Ряды Фурье (1111757), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Колмогоров построил пример фуннцни,,11н)ус)1610111611 поиимаемьй В смь)еле Лебега ицтег1)ал (2) Щ)11 ~» = 1 с иоч Ги 1)сюдУ ~)асхо4Я1цн)цс)1 П Ф. час"Гичнь16 съ'*ммы 110то))ОГО с тремилцсь н бес)1оиеч ности, Марциикевцч поназал, что су)цес)аует фъ'ннцип. удОВ- летворяннцая перечисленным услОГЙ1Йм, '1 РФ ното~)1)Й расходнтей почп1 и Вс)О))у, нО час1 и ч ц ьи) суммы Оц)ан ичены, В 1926 году А.Н.
БолмоГОГ)ов привел НРцмер ОП~~ДЕЛЕНИЕ 3.. ЬУ11СМ 1))НО1)111'1-., ЧТО фУНН111111 ~~,1') НМССТ И6 СС1"МОНТО 1 — ~~, 7Г~ КУСО'И1О-НОПРОРЬ1ВНУ1О П1ЮИЗ- 1)ОПНУ1О. ССЛН (1 1 Д Х ) 11СК)ДУ Н6 ~ — 'Л, ~' ) К 1)ОМО. 1)ЬП' Ь МО)К61", НОНОЧ НО1"О ЧИСЛ6 1'ОЧСК. ИМСО1 ООЫЧИЫЙ Д1)УСТ1Ц)ОПЦИЙ 1Ц)66~.'Л." (2) У'(Х) ИМЕЕТ НОНЕ161*16 ПРВМЬ16 и ЛЕНИЕ 11РЕЧЕДИ: (3) СУИ1СС16У1Г)1 КОИ61НЫО ОЛНОС1Х)1)ОНННС 11РО)16ЛИ ~'~Т вЂ” 0~ ~ — )Г + О] Н6 КОН Н6Х НН'1 1~~)ВЗЛ6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
ЬУЛСМ 1ОНО1)11-11,. ЧТО фУИКЦ1111 ~(.1.) НМВОТ Н6 ССГМОНТВ 1-ГГ, )Г~ КУСОЧНО-НОП1)61)ЯВНА'К) 61ЮИЗ6611НУЮ ~1""+')(.1 ). 1-.САН фУНКЦИй ~'™(.1 ) ИМОС1 КУСОЧИОИСГ1~Щ)Ы1)ИУ1О 11~)ОН611ОДНУ1О, ПОИНМОСМУ1О 13 СМЬ1СЛС ОЩН" ,'1~.'ЛОННН 1. ++ ~ ~)пр))(же)+ )ьц))ча1..к(~.
ДО~ЕЗй'1'ЕЛЬСТВО, СО1"Л6СНО 11Р11ТО~)Н1й Е1)1611 ~1ОС'16ТОЧНО 6161636ТЬ,, ЧТО Н6 ОГ1К'.ЗКО ~ — '«Т, Т~~ 1)6Г1НОМ61)ИО СХОДНТСН 1)116 ~1). ВОС11ОЛЬ;1УОМСН К~)НТС~)ИОМ ВОЙ~.*~)111 1.1)6СС6 ,!1ОН6ЖФ."М, ЧТО СХОДИТСН ЧИСЛОВОЙ ~)ЯД Иа (2), ~3), (5) и неранеиегаа гре1'го;и:инна ноаучим, чга нри нрннааоа~ном ~Ь~ <.'а енрааедаийа фл'+ А) — Д~ж)~ ~6 . фх+ А) — д~х+ Ь)~~Ь' + ~д(х+ К вЂ” фх)~дх+ ~~~~х) — ~(х)~дх <.'-. Доказательство. ')ан как ~ф и д(1) иичегрируемы ни на кчом нонечнам еименн». 10 (В еил~. Перноличнаеп~) ограничены на (-ж., ъ':) и потому еу~цеегаует ЛХ > О 'ганне, ч'хо 40ЙСТВИ ГРЛЬИО,;"1ЛП ПРОВВРПИ ДОСГЯТОЧИО ПОСПОЛЬВГЦПИ ЬСП ФОРМУЛОЙ СИПУСП С~.М~~ П В П))ОЛЬ~Л~" В~О~~ СЛВЧСТВИИ ДЛП О~~,(Х) В ПВЧИ'.ТВВ Д(1) ВЗП'ГЬ Д(1) СОЯ,~, 3 ЛЛП Ьд,(Х) В 66ЧОСГВО Д(1) ВМП Ь ф1) ЯП ф.
ДЕММВ 4. ПфСГПГ ффййЦПП ~~.Г) ГПОЛ~ПО 2ГГ-ПП~~ПОдйййП П ййй~~~~й~®СПП йо Л~ОбОПф НОНСЧНО.Пф СС~.ПВНГПф. ТО~до дЛЛ Л~бОЛО О ~: ~6 ~ ГГ ффййЦПОНПЛ~НПЛ ПОСЛЕдОВПГПВЛ~НОСГП~ И ЗВМО'ПП'В, ЧТО ОПЗ И1ПОЦМЦ31"~.'МВ. 2 ПРИНКЦИИ ЛОПВЛИЗВЦИИ РИМЗПВ.
'.РЕОРЕМВ 16 ~РИМйН)* ЬСАП ~Д1) «ПО.И йО 2ГГ1ЫРПОдПЧНП й ПНОМ~~)Щ)ЦЗПП ПО СРГМКНПЩ ~ — 'Г, ХГ~. АППО ,~~ПЕНПВ ООйфОСП О С,СОдй.ПОСПГП ХРФ СГНОЙ ффййЦПП фййСПРОВЙНКОЙ ПЮЧКВ Х ( ~ 3Т ХГ~ 306ПСМГП РИИЬКО ИП 0066дСНМЯ фЦНЮЦПП 6 НВК ДЮдйО .ПИЛОЙ 6-ОК~ССГПНООПУ ГПОййй Х. ИСПОЛЬ;~~В фОП~~УЛЪ" ~12), ~а~ПО;~ВПИСВ'~ Ь В СИЛУ,1)СММЫ 4 ПВСЛВПС1ВЗТОЛЬНВСПэ Сц(1') -+ О (1ЗВНОЫВРИВ НЗ ( —::~."~:) И ТВ1",И1 ВВ1~~ВС О С11В11ИЫОС'П1 1'Рф (1В1ПЗО1С11 10Л11Н11 С ПО~1ПП11*10 ПВРПП1-П СЛЗГЗ0~1В1'11. '1ЗН НЗН 1 ~ ~ — Ь„'д~, ТО З~)1'~'МОНТ фУ1111ПИИ 1 П()ИН11МЗФ." 1' 311ЗЧОИИЙ ИЗ 1ИП'ЦРВЗЛЗ (Х вЂ” О; Х+Ь), 1ЗМ СЗМ14М 'И",0()ОМЗ ПОНЗ;1ЗНЗ.
ТВОРЕ~~В Х7 (У~ОЧНЕННЗй ~Е1~РЗМЗ РИМЗНЗ). ЕСЛИ фуййц11л Д.1) 2~-~1ОриОд11чйО и ий1йсфи~~1зл1З йц йи~сдОЛ1 йОйечйОл1 сс~л1зйлтю и ОбрО1цОО1йсй О О йО йсйОЗ1О~1Ол1 Ойфзмы ~й, Ц С ~ — а, л'~, шО Й1РИ л1О6ОЛ1 дОсибтРОййО м0- ЛОМ ~1 " 0 ТРФ МИОЙ ффйКЦИИ СХОдИП1СЯ ООЗйОМ~6ОЙО йи 1а+ О,Ь вЂ” Я, ДВКЗЗЗ 1.ЕЛЬСТВО. ЛЛ11 Л1ОбВ1'В .С 1= [П+ О, 11- ~)~ ВСО ЗИЗЧС11ИН В 11НТВ1'РЗЛ~.' (13) НВ ВЫХ11ПН'1' ЗЗ ПфВПОЛЫ ЗНЗЧВН1И1 фУН111Ц1Н НЗ СО1'МОН'П" (11.
И1, ТХ',. РВАНИ НУЛЮ„З Сд(.Х') — 1 О (.ИВНОМЦ.1НО. СледстВие. Для й1ОВО. 1й1Обы для йзйОп1ОфОВО ссзл1зйй1О 1О, 6) С (-1т. л'1 и для лй1бОВО О:> О 7'РФ 21т-11е~1ПОд11йссйОЙ и ий1т1сф~фсл1ОЙ ПО л1ОбОлф йОнсчнОл1Я сс~л1зйО1ф фЯйй1ии Д(1) стОдился ~~ООйОл1О~1йО йО сОГл1ейп1О (О+~~.Ь вЂ” О), дОсй1ий1ОчйО. ч1т1Обй сфЩзсй1ОООплп 2т-йООПОдичзсй11й и ий11В~~1и~1фзл1Оя пО л1ОбОл1ф йОйсййОл1у сз~л1Ойп1ф фДййи11й Д(1).
СОЙПОд61ОЩВЙ С Я) йЯ (й, Ь) И ПОКОЯ. ЧРЮ ОЗ ТРФ ~~Одип1см ~й~йОл1О~>йО йО '(и+ О. Ь вЂ” О1. )1.11111 ЛВ11ЗЗЗТВЛ1.С1ВЗ ЛВС1ЗТОИ1О НЗПТВ В '1'1:О(1ОМ1. 17 ВЧВС111 1' (Х) фЪ'ННПНЮ 1'( 1;) — Д(Х) И УЧ~.'СТЬ, ЧТО 1'(4")— У(Х) — ФХ)1+ Ф 1') ° ОПРЕДЕЛЕНИЕ Х. АЛОМ 1Т1Вй(Н1Т1. ЧТО,Д(,1..) ~Ч111ВЛ~.- :1В11РНВ1' ~'СЛВ11И1О 1СЛ1ЛС)1З П1фППНЗ ~1 (1-~1С О С. ~~ ~~ 1) В МННВ11 '1Т1ЧНО .1.'11 СПРЗВЗ, ОСЛИ Дх) ИМООТ В '10Ч1Ж." .1"11 ПРЗВЫ11 П(КЛОЛ. (2) ВОЛИ С~'Щ$."С'1'ВЪ'111 ТЗЬ*ИВ 1Н1С10ЯННЬ1В ЛХ:> К Б» О, М'0 ~й~~.~ ~~й~ "+" ~~б~~~~~~ ~~~ 1:~ О, ~й~~ при 1 <О. 11~~~®~~.
~~~ ~~й й~~~~~~й~.~~й~й~~~~ йй~й0~~й М~;~- й~~йй ййй~й ~й~й~~~й й~~й~Л~йй~~й~йй~~~~. ЛИЛА" 1ЦИЛ(ТЙВИМ 5~~(Х~~. Д~ — ~~~(Х~~+ О) — ДХ~) — 0)~ В И1.ЧС СУММЫ Х1 + Х2 + КЗ + Х~ + 7, + 16 ПИ".С'П1 ИНТРГ~ИЛОВ ".1. ЧТО ПбСО7НОТ1ИЯ ПСЛНЧИНО КПЖДОГО ИЗ НУЖНО НОППЗП'1'Ь. ЭТИХ 11Н'И'.1'1МИОП СЦКМ11ТСЙ Н НЪ'ЛЮ ЩИ1 П -+ -..и . ДПВ ПООПВВУММВММ ВВОС7®ПВММВ МВ~П ПОМВВОбМТЕМ йВРВВВМОТВО МПВМЮ Т' ~~7') = —, О '~~ 7 ПОМПАМ ВТО, ЯПЙ ВПФО 1ТВООВНПРИЧ ф7МПВМЮ огаа т = — ' .„= — — д-П~ (~ О (~н «а ваюзу в 1оыа П'(~1 = — '' д-'— 1- .
"~ 7 ":~ 7$ 7') ГПВВОВПТВПВМО Д(7') йВППВТОМ УВМВВЮ~ЦВВ 1-ОВ ЧФТВВРТМ Ый 7 ЯФП T .„. 1 ф7ММЦМВЙ. ПОЭТОМУ Й66 ПМВО ВПП ВСВОЕ ТВП ПВП ф7МПВММ Ч ~ й 'И7 Т МВМВТМВФ, ТО МВРВВВМСТВО Сйф В 7 ~ 1) й 7' "~~, О, ПОЭТОМУ НВЯВВВМФТВО 19) ОП7ФВФПЙМВЙ ЙРМ вЂ” д П» 1 ~ 71. РП11О16 бмЛО ЛО17ПЭППО, ЧТО 11)7И ПИПОЛНОНПЫХ 1'~71О1711ПХ СУ1ЦРСТ1ФУС 1' ПОМОР ПО Т77КО11, ЧТ ' О П 7Н ПСФХ 77 .> 71О ПЬ1- ПО711171~ ~;71 ~ХЭ~ ~: —. ~Х4~ ~ —, БВЖ)1У1О ИЗ Э",П1Х ПОСПОДО ЯОППТОЛ Ь11ОСТСН МОЖНО П РОДСТ8 ПНТ1» В ВИД<:. П1)1)НВВВ11ВНИЯ 6ВСК1)НОЧИМ МВЛ1)й И ОГ1)ВНИ'1ВННГ)й йОСЛСДОВВ'1 ВЛ 1л1 11) С'ГВ6), '1'СПОРЬ С ПОМГН111ик) (7), (81 и (9) ДОКажЕМ, ЧГО ПРИ ВССХ и СГ11)ЙВ$;"дЛИВО 1Х1~ с„фт 1Х21 'л ~.
ИМССМ 4 . РВВИОМС~)НВЯ СХОДНМОСГЬ ГРФ 1ГВ ~ — л~. Р1. 1.:фГфМ~Л11~)УС)1 УСЛОВИЯ Г)ВВНОМС1)НО11 С)1О1111МОСГН В ГСР1НИНВ)1 «)6ВГЧНО1 О ~~Д)сЛЯ 11ВГ1~)Гл~)1л1ВНОС Г11. ОПРЕДЕДЕННЕ 3.. ЬУДВ)1 ГОГ)О1)11ГВт Ч.1.О НС1Ц)С~)ЫВНВ)1 НВ СВГМВНГС ~ — ГГо)Г~ фупкцИЯ П~)ННВДЛСж1ГГ КЛВССЪ,4ИНИЛиишииа.
осли о(Б,~) = о~-~ ) или ~ото то же саыос1 ОЙД6ДВЛВНИВ 2. 1)УДСМ 1 ОВ1)рИ Г1л. ЧсГО ИСГ11)С1)1лп)ИЗЯ 1ГВ СВГМВ)П"В ~ — У, 7 ) фУНКИИЯ ПРИНЭДЛСжп'Г КЛЭССУ 1 СсЛ1лДЦ)В Г1О1)Г1)1КВ О ~. Г1 ~ 1, ОСЛИ 11'ф Д~ = О(д" ), Г,С, С~лй1СС 1 ВУО1 'ГВКВЯ ПОС'ГГ)ЯНШИН ЛХ > 11, Ч ГО ФУИКЦИЯт П1)1И1ВДЛЬ)КВП1ЗЯ КЛВССУ 1 СЛ1лДС1)В ЛЮ6ОГО ПОЛ1))К1ГГВЛЬНОГО И1)РЯДКВл 'Н.':"т1 6ОЛ~.'В Н1)ИНВДЛС)КИ'Г КЛВССЪ' 4 ИН 11-,':1ИП ПН1ЦВ т ПОЗГОМЪ: ДОКВЗЗН НЗ Я В КЛВССВ ДИ Н И'1ИИП1И11Е 'ГСО~)СМВ 6ЪДСГ ДОКВ;)ЕНЕ И ДЛЯ КЛВССВ 1СЛ1л1Щ)Э.
Теореме 19 (Динй-Дййшиц). Еси иьц1)ерчьиая на СесоМВИП1В ~ — )Г. лГ1 фей)ЩИЯ 1 1Х) й/)МйадАЮФМт)1 ЯАаСС1)' Диии-Лмпшхща и цдОВлипьа)яип цслаьию ~( — ГГ) = Г 1, и). 7РФ:)Г1Г)й ф~ниции сГОдап1<й ~)ааи~~е~)иь и ией ЭИОМ СВИМВИИ16, МОЛУл1 ие11Ре1и11И1ос1и Ното))О11 ~'(6.Д) = О(1и у), Й)ии1И- МЗИИ1ИЙ НЗ ИОНЦЙХ СО1-МЕИТЭ ~-Л; Я~ ОЛИИВНОВЫЕ ЗНЗЧЕИ11Й, .1 РФ иотОРОП «эйсходитсй ий миоыостйе точеи, Йс1оду ЙЛО'1'ИОМ ИВ ~ — 7Г; 7Г). ДоййЗВТЕЛЬСШО 'ТЕОРЕМЫ Ы. ИСПО111Й~'й фо)1М1'Л~' длЙ чнст11чно11 суммы $„(х„Д) ТРФ фуикции 1 и формул~' синусй суммы.
Иолъ'чем ,ЙИ1М ДХ+ 11 — „(Р. '21:Я -„"' В силу слслстиий 1 и;:1 1и:мм 2 и 3 с ф1) = 1 ИО11уч11м, что Ж„„~х. ~) ГЦ1ем11тсй к ЙУл1О ~)611иоме|эно по,,1'. ИЙ вЂ” НО~1ому Йлй доий;1ителистий тео)1ем11 лОстзточно ионйзйть. что 5„";(.1, ~) стремитсй и нул~О )1ЙЙИОМЕ)И1О ПО;1' Ий 111ОМ Й1О ОЦ1Е;1ИЕ, Кстй111, 5;,(.1',Д нййый®О'1' мод11фиЦ1~~~ойййййй чйс111'1- ной суммой 'ГРФ. Б «3), (4) И 1'5) НОЗЬМОМ Д~Х) = 1, ТО1ДЙ 5;,'(Х.1) = О. По формуле ~~) имеем Я,,,(х.1) = 1 и поэп1му НВ Ф.НОВЭНИН 11ОЛУЧОИНО1''о ИМОФ'М э', РзвнОмернан схо11имОс1ь 'ГРФ функциЙ, иринзд- ле1кз11и1Ж классу 1 Ёл1.дерз (или класс'~ '1ини-.:1ип11и1цз) '1ОЛЬКО ЛОКЗЛЫ1О. Ч'еоремй 2О. Есл11 ффн11ц11я Д(;1.) 2л -11З~1цздцчйй цнй1з~~1и®з;нй по,1®болф кОйечн1ькф се~л1зйп1ф 11 п~1инзд.:1Е~ГИП1 ~1ЗССУ Г~.:~Ьд~~й й..11~ К.1ПСЗф ДИНИ-Л11П111ййй й1О1ЬКО НЗ 1О, 6~ Г. ~ — гГ, Т~'1, ЖО д4Я .'1Ю6080 ЛЗК ЗМдйд МЙАОЮ 6:~ 0 7"РФ З1Пйй ф~~НК1~ИИ С~ОдИЗ1СЛ К йети ~БОЗИО,КЗ~йй йй се11меиию (м + 6, Ь вЂ” Я.
Докйзй'Гедьс~йО. Фикси(1~'зм прОизвОльнОО ЛОс Гз.1.О 1- нО малое 6 > 0 и но даннОЙ функции ~(х) ИОс1ронш фХ ~. СОППЗДЗ1О1цу1О С ~(Х) ИЗ (П + д/2. б — 6~Я, З 1ГЗ сенмен1е (Ь вЂ” О/2„11 + д/2+ 2л) нусГь ф.1*) = А.Г+ В ИОс.ГОпниь1ми .4 и В. д(б — ~/2) = ~(Ь вЂ” 6/2). д(а+ д/'2+ 2л) = ~(а+ 6/2+ 2т).
1 зку1О фуикцик1 я 1ци)11Ол1кзем периОдически с пе~1ПОдОм 2Я из 11ск1 11рнмук), ПОлучсииз11 функ11ин фх) удОвле"ГВОрне1 всем 1,:словннм 'ГСОремь1 Лини-,11И111И1ца. ВОВГом»; 1.'РФ з111Й фуик111и1 с1111д1ГГсн к исЙ ра1н1ОмериО из вссЙ прймОЙ. ИО сл1.",11с1ВПГО из ИГГ1рОЙ Гевремы Римана ('(сО)1емз 1~ ) ИОлу 1зем рзпи11мсрнук1 с~ад11~й1с1'1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
