Рабочая программа дисциплины (1113136), страница 2
Текст из файла (страница 2)
1. Обязательная дисциплина.
2. Базовая часть, профессиональный блок, модуль «Математика».
3. Курс является составной частью модуля «Математика» и тесно связан с читаемым параллельно курсом «Математический анализ».
3.1. Дисциплины и практики, которые должны быть освоены для начала освоения данной дисциплины: «Аналитическая геометрия».
3.2. Дисциплины и практики, для которых освоение данной дисциплины (модуля) необходимо как предшествующее: «Дифференциальные уравнения», «Интегральные уравнения и вариационное исчисление», «Методы математической физики», «Теория вероятностей», «Теоретическая механика», «Электродинамика», «Квантовая теория» и другие дисциплины теоретической физики.
10. Образовательные технологии
Курс имеет электронные версии лекций и экзаменационных вопросов, доступные для студентов и размещённые на сайте кафедры математики физического факультета (http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/6). В течение семестра дважды проводится компьютерное тестирование.
11. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
Текущая аттестация проводится дважды в месяц. Критерии формирования оценки — посещаемость занятий, активность студентов на семинарских занятиях, уровень подготовки к семинарским занятиям, выполнение домашних заданий.
Промежуточная аттестация проводится в середине и в конце семестра в форме контрольных работ с оценкой. Критерии формирования оценки — уровень знаний пройденного материала.
Примерные варианты контрольных работ:
Контрольная работа №1 (линейные пространства)
-
Составить однородную систему линейных алгебраических уравнений (состоящую из минимального числа уравнений), для которой заданные столбцы образуют фундаментальную совокупность решений:
,
.
-
Найти базис линейной оболочки заданных столбцов, разложить каждый заданный столбец по найденному базису:
,
,
,
,
,
.
-
В трёхмерном линейном вещественном пространстве введены базисы
,
,
("старый") и
,
,
("новый"). Найти столбцы координат
,
элементов x, y, если заданы их столбцы координат
,
. Здесь:
,
,
;
,
.
-
Найти матрицу линейного оператора, переводящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y. Найти ядро и образ этого оператора. Здесь:
,
.
-
Найти матрицу линейного оператора в "новом" базисе, если задана его матрица
в "старом" базисе и задана матрица C перехода от "старого" базиса к "новому". Здесь:
,
.
-
Линейный оператор A задан своей матрицей
в некотором базисе. Найти собственные значения и собственные векторы оператора A. Здесь
.
-
Линейный оператор A задан своей матрицей
в некотором базисе. Привести матрицу оператора A к диагональному виду. Здесь
.
-
Рассматривается трёхмерное линейное вещественное пространство. Задано выражение для квадратичной формы Q в некотором базисе:
. Привести квадратичную форму Q к каноническому виду методом Лагранжа.
Контрольная работа №2 (линейные евклидовы пространства)
-
В линейном унитарном пространстве
столбцов высоты 3 со скалярным произведением
заданы элементы
,
,
. Проверить, что эти элементы образуют базис пространства
и вычислить компоненты ковариантного метрического тензора в этом базисе. Здесь:
,
,
.
-
Применить процесс ортогонализации (без нормировки) к заданной системе столбцов:
,
,
,
. Скалярное произведение определено формулой
.
-
Построить ортонормированный базис линейного евклидова пространства многочленов степени не выше 2 на сегменте
, применив процесс ортогонализации к системе многочленов 1, t,
. Скалярное произведение определено формулой
.
-
В линейном евклидовом пространстве многочленов степени не выше 2 на сегменте
со скалярным произведением
задан линейный оператор A, действующий по правилу
. Записать в простейшем базисе матрицу этого оператора и матрицу сопряжённого оператора. Здесь
.
-
В трёхмерном линейном евклидовом пространстве действует линейный оператор A, заданный своей матрицей
в неортогональном базисе
,
,
, векторы которого линейно выражены через векторы ортонормированного базиса
,
,
. Доказать, что оператор A является самосопряжённым, найти его собственные значения и координаты его собственных векторов в базисе
,
,
, показать, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Здесь:
,
,
;
.
-
Линейный самосопряжённый оператор A задан своей матрицей
в некотором ортонормированном базисе. Построить ортонормированный базис из собственных векторов оператора A и записать матрицу оператора A в этом базисе. Здесь
.
-
Построить спектральное разложение линейного самосопряжённого оператора A, заданного своей матрицей
в некотором ортонормированном базисе. Убедиться в том, что оператор A является неотрицательным и вычислить
. Здесь
.
-
Квадратичные формы A, B заданы своими матрицами
,
в некотором базисе. Привести квадратичные формы A, B к каноническому виду одним линейным невырожденным преобразованием. Здесь:
,
.
-
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, найти координаты фокусов и уравнения директрис в исходной системе координат:
.
-
Используя теорию ортогональных инвариантов, исследовать зависимость типа кривой второго порядка от параметра p, входящего в её уравнение. Записать каноническое уравнение кривой:
.
Итоговая аттестация — экзамен.
Экзамен по курсу "Линейная алгебра" состоит из 1-й части. Билет содержит два теоретических вопроса и две задачи. Для получения оценок "хорошо" и "отлично" нужно знать определения понятий, включённых в курс, уметь доказывать утверждения и теоремы, включённые в курс, уметь решать стандартные задачи.
Полный перечень вопросов и задач к экзамену доступен по адресу: http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/6.
Образец экзаменационного билета
-
Рассматривается линейное вещественное пространство L с базисом
,
,
,
. Задано выражение для квадратичной формы Q в базисе e:
. Найти матрицу квадратичной формы Q в базисе e. Используя метод Лагранжа, привести квадратичную форму Q к каноническому виду: найти матрицу квадратичной формы Q в каноническом базисе
; найти матрицу перехода от базиса e к базису
; найти матрицу перехода от базиса
к базису e.
-
Рассматривается линейное евклидово пространство H с ортонормированным базисом
. Пусть A — линейный оператор в пространстве H. Доказать равенство
(здесь
— след оператора A).
-
Определение ранга матрицы. Ранг матрицы как размерность линейной оболочки столбцов и строк. Теорема о том, что если определитель матрицы равен нулю, то столбцы матрицы линейно зависимы. Теорема об операциях, сохраняющих ранг матрицы. Теорема о достраивании базиса подпространства
до базиса подпространства
(здесь
).
-
Линейный самосопряженный оператор (определение). Теорема о вещественности собственных значений самосопряжённого оператора. Теорема об ортогональности собственных векторов самосопряжённого оператора, соответствующих различным собственным значениям. Теорема о вещественности корней характеристического полинома (продолженного на
) самосопряжённого оператора. Теорема о существовании ортогонального базиса, состоящего из собственных векторов самосопряжённого оператора.
12. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Основная литература
-
Кадомцев С. Б., Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
-
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
-
Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
Дополнительная литература
-
Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: МЦНМО, 2011.
-
Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
-
Ким Г. Д., Крицков Л. В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том II (2). М.: ЗЕРЦАЛО-М, 2003.
Интернет-ресурсы
-
http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/6
13. Материально-техническое обеспечение
В соответствии с требованиями п. 5.3. образовательного стандарта МГУ по направлению подготовки “Физика”.
Курс может быть прочитан в поточной аудитории при наличии: работающих электрических розеток, компьютера, проектора, экрана, учебной доски.
Стр. 2 из 12