Ряды Фурье (1111757)
Текст из файла
СИС'П'.М Ы, Назоном Величину ~~~ — Ор~ й Ожж юн4';инам эломип н О~~ от элемента Х но норма данного ИЕП. ДЙКВЗЙТвлЛЬС в ВО. й)З ИДДПТНЙНОС'1'И ПНТОГ1)ИЛИ СЛОДУОТ ПОЭ"1'ОМ~' ПЛЯ ЛОНИЗИТОЛ)нС'1'ПИ ЛОММ1в1 НОСТИ'1'ОЧНО НОНИЗИ"1Ь, ЧТО ~ Д(,) А; = — ~ ~Д(,')Й,. СЛИЧИЛИ МЫ ПООПОЛЬЗ»- ОМС'.й ПОРНОЛНЧНОГП. К) фуН11НН11 Д(,), ЗИТОЧ ПВОЛОМ НОВЪ 1О 1Нл~)И~~Н11У11) 1 = 1, + '))1. ИМООМ ЛЮММИ ПОНИ.')ИНИ. 2' ВЫД8В~ОВИВ ДЯВ П-ОЙ ЧВО~ИЧИОЙ ОУМЫЫ ТРИ1ОНОМВ~РИЧВ~йО1 й РВД8 ФУТ В ('ХРФ) фУй~ЦИИ ~(.).-~. ИУО1 Ь Д1Х) ~'Д1)1)ЛФ:.'П)О~)ЙИГ;еОЛО)ЗИЯ М ЛОМ М Ы П 1)ОП)л).ЯУ11Нв10 ПУНК1И.
ВОПОМННМ ВЫ~)И))еОН11О ДЛЯ П-ОЙ ЧИСТНлН)ОЙ гумми П)Ф: ейев1е~+;е )1 сне †:-+- веро онрнхле, н нвльнейшем обознечн- '~ в1)~ —.. ИМОЕ ЧОРОЗ Х)„(~). ТеОрймй 11. Есд1И Г"(х) НОПОООыОНО НИ ОН11ООЗНе (11.61, О1011дп д~Я ~ и дд1Я прОизООд111нО11О .-;-:~ О нпйОО1йсЯ О111аб- 1)Оичасний .11нОООч '1ан Х (х) И1ОКОЙ,, МО1О дАЯ Осах х 1-, (О. 6~ ОЮВО)1ияВФся ф.1') — 1 (х) ~ ~ Г, ЛОКЕЗВТОЛЬСТВО. 3, Шаг ФИКСИРУ~".М П()ОИЗ1)ОЛ1лИО;=;. '..~ О, Г1)гг1а ПО ГОО))Ом~'. 3,2 изида)сЯ Ц)НГОНОмОЦ)ичаский мнОГОчлси Х(х) 'ГИКО11, г1ТО ДЛЯ ЛК)1)ОГО Х ~ ~ — й., Л) 1И4ПОЛНЯСТСЯ Ьй)К11ай ИЗ фУИКИ1И1, 11Х011Я1ИМ1 В .1 (Х)л «)ЗЗЛ1))КНМа Н 1)яд Ма кл01)сна с 1)адиусОм схОди м00'1' и.
1)а Иным 1)аскО- 110лИИ)С ГП. 4 Г1ГДа К~110ЧИ)л10 К~)М1)ИИаПИИ З1 ИХ ф~:111лП1И1 ТЯКЖО 1)1)ЗЛО2КИМ1л1 В с) ОПИСКОЙ ()ЯД с ГОМ гКО ()аг111» ООМ сх01111мОс111. 1ак как 1)яд для Х(х) схОЛ1ггся ()а1)ИОмс1)НО нд ссГМФИ ГО ~- гт. «7~, 'ГО для фикси1)ОиаииОГО нами е ~" 0 МО)КИО ИЗЯХЬ СУММУ Р (Х) ф)гИК111И1 Г(Х) 1'аКУЮ, Ч10 2 П1аГ ИОКИ)КОМл НГО У11~':~))КДПИ1С 1-ГГ1 1ПГПа С11~)а1~'.ДЛИИО Дг1й ф'~'НКИИ11л НОП()Ц)ЫВИЫХ На ОГ1)ОЗКО ~ — 7Г. Т), ДЛЯ КОТОРЫХ ЗИа ЧОИИ11 Иа 1Я)И Ца Х ОЦИ.'ЗКа ИО СОИПаг1010 1'. 11УС11л ~(.1:) Н01Ц)С()Ы11Иа Иа О) ))ОЗК1: ~ — ~..
гг~: ОООЗИаиим ~(х) = Д(;1')+ Ах+ В. 1дО .4 =, В -'""-4~=- — '. 0 ювллног что д(л) = дг-т1 = л. Тогда ллл д(х) в силу шага 1 сущсс)вуе'1 Р(х): ~д(х) — Р(1.')~ < =. ИУс.гь РЦх) = Х'(1) + А;1 + В, югда фх) — Х~1(х)~ = ~д(1*) + Ах+  — Х'(1",) — 4х — В~=~У(х) — Р(;1)~ < =. ТеОрймй 11. Есд1И Г"(х) НОПОООыОНО НИ ОН11ООЗНе (11.61, О1011дп д~Я ~ и дд1Я прОизООд111нО11О .-;-:~ О нпйОО1йсЯ О111аб- 1)Оичасний .11нОООч '1ан Х (х) И1ОКОЙ,, МО1О дАЯ Осах х 1-, (О. 6~ ОЮВО)1ияВФся ф.1') — 1 (х) ~ ~ Г, ЛОКЕЗВТОЛЬСТВО.
3, Шаг ФИКСИРУ~".М П()ОИЗ1)ОЛ1лИО;=;. '..~ О, Г1)гг1а ПО ГОО))Ом~'. 3,2 изида)сЯ Ц)НГОНОмОЦ)ичаский мнОГОчлси Х(х) 'ГИКО11, г1ТО ДЛЯ ЛК)1)ОГО Х ~ ~ — й., Л) 1И4ПОЛНЯСТСЯ Ьй)К11ай ИЗ фУИКИ1И1, 11Х011Я1ИМ1 В .1 (Х)л «)ЗЗЛ1))КНМа Н 1)яд Ма кл01)сна с 1)адиусОм схОди м00'1' и. 1)а Иным 1)аскО- 110лИИ)С ГП. 4 Г1ГДа К~110ЧИ)л10 К~)М1)ИИаПИИ З1 ИХ ф~:111лП1И1 ТЯКЖО 1)1)ЗЛО2КИМ1л1 В с) ОПИСКОЙ ()ЯД с ГОМ гКО ()аг111» ООМ сх01111мОс111. 1ак как 1)яд для Х(х) схОЛ1ггся ()а1)ИОмс1)НО нд ссГМФИ ГО ~- гт.
«7~, 'ГО для фикси1)ОиаииОГО нами е ~" 0 МО)КИО ИЗЯХЬ СУММУ Р (Х) ф)гИК111И1 Г(Х) 1'аКУЮ, Ч10 2 П1аГ ИОКИ)КОМл НГО У11~':~))КДПИ1С 1-ГГ1 1ПГПа С11~)а1~'.ДЛИИО Дг1й ф'~'НКИИ11л НОП()Ц)ЫВИЫХ На ОГ1)ОЗКО ~ — 7Г. Т), ДЛЯ КОТОРЫХ ЗИа ЧОИИ11 Иа 1Я)И Ца Х ОЦИ.'ЗКа ИО СОИПаг1010 1'. 11УС11л ~(.1:) Н01Ц)С()Ы11Иа Иа О) ))ОЗК1: ~ — ~.. гг~: ОООЗИаиим ~(х) = Д(;1')+ Ах+ В.
1дО .4 =, В -'""-4~=- — '. 0 ювллног что д(л) = дг-т1 = л. Тогда ллл д(х) в силу шага 1 сущсс)вуе'1 Р(х): ~д(х) — Р(1.')~ < =. ИУс.гь РЦх) = Х'(1) + А;1 + В, югда фх) — Х~1(х)~ = ~д(1*) + Ах+  — Х'(1",) — 4х — В~=~У(х) — Р(;1)~ < =.
3 НГВГ Пус:1ь,~(х) непрерыВН6 н6 Отре3ье (О,Ь). 11Ве~~,м линейную 36мену перемен11Г1Й 1 = Г1х+ ~:,1, Где ~1 = 4 = +., Ирн тВЯОЙ 38мене сегмен1' 6 ~ ~1 ~~ Ь преОбр63у1; ГОЯ В сеГ1ие1Г1' -Я' ~~ х ~ ~7Г и Дх) передо.".11ГГ В ИЕПРЕРИВ11УЮ Н6 01 РЕ1НЕ ~ — К. У~ фУНКГН1Ю (СУПО)1ПОЗИЦИП не11рерыВИОЙ и линейнОЙ функции ес1ь не1ц)ерыВнбя функкиЯ). ИО 2-му 1118Г1 длЯ ~(О.1 +;.~) и длЯ л10б010 ~ .> О ИВЙДетсн ВлгебрВН 1есн11Й мнОГО1ле11 Р(х) '161Н1Й. 1то длЯ л10бОГО х ~ 1-1Г. 1т~ ~~'(Ох+,.'3) — Р(1.)) ~~ =-.
ИроВодЯ Обрб'ГИЯС 36менъ'„получим ~~(1) — Р(-"+ ) ~ <. ы длЯ 1--'3 ЛюбЬИ Г 1- (0„11). ЛОи636т9дьстВО. т )1ебуетсЯ дОН636ть. "1тО длп лю- бОЙ 1'(х) (- Х ~~~ — У. ж~ и Длй люООГО," ~ 0 н6ЙДетсЯ трнГОИО~1етричес1ънй мнОГОчлен Х(х) ТВНОЙ, чтО 1 НГВГ 110116%ем. ч ГО длЯ любой ~(х) 1 ~.~ ~ — к, 1Г) и длЯ л1ОбОГО = .> О суВ1естВуе'1' кусо ии1-1кч1рер11ВИВЯ 1ГВ (-1т, л.) танВЯ фуннц11Я,~т(х)„ГГО 1фх) — ~'~(х)~~ < -".'. 2 1тиг ."1лЯ л1060Й нусОчн11-иепрер1АГП10Й н6 ~-т», я'~ функции Я.1..) и ДДЯ любого =- > О сугцестнует строго НЕМЦ)01РЫВИВЯ Н6 ~ — 17, К~ фУНН1.111Н Ч'(Х), 1ЦМИ1ИМ6101116Я и6 110нцбх ОцтеЗЯ6 рВВиь10 Знбчен11л и т8ИВП, чтО Йд(х) — ~т(х)1~ < ~~, 3 й16Г !1ЛЯ Люб011 стрОГО 116Ирер11ВНОЙ ИВ ~ — -1, 1т~ функ ин и 11(х ), при и и мбю1 Пей н6 кон цбх Отре3н6 р8яньго 3И~1че1Н111.
и длй любОГО ~.> О сугцестнует Григономец1ичесВИЙ многочлен .1 (х) т6НОЙ, что ~~11(1') — 7(х)~~ ~ ~., Ото)Ода дли лк)ООЙ 'ГОльеО ин'ГеГри1)уем011 НО Ри ману фуннцнн Н1)легчаем а),. -+ О, б)„- — ) 1) ири ), -+ х;. (2~ '1'РФ фу11н111и1 ~(,1.) ~ ~:.~~~ — 1Г, «~ на э11)м ее1'ме11ГО е~о- 11Н'Гея В с()однем н ~(х). «3) .( РФ ф) ннии11 ~(х) (= ~,~~ —,.~, )Г1 можно 1и1хеГ()и()01)а'Гь ИОЧЛЕННО. (4) .1и)е 1)а'1личиь1е 11УО1)чп0-иеп1)е1)иаиь1е 11а ОГ1)е)110 (-1Г, 3Г~ функцни име1О1' 1)азличньГе ИОэффиц11ен'1'ь1 ФЯЗье. 9 Малан Гео()еаза Фейе()а. В дальне)и11ем ()аеема Гр11Г)ае Ген 2)Г-ие()иод и 1еенан фу и н111111, и н Гец)11()уемай 110 л лбом ~' нонеч ИОму ее1'- менГу.,.111)иуеГнм. ЧГО 11 ненОГО()ОЙ )очне .10 1= (-)Г.)Г~ ее '1РФ е)ГО)11псн и 11чнее)но, ч10 раала1аеман и 1'РФ ф~'нн11ий не11ре()ь11)иа н Го'и)е .Го, лнбо имее) ()а)()11а 1-1"0 рода.
Оказь1наеесн. чГО в з.ГОМ случае П)Ф в Г01ке .1:О Е,ГО,~И,.ГЕ11 1., Х1'м+ - 1+Х1«'О- 1 тео~)е~а 3.4. Х~~1ОГй1 Г'(Г) 2)Г-Г1ериоди1еейаЯ й ай- )Г)е~,~11~)~~е.нОЯ )10 А®бо.нф )Гойечйомф са~найГГ1ф ффййЦ1)Я й й~сп1ь 6 ГИОчже хо Е ~ — 'т~, 7Г1 д 1' сц1цесп16цеп1 койечйый )цй)аый и йойечйый леаь1м ~~адел (Ойи.
мОЕГ)) еоа)10дй)Г11)). ХМдо че~~1оаейие е1)едййе О,„(1.0, ~) ~й1 и — ~ ~ е;ГодЯй)ОЯ . 8 10ей)нООГйй. а е~1~ ЧГ)а йе~~)Е)ь)айое))111 чеж~обек110 с~)едйиа сходЯГ11ОЯ В Г(,1*0). ЗаМе)11~1. 1ГО е)Г011нм1)ОГ1 'ГРФ Н ИеНОГО()1)Му 11()едеЛу 1)ЛЕ'1ЕГ ЕХОДИМОЕТЬ Ц)Е,)ИИХ Щ)нфМЕГИ'1ЕЕЬИХ Ь' Э'Г1)МУ )КЕ Пределу. 7Г,Ъ 0 УГ 1,;)1)2 У 1 ."1В2 2! 1 1 ЛР, Ы'112 2 ЛН а1112 ~ 2 ГГН 0 — ~г 7Г Фййойруом ='.
~ О, 'ин ли «В силу." су|иоопзойниий олйоо'юРойййх йродойой) ййй.~е~ой Б ~ О *ойоо. ~~о ф.~о+ 1)— ~'Д,1.'о+О)~ <', з для $кмх О <~ 1 ~ о и ~Д~хо — ~)-Д'~'о — О)~ ~. о ,~ой йоо~ — о ~ 1 ~ О. По~~о~~~' )~й;~йоо~й. о~ойФой й лРйой ййс'~~ ~9). мой~ог б~п~ йрооо~ййлойо й йй;~0 оъ'м~~ ин'ыцюлой Х~ + Х'~ + Х~ + Х.~ + Хо + Хо. 1*Во 1 Х~ —— — анхо + 1) — Дхо + О))Ф.„(1)0~ 1.
Х~ = — У(хо + ~) — Йхо — О)~Ф„,(~)~~ ~. — — ~Дно + 1)„Ф„ЯсН, 1 Х4 — — — ~~хо + 1)Ф.„фд1, Х = — — Д;~о+О) 4„,Яс1Ф. 1 Хо — — — — Д~хо — О) Р„~1'~)И 1. 1 ин Вин риЗностВ,~(х) — ~~(л') Вс1Ол~' Воло®нтслыи (Нро" ме конечно~.о чнсли точен. В которых они обри®иется В НОЛЬ), ТО фОРМУЛИ (4 ) ВСРСТННПСТСЯ В ВНДС 3онииителостВО '2-~ о В~и~ В." лля Востроснной /~(х) сун1естВует строГО ВВВрерыВния функНня фх), ъ'ДОВлетВОрякнцая д(у) = 9(-у) такая„что В НВЧОСТВВ фХ) ВОВЬМСХ1 фЪ'НЬЦНЮ. СОВПИДИЮЩ~'Ю С ~~(Х) ВСВЛУ, КРОМЕ ТОЧЕН ХО.
ХТ, ...,Хи И ЛОСТИТОЧИО МИЛЫХ онростностЖ этнх точек, В окрестностях Втих точен Выберем с1'лизкнВВ1Ощ~ кэ лннВЙВ~'ю ф1 нкцнкм тин, чтобы фЛ;) ЯВЛЯЛИСВ УЛ Е СТРО~О НЕВРВРЫВНОЙ Н ~'ЛОВЛВТВОРЯЛИ УСЛОВНЮ Д( — ~Т) = Д(Я'). 1 ОГДВ ВСЕХ ГГ)ЧЕ).* СЕ1 гйЕЦ 1.6 ~ .~ ГГ~ Н Но"Г1)Р1 1Х )1 О ЦЕ1РВЦЕИС"Гцо не ВыпОлнйетсв. Плв любогг) е, ~ 0 мо)кн)) заключи Г) Внут1)ь це более ч1.'м сче'Гцого чисЛа н)гге1)Вал))В '1ацих. чпГО сумма ~)йла нз длин э Гцх нипц)валов меньн)е К~)атйай ис"ГОричесйай сиравйа.
В 1816 ,Дк)буа 1 61)мон пострОил 1Ц)име~) 11ЛЦ)е~)141)НОГ1 Н6 ОЦ)еане ~ — '~т. )Г~ фун1ъцнц ) 1х), П1)14ннма11)ц)е11 на нонцзх инте1)вала Одиианоаыс '3Н6чгц1ив и Гав))11, что ее ) 1 Ф 1)Всходи'1св на множ1 стве точен. Вск)ду 1160ГЙО ион1)ывак)1ием этГ)т се) м1.)г) (замегим. ч1О п~)и зтих 61е усАОВипх чеза~)оасцие средниа схОдятся ~)Вциоме~)но), Лала1. ВОЗиик Боп~)1)с, дол)нец ли '1РФ 111)оизв1))1ы)ОЙ Г1)л)но НИГег1)Н1)УСМО11 ца ~6.61 нли )16111)е1)ывцой на атом Отрезне фуцнции схоДцтьсй хотй бы В Оди)Й) точна.
ЛО )966 ГОДВ ответа ца этот вопрос не б1~1ло, затем в работе п1ведсного математина,1. К1)рлесона была ре)не)16 сле)1У101цаГ1 задача. иоставлеи)гая н 1914 )оду Н.Н.;Ь'зииым: пусГь фуннциЙ „~~х) .'.10пуснает инте)~)<1л ИОиимаемы11 В смысле,1сбега, ГОГда ее 'П)Ф сход1ГГсй почти Вс)1)ду на сегменте 1 — )Г: «7~, В И67 году амерцнансций ма"Гема1ин Ха)Г1 что если Д~,г) допуснае'Г 11и'ГеЦил .'1ебега то ее 'П)Ф сход1ттс)1 почти Вс)оду, Г) 1923 году А,Н.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
