Рабочая программа дисциплины (1113136)
Текст из файла
Рабочая программа дисциплины
1. Линейная алгебра
2. Лекторы
2.1. К.ф.-м.н., доцент Шишкин Александр Александрович, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: math@physics.msu.ru, телефон: +7(495) 939-10-33
2.2. К.ф.-м.н., доцент Овчинников Алексей Витальевич, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: alexey-viniti@mail.ru, телефон: +7(495) 939-38-09
2.3. К.ф.-м.н., доцент Бадьин Андрей Валентинович, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: badyin@phys.msu.ru, телефон: +7(495) 939-38-09
3. Аннотация дисциплины
Курс "Линейная алгебра" является обязательным общефакультетским курсом и читается во втором семестре. Данный курс подготовлен в рамках Приоритетных направлений развития МГУ "Система подготовки и воспроизводства кадров нового поколения".
Общая трудоемкость курса — 108 часов. Курс включает 34 часа лекций, 17 часов семинарских занятий и требует 57 часов самостоятельной работы студентов.
В курсе рассматриваются следующие разделы линейной алгебры: теория линейных пространств и подпространств, тензорная алгебра, теория линейных операторов, теория билинейных и квадратичных форм, теория линейных евклидовых (псевдоевклидовых, унитарных) пространств, теория линейных операторов в евклидовых пространствах (включая спектральную теорию самосопряженных операторов), теория билинейных и квадратичных форм в евклидовых пространствах, теория кривых и поверхностей второго порядка в аффинных евклидовых пространствах, элементы теории групп. На примере теории линейных пространств курс знакомит студентов со стандартным алгебраическим языком и даёт общие навыки работы с алгебраическими системами. В курсе линейной алгебры студенты делают первый шаг на пути знакомства с языками теории относительности и квантовой механики.
4. Цели освоения дисциплины
Знакомство с основными понятиями общей алгебры. Изучение основных свойств линейных пространств, подпространств, отображений линейных пространств. Овладение методами решения прикладных задач матричной алгебры, овладение методами решения прикладных задач линейной алгебры, приобретение навыков решения указанных задач.
5. Задачи дисциплины
В результате освоения дисциплины обучающийся должен свободно владеть матричной, тензорной и векторной системами обозначений, знать свойства линейных пространств, подпространств, линейных операторов, билинейных и квадратичных форм, уметь решать прикладные задачи матричной алгебры, находить собственные значения и собственные векторы линейных операторов, приводить матрицы линейных операторов, билинейных и квадратичных форм к каноническому виду, уметь применять перечисленные знания, умения и навыки в других областях математики и в теоретической физике.
6. Компетенции
6.1. Компетенции, необходимые для освоения дисциплины
ИК-3, ОНК-1, ПК-1
6.2. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины
ОНК-5, ОНК-6, ПК-2
7. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
знать основные понятия и факты теории линейных пространств и подпространств, тензорной алгебры, теории линейных операторов, теории билинейных и квадратичных форм, теории линейных евклидовых (псевдоевклидовых, унитарных) пространств, теории линейных операторов в евклидовых пространствах, теории билинейных и квадратичных форм в евклидовых пространствах, теории кривых и поверхностей второго порядка, теории групп;
уметь решать прикладные задачи матричной алгебры, находить базис линейной оболочки векторов и её линейного дополнения, находить матрицу перехода от одного базиса к другому, находить собственные значения и собственные векторы линейных операторов, приводить матрицы линейных операторов, билинейных и квадратичных форм к каноническому виду различными методами, приводить уравнения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду;
владеть методами решения прикладных задач матричной алгебры, основными методами исследования линейных пространств, подпространств, линейных евклидовых пространств, линейных операторов, билинейных и квадратичных форм;
иметь опыт деятельности по решению задач, перечисленных выше.
8. Содержание и структура дисциплины
| Вид работы | Семестр | Всего | ||
| 2 | ||||
| Общая трудоёмкость, акад. часов | 108 | 108 | ||
| Аудиторная работа: | 51 | 51 | ||
| Лекции, акад. часов | 34 | 34 | ||
| Семинары, акад. часов | 17 | 17 | ||
| Лабораторные работы, акад. часов | — | — | ||
| Самостоятельная работа, акад. часов | 57 | 57 | ||
| Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен) | зачёт, экзамен | зачёт, экзамен | ||
| N раздела | Наименование раздела | Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий | Форма текущего контроля | |||
| Аудиторная работа | Самостоятельная работа | |||||
| Лекции | Семинары | Лабораторные работы | ||||
| 1. | Теория линейных пространств и подпространств | Лекция №1 (2 часа). Подпространства линейных пространств. Сумма подпространств, линейная независимость подпространств, прямая сумма подпространств. Базис и размерность прямой суммы. | Семинар №1 (1 час). Нахождение координат вектора. Нахождение базиса линейной оболочки векторов и её линейного дополнения. | 5 часов. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об | |
| 2. | Тензорная алгебра | Лекция №2 (2 часа). Матрица перехода от одного базиса к другому, преобразование координат вектора. Определение тензора, линейные операции над тензорами. | Семинар №2 (1 час). Нахождение матрицы перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об | |
| Лекция №3 (2 часа). Прямое произведение тензоров, свёртка тензора, перестановка индексов тензора (определения, простейшие свойства). Возможные обобщения. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. | |||||
| 3 | Линейные операторы в линейных пространствах | Лекция №4 (2 часа). Линейный оператор, ядро и образ линейного оператора, линейные операции над линейными операторами. Размерность образа линейного оператора, первая теорема Фредгольма. | Семинар №3 (1 час). Нахождение матрицы линейного оператора. Нахождение ядра и образа линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об, Т | |
| Лекция №5 (2 часа). Матрица линейного оператора (определение, простейшие свойства). Преобразование матрицы линейного оператора. | ||||||
| Лекция №6 (2 часа). Инвариантные подпространства линейного оператора. Собственные значения, собственные векторы, собственные подпространства линейного оператора. | Семинар №4 (2 часа). Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об | |||
| Лекция №7 (2 часа). Характеристический полином линейного оператора. Геометрическая и алгебраическая кратность собственного значения линейного оператора. Теорема Гамильтона—Кэли. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. | |||||
| Лекция №8 (2 часа). Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме. | Семинар №5 (2 часа). Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об | |||
| Лекция №9 (2 часа). Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме (продолжение). | ||||||
| 4. | Билинейные и квадратичные формы | Лекция №10 (2 часа). Линейная форма, компоненты линейной формы и их преобразование. Билинейная форма, матрица билинейной формы, преобразование матрицы билинейной формы. Квадратичная форма, матрица квадратичной формы. | Семинар №6 (2 часа) Нахождение матрицы билинейной (квадратичной формы). Восстановление билинейной (квадратичной) формы по её матрице. Преобразование матрицы билинейной (квадратичной) формы. Исследование квадратичной формы на знакоопределённость. Приведение симметричной билинейной (квадратичной) формы к каноническому виду методом Лагранжа. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об, КР. | |
| Лекция №11 (2 часа). Метод Лагранжа, закон инерции, критерий Сильвестра. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. | |||||
| 5. | Линейные евклидовы (псевдоевклидовы, унитарные) пространства | Лекция №12 (2 часа). Скалярное произведение, неравенство Коши—Буняковского. Метрический тензор (ковариантный и контравариантный). Ортогональное дополнение к подпространству, ортогональная проекция вектора на подпространство, оператор ортогонального проектирования. Процесс ортогонализации Грама—Шмидта. | Семинар №6 (2 часа). Вычисление компонент ковариантного (контравариантного) метрического тензора. Применение процесса Грама—Шмидта. Построение ортогональных проекций. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, Оп, Об, Т | |
| Лекция №13 (2 часа). Линейное псевдоевклидово пространство. Псевдоортогональные базисы. Преобразования Лоренца. | ||||||
| 6. | Теория линейных операторов в евклидовых пространствах | Лекция №14 (2 часа) Связь между векторами и линейными формами в евклидовом пространстве. Связь между операторами и билинейными формами в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор: определение, простейшие свойства, матрица сопряжённого оператора. Вторая теорема Фредгольма. | Семинар №7 (2 часа). Исследование оператора на самосопряжённость. Нахождение матрицы сопряжённого оператора. Диагонализация матрицы самосопряжённого оператора. Нахождение спектрального разложения самосопряжённого оператора. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ДЗ, КР, Оп, Об | |
| Лекция №15 (2 часа) Самосопряжённый оператор (определение, простейшие свойства). Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряжённого оператора. Спектральная теорема. | Семинар №8 (2 часа). Нахождение ортонормированного базиса, в котором матрица симметричной билинейной формы имеет диагональный вид. Одновременная диагонализация матриц двух симметричных билинейных форм. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ||||
| 7. | Кривые и поверхности второго порядка | Лекция №16 (2 часа). Определение кривой (поверхности) второго порядка. Упрощение уравнения кривой (поверхности) второго порядка. Ортогональные инварианты уравнения кривой (поверхности) второго порядка. Классификация кривых второго порядка. | Семинар №9 (2 часа). Приведение уравнения кривой (поверхности) второго порядка к каноническому виду. Исследование уравнения кривой второго порядка с помощью ортогональных инвариантов. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. | ||
| 8. | Элементы теории групп | Лекция №17 (2 часа). Понятие группы. Основные примеры групп. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. | |||
9. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
