Для тестирований. Всё в одном (1111317)
Текст из файла
~г~1~и+ и) = фгЫи+ фей и йч~а+ 6) = й~а+ йч6" гоф~ + Ь) = гоФ а + го1 Ь рж1~ию) = ирайи+ ирайи райДи) = ~'~и) ргали ифли — ифг~1 и раа.— рай~а,Ь) = ~6",го~а~ + ~а,го~Я + ~Ь„Ф)а+ ~а,~')6 Й~ф~а) = ~фг~1и,а) + и Й1~ а Ййф~,Я~ = ~Ь,го1а) — ~а,гойЬ) гоФ~иа) = ~фгЫи,а.~+ иголка Ча,61 = ад1чЬ вЂ” Ьйу а+ ~Ь,7)а — 1ИЛ)Ь Рассмотрим ряды: ~'"' а„ Щ вЂ” знакопеременный н ~„ДП„1 «П) — знакопостомнный. Если рмд «П) сходится, то ряд «1) тоже сходптсм.
В этом случае говорят, что ряд «1) сходится абсОлю1мио. Если ряд «1) сходится, а ряд «П) — расходится, то говорят, что ряд «1) сходится усмон. С~ мма абсомкилио сходящегося ряда не .Меиме~лсм при лерес~лаиоаке членов, гслоано сходящегося —.Иеимео$см «что Ве~~м~ необычно: с конечны.ии суммамп такого не бмвает), Для исследОВЙННЯ абсолютной сходимости применяются признаки схОдимости знакопостомнных рядов. Для исследования обмчной сходнмостн ряда «1) используктг спепиальные признаки сходнмости для знакоперемеиных рядов, Признак Лейбница. Рассмотрим рмд ~„.,« — 1)" Ь„. Если (Ь„) — моиощоннам последовательность и 1нп Ь„= О, то рмд сходится.
Признак Днрихле. Рассмотрим ряд 2,'„, П„Ь„. Пусп* 1) ~С: 1Х„", а„| < С «гл1, 2) ~Ь„) —.монотонном последовательность н 1пп Ь„= О. Тогда рмд ~„, П„Ь, сходится. Замечание 1.Число С не должно зависеть от Ж. Оно общее длм Всех И. Замечание 2, Признак Лейбнипа непосредственно следует из признака Днрихле, если по- ложить ам = «-т) .
Замечание 3. Признак Дирпхле не стоит использовать длм знакопостомннмх рядов. Для нпх есть более простме признаки. С. е еи т* р д .Б рмдыХ„", „и~:„",Ь„сход пм 1 Ьи = «ап 1 Ьп), т. е, ряд, стоящий В правой части, тоже схОдится, и СГО сумма Вмражаетсм через суммам исходных рядов. Докйжемоценкудля '1Я1ппх1, Поскольку О с '1Я1ппх1 < '1„то 3. — со$2пх !Я1п пх1 > ~з«ппх1 * 1яп пх~ = з1пз пх = 2 Опснка длм 1соя пх~ доказиваетсм аналОГичнО. р р р р Рассмотрим знаконостомннь~й ряд ~~ „т йт„. Пус*ь, для оиределднностиа его члены неотри- цатечьньк ип ~ О (начиная с некоторого ноьщ~а). Призиаи сраииеиии. Рассмотрим даа ряда: ~„, а„(1) и ~„, Ь„(И).
Пусть О ~ а„< Ь„ЧН > ие (т. е. начиная с некоторого номера иц). Ряд (И) назыаается мажораптным для ряда (1)а а ряд (1) называется мииоринтным для ряда «П). 1'огда а) если (П) сходитсм =бр (1) сходится, 6) если (1) расходится ~ (11) расходится. Признак Коши. Пусть а„- О (начиная с некоторого номера), 1.
Пусть бает "„/а„д ткоиечный иди бесконечный предать Тогда а) и ~ 1 =ДР РЯД РИСХОДИТсме а)йЯ 'х: Цд„ЯЧи>ие ьраасходитса, б) ЯЯ ни > ие ы рак расходитса. иак Даламбера. Пусть а > О (начиная с некото 6) — "' > 1. ~и > ио саад ьд Ити —" = 1, то ряды ~:„, а„и уд -еод астр 2. Если ирд- — ири и -р 00т где с и'" Вью порядок л -р сО: 11п$— П- рр хурхск ряд Х,",— а а) СХОДИТСЯ ПРИ й ~ь 1, 6) расходится при а < 1.
~' уь-т Ьм СХОдяТСя ИЛИ раСХОдяТСя ОдНОЯРЕМЕННО. Ф О (т. е. Иоследоаательности й„и — име~от одинако- П"и = с Ф О, зто ен~е занисыаакрт а аиде и„= 0' — ), то д.пах. Признаки сравнения. 1. Пусть |Лх)1 < Г"(х) при всех Достаточно больших положцтельйыя х ()«Гх > х«)). ТоГЛа 3 Р~х) «(х =«р 3 1ДХ)(с(х =~ 3 Ях) йх. А израсяодимости) Дх) «'.(хследуетрасходимость,~ (Дх)(«)(х Й) Е(х) «'(х* Айалогйчно лля несобствеийыя интегралов второго рода.
2. Пусть д(х) > О при всех достаточно больших полвкительйых х й Дх) = О'~,д(х)) прах р+«)о Щх) и д(х) — величины ОдногО порядка при х -р +«)«)), т. е. 3 1(ш — = с Ф О вЂ” конечный предел. Х(х) * ж- +хну я(х) Тогла. Интегралы ) Дх) дх и ) ф(х) д.'х сходятся йлй расходятся олйовременио, Айалогйчйо для йесобственныя интегралов второго рода.
3. ПупхьуЬх)=0'( — „)прах +~. Тогда ( Дх) «',(х сходится при р > 1, расходится при р < 1. 4. ПуахьУ«х) О'( — „) прах а+ О. Тогда )' )р(х) Нх сходится при р < 1, расходится при р > 1. '« Аналогично для Дх) = О* ( —,„,„~ при х -р Ь вЂ” О, Оценка Признак Дйрняле Рассмотрим Йитеграл ~ Дх)я(х) «ах. Пусть 1) функция Дх) имеет ограниченнуи) первообразнук) Г (х) = 1 ~(т) «й, т.
е, 3С: (Г(х)~ < С )«~х > «т; 2) функцйя,д(х) мойотонйа прй всех достаточйо больших поло~кительйыя х й ,д(х) -р О при х -р +«)«). Тогда интеграл ) Дх)у(х) дх сходится. Критерий Коан (необяодй«иое н Достаточное условие сяодймостй йесобстйеййого ййхнгРнхн)О«Ях)Ахььнх>ООА>а:на„ах>А «) 'Уьх)рх«ах. Айалогйчйо лля йесобствейиого интеграла второго рода.
Рассмотрим несобственные интегралы первого рода: Дх) Нх (1) и ~, 1)".(х) ~ йх. (П) Если (И) сходится, то (1) тоже сходится. Тогда Говорят, что (1) сходится абсолютно. Если (1) сходится, а (П) — расходится, то говорят, что (1) сходится условно.
Аналогично для несобственных интегралов втОроГО рода. Для исследования абсолютнОй сходимости используются признаки сравнения. КОгда абсолютной сходимости нет, можно использовать признак Дирнхле, Признак Дирпхле. Рассмотрим интеграл 1* Дх)11(х) Йх. Пусть 1) фуНКПИЯ ДХ) ~Мест ОграНИЧЕННуЮ ПЕРВООбраЗНуЮ Г (Х) = 1 ДГ) О Ге *. Е. ЗС: 1Е(х) ! < С ~х > а; 2) функция,д(х) монотонна при всех достаточно больших положительных х и ,д(х) > О прп х -+ +с»». ТОГда интеграл ~ Дх)ц(х)»зх схОдится. Заисчаоие 1, Здесь число С не должно зависеть От х.
За.исчахшие 2. Для несобственны»х интегралов вто1юго 1юда аналогичного призна~а нет. Ддя доказательства неабсолютной сходимостн таких интеграло~ их надо сводит~ к несобственным интегралам первого рода с помощью замены переменной. За.иечаиас 3. Не стоит использо~а~ь признак Дирихле для интегралове сходящихс~ абсолютно. В зтом случае более удобно использовать признаки сравнения. Критерий Коши (необходимое и достаточное условие сходимоетп несобственного иитеерале».х»»»х) »хаете>»»ЗА >а:Еа„ае >Е»» 'Х»х)ах~ (е.
Анало1'ично для несобственно~о интеграла второго 1юда. Замечание. Критерий Коши чаще всего используется для доказательства расходимости интеграла, т. к. для доказательства сходимости удобнее испол~зо~а~~ призна~и сходимости. ч.р. 1(х) дх = 1ип Дх) дх. +а> +А А х2 , А2 А2 у.р. хдх= 1пп 1 хдх= 1пп — = 1пп — — — =О. А-~+ее» „~ А-+ха 2 А-»+ех» 2 2 ее» -А -А Практмчеекий критерий равномерной екодммостм несобственного интеграла П рода.
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом интегрирований и + 6: а+а Др,о) = Дх,р)»«х, 0<6< Ь вЂ” а, реР. Интеграл Цр) сходится равномерно на множестве Р ~=~ 1пп впр(«'(р,6) ~ = О, ю-ФО+о рер Прйвнак Вейерштраееа. Еслй 1Дж, р)~ < Р(ж) прй р Е Р, х ~ и й ма~корантнмй инте рал Р(ж)»«х скодйтса, то интеграл «(р) = «Дх„р) Йх сжоднтса абсолютйо й равномерйо на мн(~кестве Р. Аналогично признак Вейер»птрасса формулируется дла йесобственйьи интегралов И рода. Признак Дирижле. Рассмотрим интеграл «(р) = )„Яж, р)««(х, р) 0ж. Пусть 1) ВС: ~»»»х, р) Их~ < С ЮА > а, ~р Е Р; 2) функппа,д(х,р) по»»о»поннп по х прй всех достаточно болыпиж положителвныж х (при каждом фиксированном р б Р); 3) ««(ж,р) =Ф О при х -++оо, р Е Р (функция у(х,р) стремится к нулю при х > +се «~~нопероо относительно параметра р Е Р, т.
е. 1пп внр~,~(х, р) ~ = О). Х-~+~~~ ~~»> Тогда интеграл «(р) = ) Дж)д(ж)»«ж сжодптса равномерно йа мноиестве Р. Дла несобственныж интегралов 11 рода признака Дйрйжле нет, Критерий Кошм (равйомерной сжодймостй йесобственного интеграла 1 рода). Интеграл «(р) = «Дх, р) дж сходится равномерно на множестве Р «=~ Юе >ОБА =А~м) >а: Юй, > А Уй, >АЮр б Р ~»д*Лх р)дх~ (г. Айалогичйо крйтерйй Коп»п формулйруетса дла йесобствеййого интеграла 11 рода. Несобственные интегралы Пусть функцйя Дх) определена при х ~ а й ннтегрируема йа любом Отрезке айда 1а, А)т где А > а, Тогда Дх) Их = йп» )' Ях) Йх — »»есобсу»»еенный интеграл ле»»аоГО Рода П А-++ОО П ЕСЛй Су»цсетауст КОНЕЧНЫЙ Прсдслт то ИНТЕГрад Ш»да»»»Спят ййаЧŠ— раСХОдИ»»»СЛ.
Аналогйчйо ОПРеделаетса несобствениь»Й йитетРал пеРвого Рода по ПОЛУПРЯмой 1-о»т а): Дх) Нх = 1пп Дх) йх. Тогда по Определению Дх) Нх = Ях) дх+ Дх) Их. По о»»реда»е»»и»о Считают, что интеграл, стоя»цйй в левой частй, сходится тогда й только тогда, когда сходятся об»а интегралат стоя»цие в правой части. Замечание. Условие 11»п Дх) = О не иилметеи НУС несобственного интеграла Дх) с1х. Например, интеграл Френеля 1 к1пх дх сходится, как мь» докажем на следую»цем семинаре. Пусть функция Дх) определена при х Е 1а,Ь| и интегрируема на любом отрезке вида 1а + а, Ь) ~ 1а, Ь1, но Ях) йе Ограничена в Окрестностй точкй а 1то~ да буде~ говорить, что х = а — особая точка функции Ях)).
Заметимь что неограниченная функция Дх) не интегрируема в обычном смысле (по Риману) на отрезке 1а, Ь). Введйм Ь Ь Дх) Нх = 1пп 1 Дх) Фх — »»есА»бс»»»вен»»мй йнтеграл а»»»А»~~» о Рода П г а+а а+А Еслй сУтцествУСТ конеч»»ьш НРеделт то ййтег1»ал сход»илсл, ййаче — Расходи»»»сл. Например; ~~— Ь Аналогично определяется несобственный интеграл 1 Дх) йх в случае, когда х = Ь— особая точка функции Ях): ) Дх) Ых = 1пп 1 Дх) йх.
Нзприм р: ~' — "". Еслй у функцйй Дх) две особме точкй: х = а й х = Ь, то по определеййю ~' Дх) Ых = ~' Дх) йх+~', Дх) йх, где с Е1а,Ь) — промежуточная точка отрезка 1а, Ь). И» А»»»редсхчеин»о счйтак)т, что интеграл„стоя»ций в левой частйт скодйтся тогда й только тогда, когда сходятся оба интеграла, стоя»цйе в правой частй.
Несобственный йнтеграл второго рода сводите~ к йесобствейному ййтегралу пер~ого рода замейой перемеййои. Например, еслй х = и — особая точ~а фуйкцйй Дх)т то Сделаем замену Признаки сравнении. 1. Пусть 11'1х) 1 'с Р~х) прй всея достаточно больших поло»кйтельймк х (Чх .» ха). Тогда 3 Е~х)йх ~ 3 ~ДХ)фх =э Л Дх)йх. А йз расходимости ) Дх) ах слеДует раскодимость ) ~ДХ) ~ах и ) Р1.Х) ах» Айалогйчно для несобственнь»к интегра~ов второго рода. 2. Пусть,д1Х):> О прй всея достаточно больших положительнмк х й Дх) = 0'~у(х)) при х -у +по Щх) и д»',х) — величины одного порядка при х -у +оп), т.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
