М.В. Зайцев - Лекции по линалу (1113065), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Зафиксируем систему координат в и положим , где , тогда и . Пусть совместна и – ее решение. Возьмем точку с координатами . Будем говорить, что точка p с координатами решение нашей системы, если . Тогда – решение, а вектор – решение однородной системы (*).

Т.к. совокупность решений (*) – подпространство , а любое решение неоднородной системы получается из прибавлением решений однородной системы, то множество точек p, для которых равно , т.е. это плоскость и .

(2) Пусть теперь P – плоскость в А, . система уравнений , , задающая U, где – координаты вектора в некотором базисе пространства .

Рассмотрим систему координат в . Тогда , , где – координаты p в выбранной системе координат. Обозначим получим необходимую совместную систему линейных уравнений.

28.03.05

ЕВКЛИДОВЫ ТОЧЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

1. Евклидова метрика.

Опр. Аффинное пространство называется евклидовым точечным пространством, если - евклидово векторное пространство.

Опр. Расстояние между точками:

Свойства метрики :

i)

ii)

iii) - неравенство треугольника

Опр. Система координат называется прямоугольной, если - ортонормированный базис .

Опр. Отображение называют изоморфизмом евклидовых пространств и , если - изоморфизм аффинных пространств и

Теорема. Любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны.

Пусть и прямоугольные системы координат в и .

Зададим . , . Тогда изоморфизм аффинных пространств, а сохраняет длины векторов, т.е. - изоморфизм евклидовых точечных пространств.

2. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть - евклидово пространство, , и - точки из . Прямую, проходящую через и будем обозначать как . Пусть - плоскость размерности в , и .

Опр. Прямая перпендикулярна плоскости , если , т.е. .

Предложение. Если , , и , то

. Из следует . .

Пусть теперь , -подпространство в , , - базис ,

- базис .

Теорема. Из точки можно опустить перпендикуляр к , . Его длина есть кратчайшее расстояние от до . Точка находится из условия ,

(*) где , а

где , а - определитель Грама.

Тогда . Положим , . Поскольку , то ,т.е. .

Вычислим координаты в базисе .

Тогда Отсюда

Получаем систему уравнений

Ее определитель, это - определитель Грама. Не равен нулю, т.к. вектора линейно независимы. По правилу Крамера система имеет единственное решение задаваемое (*).

3. Расстояние между плоскостями.

Пусть и - две плоскости в евклидовом пространстве

Опр. Отрезок - общий перпендикуляр к и , если и .

Лемма 1. Любые две плоскости имеют общий перпендикуляр.

Пусть , . Будем искать точки ,

такие что и . Т.к. , то . Разложим V в сумму . Тогда . Тогда и определены однозначно, причем . Отсюда . Если взять , то . Т.е. поэтому - общий перпендикуляр к и .

Лемма 2. Если отрезок - общий перпендикуляр к и , то .

Пусть , , . Тогда , . Отсюда . . Т.к. - общий перпендикуляр к и , то . Следовательно

Теорема. Для любых двух плоскостей и в найдутся такие точки , что выполнено и отр. - общий перпендикуляр к и , он определен однозначно . ( u - направляющие плоскости и ).

Существование доказано в Лемме 1 и Лемме 2. Пусть и - два перпендикуляра.

Тогда , так что , . Как и в Лемме2 (*). Поскольку и два перпендикуляра, то . Следовательно . Таким образом при общий перпендикуляр только один. Если же , то , то и - общий перпендикуляр.

2.04.05

Определитель Грама и объем параллелепипеда.

Пусть E – евклидово аффинное пространство,

V – ассоциированное с ним векторное евклидово пространство

, , - ортонормированный базис

Опр. Параллелепипед в E, заданный точками

Объем зададим так:

Теорема.

Заметим, что , ;

Итак, .

Аффинная группа

Пусть (A,V) – n-мерное аффинное пространство, и -биективное аффинно-линейное отображение, то есть . Обозначим . Так как f-биективное, то .

Покажем, что - тоже аффинное-линейное. Для этого покажем, что

Так как , то . Но , . То есть - аффинно-линейное.

Есть тождественное отображение . Оно аффинно-линейное, его дифференциал

Так как умножение ассоциативно, то можно взять все биективные аффинно-линейные отображения A в себя (операция композиции), получим группу.

Осталось проверить только, что композиция задана корректно.

Теорема. Совокупность всех аффинных биективных преобразований (т.е. аффинно-линейное отображение ) образует группу.

Не доказано только, что если f и g – аффинно-линейные, то и fg - тоже аффинно-линейное.

Пусть . Тогда , то есть -аффинно-линейное с дифференциалом .

Самые простые преобразования – параллельные переносы и сдвиг.

Опр. Отображение , называют сдвигом на в A, где .

Если , то есть -аффинно-линейное отображение . Оно биективно, значит - аффинное преобразование.

Ясно, что . - абелева подгруппа в . G- группа, f- ее подгруппа.

Опр. (H - нормальная подгруппа в G), если она выдержанно сопряжена любым групповым элементам, т.е. .

-группа всех невырожденных матриц над полем K.

Теорема (о структуре аффинной группы).

1) Подгруппа сдвигов T – нормальная в , и равна ядру гомоморфизма , где .

2) Аффинное преобразование, оставляющее неподвижной некоторую точку , образующую подгруппу, изоморфную .

Доказательство.

1) Мы уже доказали, что

Это и означает, что гомоморфизм групп ,

Гомоморфизм сюръективен.

Пусть теперь . Тогда .

Докажем, что этим свойством обладает только сдвиг.

Заметим, сначала, что если , , то , .

Поэтому .

Вектор не зависит от , так как если , то .

Обозначим . Тогда , то есть . В ядре, кроме сдвигов, ничего нет.

2) Очевидно, что -подгруппа в A_n. Так как

не содержит сдвигов, то ограничение D на H инъективный гомоморфизм . Покажем теперь его сюръективность. Построим нужное аффинное преобразование. Пусть , где F произвольный невырожденный оператор на V.

Тогда если , то , то есть f-аффинное преобразование, причем и .

Следовательно, -изоморфизм групп.

Теорема. Любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции , где .

Возьмем , положим . Тогда g-аффинно-линейное преобразование. . Очевидно, .

Координатная запись аффинных преобразований

Пусть система координат в аффинном пространстве и –аффинное преобразование с линейной частью .

Пусть F – матрица в базисе , а – координаты точки в той же системе координат, то есть . p - точка с координатами .

Тогда . Если - координаты вектора , то .

То есть . Отсюда и если – координаты ,то или , где .

4 апреля 2005

n=3 Примеры движений

Собственное

В екторное движение – поворот вокруг некоторой прямой и сдвиг на вектор, параллельный оси вращения, т.е.

Ч астные случаи – сдвиг или вращение

Н есобственное

1 ) вращение с отражением

2 ) скользящая симметрия (отражение относительно некоторой плоскости и сдвиг на вектор, параллельный )

Теорема. Любое собственное движение трёхмерного евклидового пространства является винтовым движением. Любое несобственное движение является либо вращением с отражением, либо скользящей симметрией.

Пусть - евклидово пространство, , - движение. В существует ортонормированный базис , , , канонический для . Зафиксируем начало координат – точку . Тогда

1) или 2) или 3) или 4)

Случай 1

,

Случай 2

Как и при n=2 находим такие, что

Тогда после переноса начала координат в точку имеем

в новых координатах. Т.е. - винтовое движение.

Случай 3

Вводим новые координаты: , , . Тогда

т.е. это сдвиг на вектор и отражение относительно плоскости .

Случай 4

Ищем точку , , как решение системы

Это возможно, т.к. матрица невырождена .

Переносим начало координат в точку , получаем

В новых координатах это поворот в плоскости с отражением относительно этой плоскости.

КВАДРИКИ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

1. Квадратичные функции в аффинном пространстве

Отображение называют квадратичной функцией, если , (1)

где - квадратичная форма на , a .

Задача Показать, что если задана формулой (1) с фиксированной точкой , для любой другой точки выполняется соотношение .

Опр. Ранг квадратичной функции : .

Характеристики

Список файлов лекций