Задачи с экзамена (1113179)
Текст из файла
1. Ìîæíî ëè ââåñòè íîðìó íà R2 òàê, ÷òîáû ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ x ñ íîðìîé ||x|| ≤ 1 èìåëîáû îðìó òðåóãîëüíèêà?2. Âñåãäà ëè çàìûêàíèå îòêðûòîãî øàðà ñîâïàäàåò ñ çàìêíóòûì øàðîì ñ òåì æå öåíòðîì è ðàäèóñîì?3. Äàíà ìàòðèöà A ∈ Rm×n . Äîêàçàòü çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà{y = Ax, x = [x1 , . .
. , xn ]⊤ , x1 , . . . , xn ≥ 0}.4. Äîêàæèòå, ÷òî óíêöèÿ Tn (x) = cos(n arccos x) ïðè −1 ≤ x ≤ 1 ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíèn ñî ñòàðøèì êîýèöèåíòîì 2n−1 . Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà pn (x) ñòåïåíè n ñòåì æå ñòàðøèì êîýèöèåíòîì âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ||Tn (x)||C[−1,1] ≤ ||pn (x)||C[−1,1] .5. Äëÿ ìàòðèö A, B ∈ Rn×n êâàäðàò ñóììû äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A⊤ B ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñóìì äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèö A⊤ A è B ⊤ B . Äîêàæèòå, ÷òî A è B îòëè÷àþòñÿëèøü ñêàëÿðíûì ìíîæèòåëåì.6. Íàéäèòå âñå p ≥ 1, ïðè êîòîðûõ íîðìà åëüäåðà || · ||p ïîðîæäàåòñÿ íåêîòîðûì ñêàëÿðíûìïðîèçâåäåíèåì.7.
Ïóñòü Mp ìíîæåñòâî âñåõ êîìïëåêñíûõ n × n-ìàòðèö A òàêèõ, ÷òî ||Ax||p = ||x||p äëÿ ëþáîãîx ∈ Cn . Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñåõ p 6= 2 ìíîæåñòâî Mp îäíî è òî æå è ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ìàòðèö âèäà DP , ãäå D äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè |dii | = 1, à P ìàòðèöàïåðåñòàíîâêè.8. Ìîæåò ëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ðàìà áûòü ÷èñëîì îòðèöàòåëüíûì?9. Ïóñòü ρ(x) ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ óíêöèÿ ïðè 0 ≤ x ≤ 1. Äîêàæèòå,R1÷òî n × n-ìàòðèöà A ñ ýëåìåíòàìè aij = xi+j ρ(x)dx ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé.010. Ïóñòü L è M ïîäïðîñòðàíñòâà â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå V ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.àâíîñèëüíû ëè ðàâåíñòâà L⊥ ∩ M = {0} è L ∩ M ⊥ = {0}?11. Äîêàæèòå, ÷òî â n-ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ëþáàÿ ñèñòåìà èç n + 2 âåêòîðîâ ñîäåðæèòïàðó âåêòîðîâ, äëÿ êîòîðûõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íåîòðèöàòåëüíî.12. Ïóñòü Pn ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå n ñî ñêàR1f (t)g(t)dt. Äîêàæèòå, ÷òî ðàññòîÿíèå îò ìíîãî÷ëåíà xn äîëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (f, g) =−1√ïîäïðîñòðàíñòâà Pn−1 íå ïðåâîñõîäèò 2/2n .13.
 ïðîñòðàíñòâå âåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (f, g) îïðåäåëåíî ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, íî òàê, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî(xf (x), g(x)) = (f (x), xg(x)),è ïóñòü ïðè ïðèìåíåíèè ïðîöåññà îðòîãîíàëèçàöèè ðàìàØìèäòà ê ñèñòåìå ìíîãî÷ëåíîâ1, x, x2 , ..., xn ïîëó÷åíû ìíîãî÷ëåíû L0 (x), L1 (x), ..., Ln (x). Äîêàæèòå, ÷òî èìåþò ìåñòîòðåõ÷ëåííûå ñîîòíîøåíèÿLk (x) = ak xLk−1 (x) + bk Lk−1 (x) + ck Lk−2 (x),2 ≤ k ≤ n,ak , bk , ck ∈ R.14. Ïóñòü A ìàòðèöà ïîðÿäêà n ñ ýëåìåíòàìè aij = ±1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè | det A| = nn/2 (òàêèåìàòðèöû íàçûâàþòñÿ ìàòðèöàìè Àäàìàðà) è n ≥ 3, òî n äåëèòñÿ íà 4.15.
Ëèíåéíûé óíêöîíàë f îïðåäåëåí íà ïðîñòðàíñòâå âåêòîðîâ âèäà Ax, ãäå A ∈ Rm×n è x ∈ Rm .Äîêàæèòå, ÷òî f (Ax) = y ⊤ Ax äëÿ íåêîòîðîãî y ∈ Rm , íå çàâèñÿùåãî îò x.16. Ïóñòü φ ëèíåéíûé óíêöèîíàë íà ñîïðÿæåííîì ïðîñòðàíñòâå V ∗ äëÿ êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Äîêàæèòå, ÷òî φ(f ) = f (x0 ), ãäå x0 ∈ V íåêîòîðûé èêñèðîâàííûé âåêòîð, çàâèñÿùèé îò φ è íå çàâèñÿùèé îò f ∈ V ∗ .17. Äîêàæèòå, ÷òî óíêöèîíàë f (p) = p′ (0) (çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ìíîãî÷ëåíà p(t) ïðè t = 0) íàëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ p(t) ñ íîðìîé ||p|| = max |p(t)| íå áóäåò îãðàíè÷åííûì.−1≤t≤1118.
Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷åê âûïóêëîãî ìíîæåñòâà â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì.19. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ âíóòðåííÿÿ òî÷êà çàìûêàíèÿ âûïóêëîãî ìíîæåñòâà S â êîíå÷íîìåðíîìíîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå ïðèíàäëåæèò S . Âåðíî ëè ýòî â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâàS?20. Äàíî çàìêíóòîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî M ⊂ Rn è x0 ∈/ M . Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ãèïåðïëîñêîñòü (x, h) = (x0 , h) òàêàÿ, ÷òî (x, h) < (x0 , h) ∀ x ∈ M .21. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì êîíóñîì, åñëè âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè x è y îíîñîäåðæèò âñå òî÷êè âèäà αx + βy ïðè ïðîèçâîëüíûõ α, β ≥ 0. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ îïîðíàÿãèïåðïëîñêîñòü äëÿ âûïóêëîãî êîíóñà ïðîõîäèò ÷åðåç 0.22.
 ïðîñòðàíñòâå Rn ñ åñòåñòâåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (x, y) = y ⊤ x äàíî êîìïàêòíîåâûïóêëîå ìíîæåñòâî M è äëÿ íåãî ïîñòðîåíî ìíîæåñòâî K âñåõ âåêòîðîâ y ∈ Rn òàêèõ, ÷òî(x, y) ≥ 0 äëÿ âñåõ x ∈ Rn . Äîêàæèòå, ÷òî K çàìêíóòûé âûïóêëûé êîíóñ. Äîêàæèòå òàêæå,÷òî äëÿ ëþáîé åãî îïîðíîé ãèïåðïëîñêîñòè ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì h ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç 0 ïðÿìàÿñ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì h ñîäåðæèò òî÷êó èç M .23.  Rn ñ åñòåñòâåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì êîìïàêòíûå âûïóêëûå ìíîæåñòâà L è M òàêîâû,÷òî äëÿ âñÿêîãî x ∈ M ñ êàêèì-òî y = y(x) ∈ L âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (x, y) ≥ 0. Äîêàæèòå,÷òî ìîæíî âûáðàòü y0 ∈ L, äëÿ êîòîðîãî (x, y0 ) ≥ 0 äëÿ âñåõ x ∈ M .24. Äàíû êîìïàêòíûå âûïóêëûå ìíîæåñòâà L ⊂ Rm , M ⊂ Rn è ìàòðèöà A ∈ Rm×n .
Äîêàçàòü, ÷òîmax min y ⊤ Ax = minm maxn y ⊤ Ax.x∈Rn y∈Rmy∈Rx∈R25. Ïóñòü a1 , . . . , am ∈ Rn . Äîêàæèòå, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ïîëóïðîñòðàíñòâ⊤a⊤1 x ≤ c 1 , . . . , am x ≤ c mïóñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ íåêîòîðûõ α1 , . . . , αm ≥ 0 âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâàα1 a1 + . . . + αm am = 0,α1 c1 + . . . + αm cm = −1.26. Ïóñòü A = [aij ] ìàòðèöà ðàçìåðîâ m × n. Äîêàæèòå, ÷òî||A||∞ =max1≤i≤mnXj=1|aij |,||A||1 = max1≤j≤nmXi=1|aij |.27.
Ìîæåò ëè íîðìà ïîäìàòðèöû áûòü áîëüøå íîðìû ìàòðèöû?28. Äàíà îáðàòèìàÿ ìàòðèöà A ∈ Cn×n , âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà X0 ∈ Cn×n è ñòðîèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàòðèö Xk+1 = 2Xk − Xk AXk , k = 0, 1, . . . . Äîêàçàòü, ÷òî åñëè äëÿíåêîòîðîé ìàòðè÷íîé íîðìû ||I − AX0 || < 1, òî Xk → A−1 ïðè k → ∞.√29.
Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî ||A||F ≤ rankA ||A||2 .√max||A||2 /||A||1 = n.30. Äîêàæèòå, ÷òîn×nA∈C, A6=031. Ïóñòü A = [aij ] è D = [dij ] êîìïëåêñíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà n, ïðè ýòîì D äèàãîíàëüíàÿìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè dii = aii ïðè 1 ≤ i ≤ n. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ||A||2 = ||D||2 , òî íóëåâûõýëåìåíòîâ â ìàòðèöå A íå ìåíüøå, ÷åì 2n − 2.32. Ïóñòü L íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ íèæíåé òðåóãîëüíîé ÷àñòüþ, âçÿòîé èç ìàòðèöûA ∈ Cn×n . Äîêàæèòå, ÷òî||L||2 ≤ log2 2n ||A||2 .33. Îïåðàòîð A : Cn → Cn ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ.
Äîêàæèòå, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì îïåðàòîðîì. Îáÿçàí ëè îí áûòü ëèíåéíûì?1....34. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû A = 1n×n235. Ïóñòü A è B êâàäðàòíûå ìàòðèöû îäíîãî è òîãî æå ïîðÿäêà. Äîêàæèòå, ÷òî AB è BA èìåþòîäèíàêîâûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû.36. Ïóñòü A âåðõíÿÿ ïî÷òè òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n ñ íåíóëåâûìè ïîääèàãîíàëüíûìèýëåìåíòàìè ai+1 i , 1 ≤ i ≤ n − 1.
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A äèàãîíàëèçóåìà, òî îíà èìååò n ïîïàðíîðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.37. Ìàòðèöà A ïîðÿäêà n èìååò ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1 , . . . , λn . Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà X 7→ A3 XA4 , X ∈ Cn×n .A B38. Ìàòðèöà A = A∗ ïîðÿäêà n è åå îêàéìëåíèåñ ïîìîùüþ n × r-ìàòðèöû B ÿâëÿþòñÿB∗ 0îáðàòèìûìè ìàòðèöàìè. Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöàZ=A00 B ∗ A−1 B−1 AB∗B0√èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ 1 è (1 ± 5)/2 àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòè, ñîîòâåòñòâåííî, n − r è r.39. Äîêàæèòå, ÷òî ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ïîëó÷àåòñÿ êàê ïðåäåë ρ(A) = lim ||Ak ||1/k , ãäå || · || k→∞ïðîèçâîëüíàÿ èêñèðîâàííàÿ ìàòðè÷íàÿ íîðìà.40.
Äîêàæèòå, ÷òî ρ(A) = inf ||X −1 AX||p , ãäå òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåì îáðàòèìûììàòðèöàì X , à || · ||p îïåðàòîðíàÿ íîðìà, ïîðîæäåííàÿ p-íîðìîé âåêòîðîâ.41. Äëÿ ýëåìåíòîâ êâàäðàòíûõ ìàòðèö A è B èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà 0 ≤ aij ≤ bij , 1 ≤ i, j ≤ n.Äîêàæèòå, ÷òî ρ(A) ≤ ρ(B).42. Âñå ýëåìåíòû êâàäðàòíîé ìàòðèöû A íåîòðèöàòåëüíû, à ñóììû ýëåìåíòîâ â êàæäîé ñòðîêåîäèíàêîâû è ðàâíû λ.
Äîêàçàòü, ÷òî λ ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåììàòðèöû A.43. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé êîìïëåêñíîé ìàòðèöû A ïîðÿäêà 3 ñóùåñòâóåò óíèòàðíàÿ ìàòðèöà Qòàêàÿ, ÷òî ìàòðèöà B = Q∗ AQ ÿâëÿåòñÿ òðåõäèàãîíàëüíîé. (Ìàòðèöà B íàçûâàåòñÿ òðåõäèàãîíàëüíîé, åñëè bij = 0 ïðè |i − j| > 1.)44. Äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö A è B âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî AB −BA = A1955 . Äîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöàA íèëüïîòåíòíàÿ.A11 A1245. Ïóñòü âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n = n1 +n2 èìååò âèäè ïðè ýòîì áëîêè0A22n1 ×n1n2 ×n2A11 ∈ Cè A22 ∈ Cíå èìåþò îáùèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåòìàòðèöà X ∈ Cn1 ×n2 òàêàÿ, ÷òîI0XIA110A12A22I0XI−1=A1100.A2246.
Äîêàæèòå, ÷òî kerAl = kerAl+1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà imAl = imAl+1 .47. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè kerA ∩ imA = {0}, òî kerA = kerA2 .48. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ äèàãîíàëèçóåìîñòè ìàòðèöû A íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî÷èñëà λ ÿäðî è îáðàç ìàòðèöû A − λI èìåëè â ïåðåñå÷åíèè ëèøü íóëåâîé âåêòîð.49. Âñåãäà ëè ìîæíî ïîñòðîèòü æîðäàíîâ áàçèñ, ñîäåðæàùèé ïðîèçâîëüíî âûáðàííûå áàçèñû âñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ?50.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
