Антидемидович 3 - интегралы (1113364), страница 20
Текст из файла (страница 20)
заданиыми уравиеииями: 84 (х2+уз +г2)з з(ха+уз+ 3) )0 ) 0 ) О 88 (х2+~2)24 га аз(х у) 2 2 *Л С лз / 2 2 2 26 ;г 66. (8+" +«) =8+3 — —,х>О,у>О,х>0. а 6 с) В Л' 89. (а2х+62у+ с2«) +(агх+ Ьгу+ сгг) = 1, азх+Ьзу+ сзг = ю16, где ос 62 с2 аг Ьг сг ф0. аз Ьз аз 148 Гл. '2. Кратные и криволинейные интегралы (хз + уг + хг)з 91. х + уг + хг = а, хг + у + хг = Ь, х + уз = зг (х > О, 0 < а < Ь). l г з гьг гг г г г 96. ( — +р) +(-) =1,х>О,у>О.х>0, 97.,«иэог+ Я+ Льугт = 1, х > О, у > О, х ~ )О.
98. (х + у + з ) Найти координаты центров тяжести однородных пластинок Р С Р, ограниченных крпг выпи, заданными уравненияьт: 99. х' + у' = хгу. 100. (-+ д) = щь, 101.;/х +,гу =;/ащ х = О, у = О. 102. (-+ 8) = —,". 1.03. (хо + у ) = 2а ху, х > О, у > О. Найти моменты инерции 1 и 1„относительно осей координат Ох и Оу однородных пластинок Р С В~. ограниченных кривымн. заданиымн уравнениями; 104.
—,* + д = 1, — + д = 1, у = О (Ьг > О. Ьг > О, Ь > О). 108. р = а(1+ сов ьг). 106. х' + у' = а (хг + уг). 107. ху = аг.. ху = 2а, х = 2у. 2х = у (х > О, у > О). 108, Найти лзолгент инерции правильного треугольника со стороной а относительно пря- мой, проходящей через центр тяжести треугольника и составляющей угол о с его высотой. Найти координаты центров тяжести однородных тел. ограниченных поверхностялги, за- данными уравненняьщ: 109. Лг(хг + у ) = а з", 0 < г < Ь. 110.
ха + у + зг = а, хг + уг = ах. 111. -т + У- = -'. - + Д = ~1, - — К = Ы, - = О. 112 хг+хг аг уг+ „г аг (з>О) 113 ха+уз 2з х+у Определить моменты инерции относительно координатных плоскостей однородных тол, ограниченных поверхностями. заданныып уравнениями (параметры положительны); г * г г г г 114. г + ьь =,г: ' = ' 118. —: + ы +,г = 1 «г + ьг 116. — + — = 2-;. — „+ — = —,.
«* з г ьг ' ь 117. Найти ньютонов потенциал в точке Р = (О. О, з) цилиндра Т = ((б, Л, ь) Е Вг: с~+ пг «( га~. О ( л «( Ь) постоянной плотности рь. 118. Найти силу притяжения однородным шаровылг секторолг плотности рс материальной точки с массой, равной единице, помещенной в его вершине, если радиус шаровой поверхно- сти равен г, а угол осевого сечения сектора равен 2о.
~ 4. Интегрирование на многообразиях 4.1. Многообраззгя в евкпидовом пространстве йю и нх ориентация. Определение 1. Лбножсслгво 31 С гл~ наэыеастсямногообразисм роз.иерности р «( и . пранаб.гежащгьн классу С', если для каждой точки а = (аг,..., а ), а Е ЛХ, и некоторой окреспгности 5(а, б) существует окрестносгпь 5(ар, бг) точки ар —— (ап ..., ар) и тако« отображение Ьг: 5(ар, бг) — Л1 гг 5(а, б) класса С'. что ьгэ(ар) = аэ. у = р+ 1. т, причем координаты гпочек х Е Л1 гг 5(а, б) удовлетворяют уравнениям хэ — — Ьгэ(хр) = Ьгэ(хэ, ..., хр), хр Е 5(ар, бг), 1 = р+ 1, т. (1) Определение 2.
Параметрическим представление н множества Л1 С Ию размерности р «(т, принадлежащим классу С, называется отображение и ь йл(и) открытогс множества С С мо в пРостРанство И™г обладающее следУющими свойспгвоми: 1) й яеллемся со.ггсозгорфиззгозг О на И; 2) йь «ьлягнн я отобз «л«нисм лг — гл«', принодяьмощнлг классу Сг; $4. Интегрироваиме на многообразиях )49 3) е каждой точке и = (иэ, ..., ир), и Е О. отображение л(Ф(и) Е Е(И": И"') ил~ест ранг р. Последнее условие в определении 2 означает, что образ векторного пространства Ил при этом отобрал;енин является векторным подпространством в И"' размерности р, т.е. векторы — (и). Х = 1, р, линейно независимы в И~, в силу чего хотя бы одни из определптеяей р — го О э ее, порядка матрицы Ф'(и).
составленной иэ элементов о '(и) (( = 1, гл, Х = 1, р). отличен от О э нуля. Теорема. Длл того чтобы ллножестео Ы С И было .иногообраэием класса С роэлгерности р Е т. необходюно и достаточно. чтобы для каждой точки а Е ЛХ суилестеоааэа гаакая открытая окрестность 5(а, 6). чтобы множестео М О Яа. 6) допускало паралгегприческое представление раэмерносгли р, принадлежагисе классу С 1 Если р = 1, то говорят.
что 11 есть кривая класса С' (или гладкия криеая), а в случае р = 2 многообразие 11 называют поверхностью класса С' (или г.гадкой поверхностью). В случае, когда р = т — 1, многообразие Ы Е К'" называется гиперпоеертностью. Если гп = 3, р = 2, то, для того чтобы в окрестности точки а Е Ы множество Ы С Иэ было гладкой поверхностью, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два эквивалентных условия: 1) с точностью до перестановки координат хэ.
хз. хэ в окрестности точки а = (ап аг, аэ) множество Ы задается уравнением хз = сс(хы хз), где р — функция класса С в окрестности 1 точки (ал, аг) и Ьс(аэ, аэ) = аз: 2) в окрестности точки а множество Ы допускает параыетризацлгю класса С 1 хэ = ьсэ(иэ, иг). 1 ~( Х < 3. (иэ, иг) Е 5(а. б), хэ(о) = аэ, и при этом хотя бы один из определителей лэ(рэ. Ез) Р(Ьсз, Рэ) К'Р~ 9г) 2э(иэ, иг) сл(иэ, иэ) сэ(иэ, «г) отличен от нуля для всех точек (иг.иг) Е 5(сг, Л). Определение 3.
1(усть отображение и с — Ф(и). и Е О, О Е Ил. яеляетсл пиромегаричсским предстаеленисм ллножестеа э11 Е И~ раэлгерности р < т класса С е окрестности точки а Е М. причеи Ф(а) = а, сг Е О. Тогда образ линейного отображения НФ(сг): Иг — И™ есть секторное подпространстео раэ.исрносгпи р.
Это иодпространстео ниэыеается касательным пространстеом к многообраэию Ы е точке а и обозначается Т (ЛХ). Определение 4. Систе ной ориентаций .'У диффсренчирусмогомногообразия Л1 наэысастся выбор для каждой точки а Е М неко~норой ориентации его ееггпорного касательного пространства Тл(Л1). Определение б, Л(ногообраэие Л1 С И размерности р < т класса С' наэыеастся ориент ирусм ылг, если оно имеет хотя бы одну непрерывную аист сну ориенглоиий, а выбор такой фиксироеанной сисплемы ориентаций наэыеастся ориентацией многообразия ЛХ.
Если многообразие Ы является связным н ориентируемым, то оно обладает двумя возможными ориентациямн. определяемыми выборолэ ориентации пространства Тл(ЛХ). Если ЛХ Е И~ — гиперповерхиость класса С', то ее трансверсально ориентируют выбором непрерывного поля единичных норыалей п(х), х Е Ы, а выбор одного из двух возможных направлений вектора и в произвольной точке х Е Ы определяет трансверсальную ориентацню в целом. Трансверсально ориентируемые гнперповерхности называются деуспэоронними.
Если, например, гладкая поверхность размерности р = 2 в пространстве Из задана уравнением Х'(х, у, х) = г — р(х, у) = О. (х, у) Е (1, Ху С И, то д,р бхай((г ° и. г) — (г. у) ° (х, у) 1) дх ду Га. 2. Кратные и кривавииайиые икттралы 150 следовательно, векторы и(х, у, х) (2) «ф+р «г' ««г«г'«г ««с+Р+Ру' где р = гк(х, у), Г = $(х, у), опредеэяээт два непрерывных поая еднннчньпг иормелей к о поверхности в хыкдои ее точке.
Выбор определенного знака перед радккалом 1 + уэ + д э з произвольной точке поверхности фиксирует одно из этих полей, а значит, и определенную сторону поверхности, т.е. ориентирует ее траасеерсальио. Если гладкая поверхность М С Йэ задана параметричесхи в виде хтх(и,е),у=у(и,е), е=э(и,е), (и,е)кО, ОС61~, А В С * А «э'«гг «А «гг«г««««««В «гг) где А= — (-'— —, Вю — ', Сю Р(у, г) Р(х, х) 2Э(х, у) 21(и, е)' Э(е, о)' 2э(и, э) Если М С мю — гладкая кривая, то ее касатеаьная ориентация называется направлением обхода кривой, а поломительным считается обход, прн катаром вектор скорости Ф'(1), 4 б]а, 6[, в хая«кой точке 4 является полоэкительныы в смысле ориентации в этой точке.
Траксзерсальнаа ориентация этой кривой определяется эздаюгем направления вращения вокруг нее. Пусть М С Й вЂ” ориентированное многообразие размерпостк р = 2 хаэска С , а К— 1 компакт, лемащнй па этом многообразии. Обозначим через дК границу компакта Л . Определение б. Колпак«и К С М позыва- « ется компакпгом с краем класса С, если выр с. 14 полнены следующие условия: ис. 1 ю 1) дК в просп«ране«зев И является кусочно-тадкой кривой класса С (э«по кривая лезгин« 1 на многообраэии М и имеегп е обком случае конечное мноместео угловых точек); 2) всякое точка а б ВЛ', отличная от угловой, имтт такую открытую окрестность 8(а, 6) на многообразии М, чего мномеспгво 8(а, б) с|СЭК распадается не дее связные компоненты, одна иэ копгорых состоит иэ точек 8(а, б) Г1 СЛ, а другая — иэ точек окрестности 8(а, б), иринадлемощих компакту К.
Ориентации многообрааия М сопоставляем ориентацаю гладких дуг храя ЗК по следующему правклу: в хамкой регуаярюэй точке а б дК рассмотрим в касателькок плоскости к мкогообравто вектор т(а), касательный к дЛ' в точке а, иаправленаый в сторону, определяемую ориеитациеи крам ВК, и вектор и(а), оргогоиальиый к вектору т (а), капававлеиный в ту сторону, где аткат виутреннке точяк компакта К. В случае, когда М С 6с, зезторы т(а), и(а) и ге =(т(в), и(а)] образуют базис пространства 62э, ориентируювпгй его так мо, ках и канонический базис ( °, у, Й) (рис. 14).
Есам М С дгю — многообразна размерности р е, ги класса С', то всякое параметрическое представление бг класса С открытого мкоктспга М О 8(а, й) этого многообразия наэываетсэ локальной картой класса Сэ, каи просто карп«ой. Мноигестао Ф(О) = М О 8(а, 6) называется обрамм этой харкет. Атласом ммогообрамт М иазываопм мноитстзо карт открытых мнолтсгв иэ М, образы которых покргеэаэаг М. $ 4. Интегрирование иа многообразиях 1г1 4.2.
Элемент г1з-МЕриого объема иа многообразии М С И™ размерности р < гп класса С . Пусть и ь Ф(и), и б О, — С'-гомеоморфизм области О С йр на область Ф(О) евклидова пространства И, а отображение 4Ф(и) б б(йр; Им) имеет ранг р в каждой точке и Е О. Тогда мно'кество М = Ф(О) является многообразием разлгернасти р класса С . Отображе- 1 нне ЫФ(и) в точке и Е О переводит систему р векторов базиса пространства Ир в систему линейно независиыых векторов е (и), у ж 1, р, из И еа з, Расслгатрнлг на ыножесгве О брус В с вершиной в точке и Е О, построенный на векторах Ыиг' = е, йиг, у = 1, р, биг. > О, где ез — векторы стандартного базиса пространства ИР.
Объем этого бруса 1г(В) равен произведению длин его ребер: ЙГ(В) — Ыиг биз ... Ыир ° (1) еа Образом вектора йи, при отображении ЫФ(и) является вектор Ф'(и)ег г)и, = е (и) биг. Следовательно, дифференциал ЫФ(и) отобра кает брус Вг на параллелепипед Н с вершиной еа в точке Ф(и), построенный на векторах — (и), у' = 1, р. ез Определенгге. Объем Нг(Н) параллелепипеда Н назыеасглся згсмснщолг р-лгерного объема на многообразии М. Согласно определению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
