получим

.

Из леммы Гронуолла - Беллмана имеем

.

Eдинственность доказана.

2) Доказательство существования аналогично теореме 4.1.

Строим итерационный процесc

(s – номер итерации).

Если , то все

т.е. для ,

т.к. .

Рассматриваем сходимость ряда .

Оценка : .

Дальше все аналогично теореме 4.1. Мажорантный ряд сходится по признаку Даламбера. Функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно к непрерывной функции по признаку Вейерштрасса.

такая, что

.

Так как интегральное уравнение эквивалентно решению задачи Коши

,

то решение задачи Коши .

Существование и единственность решения уравнения n-го

порядка.

Имеем

(8.3)

Т е о р е м а 8.2. Задача Коши (8.3) для уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, правая часть которого удовлетворяет условиям:

1) непрерывности по всем аргументам и

2) условию Липшица по аргументам , имеет решение и притом единственное.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Сведем (8.3) к задаче Коши для нормальной системы

.

Тогда имеем нормальную систему

Проверяем удовлетворяет ли условиям 1) и 2) теоремы (8.1)? Удовлетворяет. Следовательно, теорема 8.2 доказана.

24

Характеристики

Список файлов лекций