М.В. Зайцев - Лекции по линалу (1113065), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

(б) Покажем, что симметризация любого тензора симметрична. . Из формулы получаем (т.к. ). Пункт (б) означает, что . Теперь из (а) следует, что и из (б) и (а) следует 1).

КОСОСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ

Опр. Тензор называют кососимметричным, если , где - знак подстановки. Эквивалентно, . Кососимметричные тензоры образуют подпространство в , которое принято обозначать .

Опр. Элементы (т.е. p раз контравариантные кососимметричные тензоры) называют внешними p-формами или внешними формами степени p на V.

Аналогично вводятся множество кососимметричных контравариантных тензоров на (название – q-вектора).

25.04.05

Опр. Отображение на пространстве (или ) называют альтернированием.

Теорема. Отображение A является линейным оператором на со следующими свойствами:

1) 2) 3)

1) Поскольку , то , учитывая, что и . При фиксированном и при , пробегающем все подстановки из произведение также пробегает . Поэтому и не зависит от . Следовательно .

2) Пусть . Тогда , а значит (по определению) - кососимметричный тензор, откуда и следует . Обратное включение следует из того, что для всякого кососимметричного тензора .

3) Равенство доказывается так же, как и равенство (см. пред. пункт).

Замечание. Отличие теоремы для только в том, что .

ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Опр. A - алгебра над полем F, если

1) A – ассоциативное кольцо с операциями

2) A – векторное пространство над F.

3)

Рассмотрим бесконечную прямую сумму . , где K - поле, V – векторное поле над ним.

Опр. Пространство с умножением , где называется тензорной алгеброй пространства V. Она ассоциативна.

Рассмотрим в подпространство . Позже мы покажем, что эта сумма на самом деле конечна (т.е. все слагаемые начиная с некоторого равны нулю). Это подпространство, однако оно не замкнуто относительно тензорного умножения, т.е. не является подалгеброй , поэтому на нем мы введем новое умножение.

ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА

(АЛГЕБРА ГРАССМАНА)

1. Внешнее умножение.

Опр. Если , то - внешнее умножение. Если , то и считаем, что . Также верна дистрибутивность .

Опр. Пространство с операцией внешнего умножения называется внешней алгеброй (алгеброй Грассмана) пространства V.

2. Ассоциативность внешнего произведения.

Лемма. Пусть . Тогда .

Так как - линейное отображение и , то . Сопоставим подстановке подстановку по следующему правилу:

Это отображение в . Знак и совпадает. Итак,

. Поэтому . Аналогично, .

Теорема. Внешняя алгебра ассоциативна.

Нужно доказать равенство . Так как внешнее умножение линейно, то левая и правая часть формулы (1) линейны по . Поэтому доказать (1) для частного случая .

.

3. Базис внешней алгебры.

Пусть . Тогда . Тогда .

Следствие.

Для проверено. Далее по индукции:

30.04.05

4. Связь с определителями

Теорема. Пусть - векторное пространство над полем и . Тогда векторы линейно независимы в том и только в том случае, если .

Пусть сначала линейно зависимы. Обозначим через их линейную оболочку. Тогда . Из следствия (см. предыдущую лекцию) получаем что , а с другой стороны . Следовательно .

Пусть теперь линейно независимы. Тогда в существует базис , такой, что . В этом случае - один из базисных элементов (см. теорему из предыдущей лекции) алгебры . Поэтому .

Замечание. . Если - произвольный элемент , то не всегда .

Пусть теперь , - базис , и . Их внешнее произведение можно явно выразить через произведения . Пусть - координаты вектора в базисе , т.е. . Введём обозначение:

В матрице, столбцы которой – координаты векторов , вычеркнуты все строки, кроме .

Теорема. Пусть - базис , и , - любые векторов в . Тогда

.

Рассмотрим в этой сумме ту часть слагаемых, у которых множество одно и то же. Слагаемые этой суммы отличаются только порядком следования этих индексов, т.е. эта часть суммы равна . При этом произведение равно , где знак подстановки , а сами можно считать упорядоченными: . Поэтому .

Вспомним формулу для определителя . Отсюда следует, что . Это означает, что множитель перед равен .

7 мая 2005

Характеристики

Список файлов лекций