МатАн План лекций 2012-13 (Второй поток) (1113404), страница 7
Текст из файла (страница 7)
125-130.[ЗУМА] Глава III, §3, стр. 113-117.[ИСС1] Глава 6, §7-10, стр. 245-257.18. Лекция k1-s1-18. Построение графиков функций-1.1.5.Построение графиков функций.1.5.1.Классификация точек разрыва (напоминание).Точки непрерывности и точки разрыва функций. Классификация точек разрыва: точки устранимогоразрыва, точки разрыва 1 рода, точки разрыва 2 рода.1.5.2.Асимптоты графика функции.Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Необходимое и достаточное условиесуществования наклонной асимптоты.1.5.3.Возрастание и убывание функции.Возрастание и убывание функции.
Отыскание промежутков монотонности с помощью производной.1.5.4.Локальный экстремум.Понятие локального экстремума функции. Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции (теорема Ферма). Достаточное условие локального экстремума непрерывной дифференцируемой функции. Достаточное условие локального экстремума дважды дифференцируемой функции. Исследование локального экстремума. Примеры (для этого и следующегоln xxразделов):,,f ( x) =f ( x) =f ( x) = x ln x ,f (=x) 2 x3 − 3x 2 ,f ( x) =x 3 − 9 x 2 + 15 x ,xln x2=ln x , f (0) 0 , f ( x) = xe − x , f ( x) = x 2 e − x , f ( x) = x n e − x ,ln x , f (0)0 , f ( x) x=f ( x) = x 2=ln x , f ( x) x=Москва 2012-201315Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.2012f ( x) = e−1x2f=( x),3x(3 − x) 2 ,=f ( x)5x 3 (5 − x) 2 ,f ( x) =x85( x − 2)3,f ( x) = x x ,1f ( x) = x x ,x 1) 1 + ,f ( x= xЧитать:[МАВЗ] Глава VIII, §1, стр.
130-136.[МАВЗ] Глава VI, §3, стр. 116-121.[ЗУМА] Глава III, §3, стр. 110-122.[ИСС1] Глава 7, §1-6, стр. 262-284.19. Лекция k1-s1-19. Построение графиков функций-2.1.5.5.Выпуклость графика функции.Понятие и определение направления выпуклости графика функции на данном интервале. Теоремао достаточном условии выпуклости вниз (вверх) графика функции на данном интервале.
Геометрическая интерпретация этой теоремы.1.5.6.Точки перегиба графика функции.Определение точек перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба графика дваждыдифференцируемой функции. Пример, показывающий, что условие не является достаточным условием перегиба дважды дифференцируемой функции. Точки возможного перегиба графика функции. Различные формы достаточных условий перегиба, использующие первые, вторые, третьи производные.Читать:[МАВЗ] Глава VIII, §1, стр. 130-136.[ЗУМА] Глава III, §3, стр. 117-122.[ИСС1] Глава 7, §1-6, стр. 262-284.20.
Лекция k1-s1-20. Графики параметрических функций.1.5.7.Асимптоты графика параметрической функции.Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Необходимое и достаточное условиесуществования наклонной асимптоты.1.5.8.Возрастание и убывание параметрической функции, локальныйэкстремум.Возрастание и убывание функции. Отыскание промежутков монотонности функции методом исследования знака первой производной. Точки возможного экстремума функции. Достаточные условиялокального экстремума, основанные на исследовании первых и вторых производных.1.5.9.Выпуклость графика параметрической функции, точки перегиба. Теорема о достаточном условии выпуклости вниз (вверх) графика функции на данном интервале. Необходимое условие перегиба графика дважды дифференцируемой функции.
Пример, показывающий, что условие не является достаточным условием перегиба дважды дифференцируемойфункции. Точки возможного перегиба графика функции.1.5.10. Исследование и построение графиков функций, заданных параметрически.Примеры: 1) x =Читать:Москва 2012-201323t 23t,, 2) x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , ( x 2 + y 2 ) =2 xy ,y=331+ t1+ t16Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.2012[МАВЗ] Глава VIII, §2, стр. 137-142.[ЗУМА] Глава III, §3, стр.
117-122.[ИСС1] Глава 7, §1-6, стр. 262-284.1.6.Интеграл Римана.21. Лекция k1-s1-21. Определенный интеграл.1.6.1.Интеграл Римана.Разбиение. Верхняя и нижняя суммы. Определенный интеграл – число, равное точной нижней граниплощадей описанных ступенчатых многоугольников и точной верхней грани вписанных ступенчатых многоугольников. Теоремы о точных гранях суммы и произведения. Теоремы об интегрируемости суммы, произведения функций. Интегрируемые и неинтегрируемые функции. Пример ограниченной неинтегрируемой функции.1.6.2.Равномерная непрерывность.Равномерная непрерывность. Теорема Кантора для функции одной переменной.22.
Лекция k1-s1-22. Классы интегрируемых функций.1.6.3.Интегрируемость некоторых классов функций.Некоторые классы интегрируемых функций: непрерывные, кусочно-непрерывные, монотонные ограниченные.1.6.4.Свойства определенного интеграла. Формулы среднего значения. Дифференцирование по верхнему и нижнему пределам. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.Читать:[МАВЗ] Глава VIII, §5, стр. 167-171[ЗУМА] Часть 2, Глава II, §1, стр. 236-246[ИСС1] Глава 9, §1-5, стр. 330-370.2. Семестр 2 (21 лекций, 20+8 семинаров)Обозначения: теорема с доказательством, формулировка теоремы дается на лекции, доказательство в качестве упражнения для самостоятельной работы.Для каждой лекции указана неделя, ф–февраль, м–март, а–апрель, й–май.1.
Лекция k1-c2-01-ф10. Точки и множества точек в пространстве.2.1.Предел и непрерывность функции нескольких переменных.2.1.1.Понятие m-мерного пространства.Евклидово m-мерное пространство.Скалярное произведение и его свойства.Расстояние и его свойства. Неравенство Коши.Шаровая, прямоугольная и кубическая окрестности точки.Теоремы о включении шаровых и прямоугольных окрестностей.Москва 2012-201317Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.20122.1.2.Последовательности точек в пространстве.Последовательности точек.Ограниченные и неограниченные последовательности точек.Бесконечно большая последовательность точек.Предел последовательности точек.Сходимость и покоординатная сходимость. Теорема о равносильности сходимости и покоординатной сходимости.Предельные точки последовательности. Основные теоремы. Примеры.Условие Коши.
Критерий Коши. Теорема Больцано–Вейерштрасса.2.1.3.Открытые, замкнутые, выпуклые множества точек.Внутренние и граничные точки множества, предельные точки, изолированные точки. Примеры.Открытые и замкнутые множества на плоскости и в пространстве. Замыкание множества.Каждое непустое множество разбивает все точки пространства на 4 категории, внутренние и не внутренние точки самого множества и его дополнения.Ограниченные и неограниченные множества на плоскости и в пространстве. Примеры.Непрерывная кривая в пространстве. Связные и несвязные множества.
Примеры.Окрестности. Примеры окрестностей.Выпуклые множества в пространстве. Выпуклая оболочка множества точек на плоскости. Примеры.Читать:[МАВЗ] Глава X, §1, 2, стр. 191-204.[ЗУМА] Глава III, §1, стр. 286-291.[ИСС1] Глава 12, §1, стр. 442-451.2. Лекция k1-c2-02-ф17. Предел функции нескольких переменных.2.1.4.Предел функции нескольких переменных.Понятие функции нескольких переменных (ФНП).Способы визуализации. Карта линий равного уровня. Квазитрехмерный график. Примеры.Два определения предела функции в точке (по Коши и по Гейне).Определение предела по Коши и по Гейне.
Теорема о равносильности двух определений.Бесконечно малые функции в точке.11lim ( x + y ) sin sin =0,Примеры1:lim 3 x3 + y 3 =0,lim0,x2 + y 2 =x,y→0;0xy→xy→,0;0,0;0( ) ( )( ) ( )( ) ( )xylim( x , y )→( 0;0 )x ln x 2 + y 2 =0,2 xy2x2 yнесуществует,не существует.lim( x , y )→( 0;0 ) x 2 + y 2( x , y )→( 0;0 ) x 4 + y 2Предел функции в бесконечно удаленной точке.x+ yxyx2 + y 2= 0 , lim 4Примеры: lim 2не существует.= 0 , lim 2( x , y )→∞ x + y 2( x , y )→∞ x + y 2( x , y )→∞ x + y 4 Арифметические операции над бесконечно малыми функциями. Арифметические операции над ограниченными и бесконечно малыми функциями. Арифметические операции над функциями, имеющими предел в данной точке.Предел по совокупности переменных и повторные пределы.
Примеры.[ИСС1] Глава 12, §2, стр. 451-460.Примеры 2:lim2.1.5.Непрерывные функции нескольких переменных.Непрерывность функции нескольких переменных по совокупности переменных и по каждой переменной. Соотношение между ними.Москва 2012-201318Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.2012Примеры: 1)( x + y ) sin( x , y )→( 0;0 )lim1111sin =0 , lim ( x + y ) sin sin не существует,x →0xyxyxyxy= 0 , limне существует.22,0;0xy→()()x +yx + y2 Теоремы об арифметических операциях над непрерывными функциями. Понятие сложной функции.
Теорема о непрерывности сложной функции.2) limx →022.1.6.Свойства непрерывных функций. Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение. Первая теорема Вейерштрасса. Вторая теорема Вейерштрасса.Читать:[МАВЗ] Глава X, §3, 4, стр. 205-212.[ЗУМА] Глава III, §1, стр. 286-291.[ИСС1] Глава 12, §3, стр. 460-469.3. Лекция k1-c2-03-ф19. Дифференцируемые функции.2.2.Дифференцируемые функции нескольких переменных.2.2.1.Частные производные.Частные приращения.
Частные производные. Геометрический смысл частной производной.Примеры (дифференцируемых) функций, имеющих частные производные:1 22, x ≠ 0 y ≠ 0,( x + y ) sin 233y1) f ( x, y ) = x + y − 3 xy , 2) f ( x, y ) = x , 3) f ( x, y ) = ,x + y20,x= y= 0.Еще примеры (не дифференцируемых) функций, имеющих частные производные: 2 xy, x 2 + y 2 > 0, 2233 31) f ( x,=y)x + y , 2) f ( x, y ) = x + y 0,x= y= 0.2.2.2.Дифференцируемые функции.Определение дифференцируемой ФНП. Теорема о связи между дифференцируемостью и существованием частных производных функциив точке. Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке. Теорема о необходимом условии дифференцируемости функции в точке. Теорема о достаточных условиях дифференцируемости функции.Примеры дифференцируемых функций:1) f ( x, y ) = x3 + y 3 − 3 xy , 2) f ( x, y ) = x y ,1 22, x ≠ 0 y ≠ 0,( x + y ) sin 23) f ( x, y ) = ,x + y20,x= y= 0.Примеры не дифференцируемых функций: 2 xy, x 2 + y 2 > 0, 223331) f ( x,=y)x + y , 2) f ( x, y ) = x + y 0,x= y= 0.Москва 2012-201319Московский государственный университетФизический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yandex.ruПлан лекций по курсу математического анализа, версия 05 от 30.08.20122.2.3.Дифференциал функции нескольких переменных.Дифференциал функции нескольких переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
