М.В. Зайцев - Лекции по линалу (1113065), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

1. Эрмитовы (полуторалинейные) формы.

Пусть — линейное пространство над .

Определение. — эрмитова форма на , если , причём:

1)

2) (комплексное сопряжение).

Следствие 1. .

Следствие 2. .

Следствие 3. .

Следствие 4. .

2. (Эрмитово) скалярное произведение.

Пусть — комплексное пространство.

Определение. Скалярное произведение на — эрмитова положительно определённая форма. Обозначение: . Положительная определённость: из .

3. Ортогональность.

Пусть — унитарное пространство, то есть комплексное пространство со скалярным произведением.

Определение. и ортогональны, если .

Теорема. В конечномерном унитарном пространстве можно выбрать ортонормированный базис, т.е. .

Пусть — произвольный базис . Возьмём любой . Умножая на (вещественный) скаляр, можно считать . Пусть теперь . Тогда — уравнения с неизвестными . Так как , то — подпространство в , . По индукции ( ) в есть ортонормированный базис . Положив, , получаем ортонормированный базис в .

4. Унитарные и эрмитовы матрицы.

Пусть — комплексная матрица .

Обозначим: ( — комплексное сопряжение).

Определение. Матрица — эрмитова, если .

Матрица — унитарная, если .

Теорема. Пусть — матрица перехода от одного ортогонального базиса к другому ортогональному базису. Тогда унитарна.

Пусть — матрица перехода от к . Если , то . Если — элементы -ого столбца , то — элементы -ой строки у матрицы .

Произведение -ой строки на -ый столбец равно . Но это есть , так как . Поэтому , так как базис ортонормирован. Следовательно, и — унитарная матрица.

6. Сопряжённый оператор.

Пусть — унитарное пространство, .

Определение. — сопряжённый к , если .

Как и в вещёственном случае: и .

Теорема. Пусть и , — матрицы и в ортонормированном базисе. Тогда .

.

14.03.05

6. Эрмитовы операторы.

Опр. - эрмитов оператор в унитарном пространстве V, если (т.е. ).

Пусть - ортонормированный базис V. - эрмитов оператор его матрица в в этом базисе эрмитова (этот факт был на самом деле доказан на предыдущей лекции).

Теорема. 1) Все собственные числа эрмитова оператора – вещественные.

2) Для эрмитова оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов.

1) , где x – собственный вектор. Но, с другой стороны, , откуда и следует .

2) Проведем индукцию по n. Для n=1 утверждение теоремы очевидно.

Шаг. Если , то доказывать нечего. Иначе - собственный вектор с собственным числом (вещественным по пред. пункту). Можно считать . Идея доказательства такая же, как и в вещественном случае. Обозначим через . Тогда W – подпространство, . (полное повторение вещественного случая, т.к. пространство решений одного уравнения). Покажем, что . Действительно, ( ) . Это и означает, что . По индукции в есть ортонормированный базис из собственных векторов . Добавив к этой системе первым вектором x получим требуемый базис. .

Следствие. Для любой эрмитовой матрицы A существует унитарная матрица такая, что , где все .

7. Унитарные операторы.

Пусть V – унитарное пространство, - линейный оператор на нем.

Опр. - унитарный оператор, если .

Предложение. - унитарный оператор имеет унитарную матрицу в ортонормированном базисе.

Т.к. .

Теорема. Для любого унитарного оператора в конечномерном векторном унитарном пространстве существует ортонормированный базис, в котором он имеет матрицу вида

В частности, все собственные числа равны по норме единице.

(1) Пусть x - cобственный вектор с собственным числом . Тогда .

(2) Рассмотрим собственный вектор - его собственное значение. . Тогда выполнено инвариантно. Так как , то . По индукции взяв искомый базис в и добавив и получим искомый базис всего пространства.

АФФИННЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Основное поле - K.

Опр. Пара , где - векторное пространство называется аффинным пространством, если задано отображение такое, что выполнено (под «+» подразумевается ):

1)

2)

3)

В последнем свойстве иногда пишут или . Элементы A называют точками аффинного пространства. Само аффинное пространство называют ассоциированным с . Кроме того, говорят, что у аффинного пространства есть размерность:

Опр. Размерность А:

2. Изоморфизм

Пусть - два аффинных пространства, ассоциированные с одним и тем же векторным пространством .

Опр. Биективное отображение называется изоморфизмом, если . Это частный случай аффинно-линейного отображения , а именно:

Опр. Отображение (где ассоциировано с , а - с ) называется аффинно-линейным, если существует линейное отображение такое, что . Иногда Df называют линейной частью, или дифференциалом для f.

Утверждение. f – биективно Df биективно.

Теорема. Аффинные пространства одинаковой размерности изоморфны.

Пусть и - два аффинных пространства одинаковой размерности. Построим изоморфизм . Зафиксируем . Положим для . Проверим определение. Пусть - произвольная точка, - произвольный вектор. . Поэтому . Итак f – искомый изоморфизм.

3. Координаты в аффинном пространстве.

Опр. Системой координат в аффинном пространстве называют набор , в котором o – точка из A, а - базис . o – начало координат. Т.к. , то можно определить координаты точки p в фиксированной системе координат, как набор , где x – координаты в разложении вектора по базису. Систему координат также можно задать точкой в . При этом - система координат с началом в и базисными векторами .

26.03.05

Теорема. Пусть – система координат в и . Если имеют координаты , соответственно в , то . Если и , где , то r имеет координаты .

(1) Пусть , . Тогда , но

.

(2)

Переход к новой системе координат.

Пусть и – две системы координат в . Обозначим через координаты точки в , а через матрицу перехода от к в V. Пусть и - координаты одной и той же точки p в разных системах координат. Тогда или , где , , или , где .

4. Подпространства.

Пусть , U – подпространство в V.

Опр. Множество точек называют аффинным подпространством (или плоскостью в A) размерностью . Говорят, что U – направляющее подпространство для P.

Предложение. Подпространство P является аффинным подпространством, ассоциированным с U.

Пусть , . Тогда и . Далее, пусть . Тогда . Пусть также , , . Тогда и , т.е. : . Единственность очевидна.

Направляющее пространство U однозначно определяется по P.

Опр. Прямая – подпространство размерности 1.

Прямая, проходящая через :

Теорема. Подмножество является подпространством P содержит прямую, проходящую через любые 2 точки .

(1) Пусть сначала P – плоскость, .

Пусть , , . Тогда и , .

(2) Обратно, пусть P содержит все прямые.

Возьмем любую точку . Обозначим . Докажем, что U – подпространство в V.

Пусть . Тогда . Но , поэтому , т.е. для . Достаточно теперь доказать, что для любых . Но это следует из того, что P содержит прямую pq для любой точки p: если , то , т.е. и

Следствие. Если и - плоскости в A, то их пересечение либо пусто, либо является плоскостью с направляющим подпространством , где – направляющие подпространства для и .

Если P содержит ровно одну точку, то это 0-мерное подпространство с . Если , то, по теореме, P содержит прямую ab P – подпространство.

Зафиксируем точку . Тогда, если , то , т.е. . Поэтому . Обратное включение очевидно.

Опр. Плоскости и называются параллельными, если они имеют одно и тоже направляющее подпространство U, т.е. .

Обобщение. , P параллельно Q, если или .

Опр. Плоскости P и Q называются скрещивающимися, если они не параллельны, но .

Опр. Точки называются точками общего положения, если они не лежат ни в одной плоскости размерности r-2.

Само K можно рассматривать как 1-мерное аффинное пространство. Поэтому можно рассматривать аффинно-линейное отображение , т.е. , где , т.е. .

Если – система координат в и – координаты точки P, то обозначив , ( ), получим:

, т.е. любое линейное уравнение можно рассматривать как уравнение в аффинном пространстве А размерности n, где – аффинно-линейная функция.

Теорема. Множество точек аффинного пространства, удовлетворяющих совместной системе линейных уравнений ранга r, образуют (n-r)-мерную плоскость . Любая плоскость может быть получена.

(1) Сопоставим системе n аффинно-линейных функций.

Характеристики

Список файлов лекций