Задачи с экзамена (1113179), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ïóñòü J æîðäàíîâà êëåòêà ïîðÿäêà n ñ íóëåâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Äîêàæèòå, ÷òîóðàâíåíèå X 2 = J îòíîñèòåëüíî X ∈ Cn×n íå èìååò ðåøåíèé, åñëè n ≥ 2.51. Èçâåñòíî, ÷òî Ak+1 = A, k > 0. Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöà A äèàãîíàëèçóåìà.52. Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöà ïîðÿäêà n > 1 èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòââ òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà êàæäîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ñîîòâåòñòâóåò ðîâíî îäíàæîðäàíîâà êëåòêà.353. Íîðìàëüíàÿ ìàòðèöà èìååò áëî÷íî-òðåóãîëüíûé âèäA11 A12A=0A22ñ êâàäðàòíûìè áëîêàìè A11 è A22 .

Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöû A11 è A22 íîðìàëüíûå è, êðîìå òîãî,A12 = 0.Q11 Q1254. Óíèòàðíàÿ ìàòðèöà Q =ïîðÿäêà 2n ðàçáèòà íà áëîêè ïîðÿäêà n. Äîêàçàòü, ÷òîQ21 Q22| det Q12 | = | det Q21 |.55. Äàíî ïîäïðîñòðàíñòâî L ⊂ Cn . Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè âñåõ ìàòðèö A òàêèõ, ÷òî imA = L èA2 = A, íàèìåíüøåå çíà÷åíèå 2-íîðìû äîñòèãàåòñÿ äëÿ íåêîòîðîé ýðìèòîâîé è ïðèòîì òîëüêîîäíîé ìàòðèöû A.56. Ýðìèòîâû ìàòðèöû A, B ∈ Cn òàêîâû, ÷òî A2 = A è B 2 = B .

Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ||A − B||2 < 1,òî rankA = rankB .57. Ïóñòü A êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà è HA = (A + A∗ )/2 åå ýðìèòîâà ÷àñòü. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿïðîèçâîëüíîé ýðìèòîâîé ìàòðèöû H òîãî æå ïîðÿäêà èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî ||A − HA ||2 ≤||A − H||2 .58. Ïóñòü A = H +iK ýðìèòîâî ðàçëîæåíèå ìàòðèöû A. Äîêàæèòå, ÷òî âåùåñòâåííûå ÷àñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû A çàêëþ÷åíû ìåæäó ìèíèìàëüíûì è ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåííûìèçíà÷åíèÿìè ýðìèòîâîé ìàòðèöû H , à ìíèìûå ÷àñòè ìåæäó ìèíèìàëüíûì è ìàêñèìàëüíûìñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ýðìèòîâîé ìàòðèöû K .59.

Äàíû êâàäðàòíûå ìàòðèöû A è B îäíîãî ïîðÿäêà, ïðè ýòîì ìàòðèöà B íåâûðîæäåííàÿ. Äîêàæèòå, ÷òî èç íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ìàòðèöû B ∗ B − A∗ A âûòåêàåò, ÷òî ñïåêòðàëüíûéðàäèóñ ìàòðèöû B −1 A íå áîëüøå 1.60. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè H ýðìèòîâà íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ, à U óíèòàðíàÿ ìàòðèöàòîãî æå ïîðÿäêà, òî ||H − I||2 ≤ ||H − U ||2 ≤ ||H + I||2 .61. Ïóñòü çàäàíû âåùåñòâåííàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà A ïîðÿäêà n è âåêòîð b ∈ Rn .Äîêàçàòü, ÷òî óíêöèîíàë f (x) = (Ax, x) + (b, x) ïðè x ∈ Rn îãðàíè÷åí ñíèçó è ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííàÿ òî÷êà x0 , â êîòîðîé f (x0 ) åñòü åãî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå.62.

Ìàòðèöû A è B îáå ýðìèòîâû, ïðè ýòîì A ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ. Äîêàæèòå, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö AB è BA âåùåñòâåííûå.63. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà âðàùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ âåùåñòâåííûõ ìàòðèö îòðàæåíèÿ.64. Íàéòè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå óíêöèè f (A) = | det A| íà ìíîæåñòâå âñåõ êîìïëåêñíûõ ìàòðèöA ñ ýëåìåíòàìè |aij | ≤ 1.65. Ìàòðèöû A è B ïîðÿäêà n êîììóòèðóþò.Äîêàæèòå,÷òî ñóùåñòâóþò íåâûðîæäåííûå ìàòðèöûIk 0X 0P è Q òàêèå, ÷òî P AQ =è P BQ =, ãäå áëîêè Ik , X è N, Y èìåþò ïîðÿäîê k0 N0 Yè n − k , ñîîòâåòñòâåííî, è, êðîìå òîãî, ìàòðèöà Ik åäèíè÷íàÿ, à N íèëüïîòåíòíàÿ.66. Äàíà êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ñíîðìîé ||A||2 ≤ 1. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóþò êâàäðàòíûå ìàòðèöûA BB, C, D òàêèå, ÷òî ìàòðèöàÿâëÿåòñÿ óíèòàðíîé.C D67. Ïóñòü A = A⊤ ∈ Cn×n .

Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöà A îáëàäàåò ñèíãóëÿðíûì ðàçëîæåíèåì A =V ΣU ∗ ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì U ∗ = V ⊤ .68. Íàéòè íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå íåñîâìåñòíîé ñèñòåìûx1 + x2 + .. + xn = 1,x1 + x2 + ... + xn = 0.69. Ïóñòü A ïðîèçâîëüíàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà è A+ åå ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà. Äîêàæèòå,÷òî âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ(AA+ )∗ = AA+ , (A+ A)∗ = A+ A, AA+ A = A, A+ AA+ = A+ .Äîêàæèòå òàêæå, ÷òî A+ åäèíñòâåííàÿ ìàòðèöà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ýòîé ñèñòåìå óðàâíåíèé.470.

Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû A = [aij ] ∈ Cn×n èìååò ìåñòîíåðàâåíñòâîdet A ≤ a11 a22 . . . ann .A11 A1271. Ìàòðèöà A =ÿâëÿåòñÿ ýðìèòîâîé, à åå ïîäìàòðèöà A11 ïîëîæèòåëüíî îïðåäåA21 A22ëåííîé. Äîêàçàòü, ÷òî ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü ìàòðèöû A ðàâíîñèëüíà ïîëîæèòåëüíîéîïðåäåëåííîñòè ìàòðèöû A22 − A21 A−111 A12 .72. Ïóñòü σ1 ≥ ...

≥ σn ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà n × n-ìàòðèöû1 21 2.... ..A=.1 21Äîêàæèòå, ÷òî 1 ≤ σn−1 ≤ ... ≤ σ1 ≤ 3 è, êðîìå òîãî, 0 < σn < 2−n+1 .73. Ïóñòü A ∈ Cn×n è fk (A) = σ1 (A) + . . . + σk (A). Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî 1 ≤ k ≤ n óíêöèÿfk (A) ÿâëÿåòñÿ ìàòðè÷íîé íîðìîé íà Cn×n .74. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû A íàèìåíüøåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå åå ýðìèòîâîé ÷àñòè H = (A + A∗ )/2 íå áîëüøå íàèìåíüøåãî ñèíãóëÿðíîãî ÷èñëà ìàòðèöû A.5.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)