Для тестирований. Всё в одном (1111317), страница 2
Текст из файла (страница 2)
е. 3 11п» вЂ” = с Ф О вЂ” конечнмй предел. Ях) Х-с+Оулу) Тогда интегралы 1 Дх) дх и )',д1Х) Ох сходятся или расходятся одновременно. Аналогйчйо для несобствейнмк йнтеграт»ов второго рода. 3. ПустьЯх) = О'( — ) пуп х +~. Тогда ) ). 1,х) Нх сходится при р .» 1у расходится при 1» ~ 1. 4. Пустьутх) О'~ — „)прпх и+О, 'Тогда 1" Дх) дх сходится прй р ~. "1т раскодйтся прй р ~ 1. Аналогичнодля11Х) = О'1 — 11 при х -у Ь вЂ” О. мь-х)»'1 Оценки 1пх 1нп — =О Ча>О. Х-+О» Х" Тстдпхх»ОБА Атх):Ух»А Ц<с. Так)ке мь» знаем что йпз х~ 1п х = О Уа > О. Тогда Чг > О 36 = 61г): Чх б 10,6) ~ха 1пх~ < е, таким образом, получаем оценки ~Фа > О, чь > 0: 1. Несабсрнненнмй Инна."Рая Х Рода.
Пусть ддя каждого зйачеяйя параметра р йз мйожества Р сходйтся йесобствеййый интеграл 1 рода Х(,р) = «(х,р) йх, р Е Р. Тогда Цр) — несобственный интеграл 1 рода, зависящий от параметра р. О. Интеграл Х(р) сходйтся Равномерно йа множестве Р, еслй Заиечанне, Здесь чйсло А йе должйо завйсеть от р. Равномерная сходимосгь означает, что Х(р) сходится одинаково быстро для всех р Е Р. Непосредствеййо йз определения равномерной сходймостй следует Практический критерий равномерной еходимостк нееобственкого интеграла 1 рода. Рассмотрим интеграл с перемеййь~м ййжйим пределом ййтегрйроваййя А: Х(Р„А) = «(х,р)г1х, А -' а, р Е Р.
Интеграл Цр) сходится равномерно на множестве Р ~=~ 1пп ыр(Х(р,А)1 = О, я Ф+Ор ряр Замечание. Обратите вййманйе йа порядок действйй: йадо сйачала взят~ супремум по р, а затем перейтй к пределу при А р +со, 2. Несобсрнненный ннрнеграл ХХ Рода. Пусть для каждо~о зйачеййя параметра р йз мйоже- ства Р сходйтся несобственный интеграл В рода Кр) = «(х,р)дх, р е Р, где х = а — единственная особая точка функции «(х, р) йа отрезке (а; Ь1. Тогда Х(р)— йесобственнь$Й интеграл П рода, заВисяший от параметра р.
О. Интеграл Х(р) сходится Равноиерюо на множестве Р, если Практический критерий равномерной еходимоети несобственного интеграла П рода. Рассмотрим ййтеграл с переменным верхййм пределом ййтегрйровайня а + 6: а+8 Др,б) = Дх,р)Их, О<6< Ь вЂ” а, РЕР. Интеграл Х(р) сходится равномерно на множестве Р ~=> йш яыр1Х(р, о)1 = О. 8-+о+врер Заиечанне.
Обратите виймаййе йа порядок действйй; йадо сйачала ~ать супремум по р, а затем перейти к пределу при 6 -р О + О. Признак Вейерштрасеа. Если 1Дх, р) 1 < Р(х) при р Е Р, х -"> а и мажорайтный интеграл Р(',х) Йх сходйтся, то интеграл Ц~) = Х «(х, р) 0х сходйтся абсолютйо й равиомерйо йа мйожестве Р. Замечание. Здесь фуйкцйя Р(х) йе должна зависеть от р. Аналогично прйзйак Вейернпрасса формулируется для несобственных интегралов П рода. Признак Дкрихле.
Рассмотрим интеграл Х(р) = ~„«~х, р)д(х, р) дх. Пусть 11 р~: ~~ "н> р)~>~ « ~ рл > а, рр а р; 2) функция,д(х,р) .нанонюнна по х прй всех доспггочно большйх положительных х (при каждом фиксированном р Е Р); 3),д(х, р) . О при х — +со, р Е Р (функция д(х,р) стремится к нулю при х -+ +се Рнннаиерно отйосйтельйо параметра р Е Р, т. е. 1пп япр(,д(х, р) ~ = О). х +"Ряр Тогда интеграл Х(р) = ) «(х)у~х) Йх сходится равномерно на множестве Р, Замечание, Здесь число С не должно зависеть ни от А, нн от р. В третьем условйй сначала йадо взять супремум по всем р Е Р, а затем перейтй к пределу при х -р +ОР. Для йесобствеййых интегралов 11 рода признака Дирйхле йет.
Зайечанне. Не стоит йспользовать прйзйак Дйрйхле для абсолютйо сходязцйхся интегралов. В зтом случае удобйее йспользовать прйзйак Вейерштрасса. Критерий Коши (равномерной сходимости несобственного интеграла 1 рода). Интеграл Х(р) = Х «(х, р) Их сходится равномерно на множестве Р <=~ рг > р рл = ~~~) > а: рр, > А рр, > А, рр а р ~~„'*Н> р) ~х~ < я.
Заиечанне. Здесь чйсло А йе должйо завйсеть от р. Как правилор критерий Кошй йспользуется, когда йадо доказат~ отсутствйе равномерной СХОДИ МОСТИ. Аналогично критерий Кошй формулируется для йесобствеййого интеграла П рода — ла Ос о ского. Степенным рядом переменной Г называетея функциональный ряд вида З.(Г) = а„(à — Г,)" =а,+а,(à — Г,)+а,(Г-Г,)'+ *., Где а~ — козффиииенты степенноГО ряда — не зависят От Г (некоторые числа), Йц — тоже НЕКОТОРОЕ ЧИСЛО. Сделав замейУ Г вЂ” тв —— х, степенйой РЯд можно ПРйвестй к вйдУ: а.„х" = а, + а,х + а,х' * *" (~) Здесь козффйийеиты а„йе завйсят От х, Заметйм, что прй х = О ряд ( ) сходится: ао ° Оц + ат ° О' + а2 ° Оз + -.
= ао + О + О + " = ав. При Этом будем счйтать (для удобства)„что О = 1 (потому что прй х Ф О первый члей ряда равен аа, и желательно, чтобы он был равен ао и при х = О). Т. (Об Области екодймоети стейеййОГО рида).:-И > О (до- О пускаетсЯ Ю = +сО) — Радиус сходмиосим степеннОГО ря-й да( ): 1) при ~х~ < Н ряд (~) сходится абсолютно, 2) при 14 > В ряд (*) расходится, 3) при !х1 = Й ряд (*) может как сходиться, так и расходиться, 4) на лй~бом отрезке ( — Г, Г1, Где О ~ Г ~ Й, ряд ( ) сходится равномерно. Радиус скодимостй ншодится по формуле: — = )пп ",ДГ~ ~ (в общем случае) — формула Кошм-Адамара, я д-+ао или и = ЫЙ$ (в том случае, коГда зтОТ предел сущесР66)мш или равен +00).
Ряд (*) Януарии Областй ~х~ ~» Й ~ожно почлейно интеГрировать й дифференпировать скОлькО уГодно раз, при этОм радиус скодимости не изменяется. 1. (Абели). Если степенной ряд сходится при х = В (х = — Н), то его сумма непрерывна в точке х = Я слева(вточкех = -й справа». Признак Дйрйжле Рассм(щадим рад ~~~ ~ о~ Ьа.
Пусть 1) 3С: Д «~ а.„~ < С ЮИ, 2) (Ь„) †.чойо~ао~иоа носледоаа~слвносп* н 1нйЬ„ = О, ТоГда ряд,~" и ~ Й.аЬа сходится. С~айдар~йые ойеййй ддй исследований рйдой айда ~„,„~ Ьа а1н нх„~.,„~ Ь„совках„~де х — Йа амсъ 1 яп лх ! "х!' 1 < — „хФ ай; яну Х+ со$2их '1сояих~ = Прамсйчесийй йрйхерйй равномерной еаодимоехй ф~йййиойаданой йосдедййахеда- йостй.
Д~х) Дх) наХ <=~ 1ппц, = О,гдек„= кар!~„(х) -Дх)!. Необходимее условие равномерной сходимостй. Если рад ~„„, а„1х) сходйтса равно- мерно на Х, то а„~х) О на Ж. Рассмотрим последовательность функцйй: Я,(х)), где х»= Х. Прн каждом х»= Х зто чис- лоВая последоВательность.
Она может иметь предел-, который будет зависеть от х. О. Функциональная последовательность Я,(х)1 сходится по»ночечно на множестве Х к фуйкцйй 1 (х), еслй ойа сходйтся к йей в ~аждоЙ ~о~ке зтого мйожес*ва: 1пп 1'„(х) =Дх) Чх ЕХ, т. е. Чх Е Х, Че > О 11»1 = И(г, х): »Фп > 1»1 (Ях) — Д(х) ~ < к. О. Функциойальная последовательйос*ь (Ях)1 сходй*ся равноиерно на мйожестве Х к функции Дх) Ц„(х) Дх) на Х), если Че > 0 1Ж = И(я): »»»»и > И, 'Фх Е Х Щх) — ~„(х)! < а, Т. Если все функции Д„(х) непрерывны (по х) на Х и Д,(х) Дх) на Х, то и функция Ях) непрерывна на Х. Иепосредсгвеййо йз определения равйомерной сходймостй следует Практический критерий равномерной еходммоетм функциональной последователь- Ях) Дх) на Х <=~ 11пз я„= О, где я„= яцр1Д(х) — Дх) 1.
хех Замечание. Обратите Вйймаййе йа порядо~ действйй: йадо сйачала ~з~т~ супремум по х,, а затем перейтн к пределу при и -+ ~х». О. Функциональная последовательность Ц,(х)) сходится в среонем к функции Ях) на от- резке 1а, Ь1, если 1ип ~, 1,г»»(х) — Дх))2йх = О. Последовагельность может сходиться в среднем на 1а, Ь1, но не сходнться йи в одной точке отрезка (см. пример у Ильина, Позняка).
Также последовательность может сходиться поточечно на 1а, Ь1, но не сходиться в среднем на 1а, Ь1 (см. Следуй»щий пример). Рассмотрим ряд: ~„, а„(х), где х б Х вЂ” параметр. Прй каждом х Е Х зто числовой ряд. О. Функцйойальйый ряд ~.'„, а~(х) сходился раоноиерно йа множестве Х, еслй последовательйость его частйчйых сумм сходится равйомерйо йа множестве Х, т. е, Ян(х) ~+ 5'(х) на Х. Необходимое условие равномерной сходимостм. Если ряд ~:„, а (х) сходйтся равномерно на Х„то а„('х) О на Х. ПРизнак ВейеРштРвееа. Если 1а (х)~ "= ся Чх Е Х и мажоРантйый числовой РЯд 2,„» с„ сходится, то функциональный ряд ~„, а (х) сходится абсолк»тно и равномерно на Х.
Замечание: числа с„не должны зависеть от х, т. е. 2'„... с„— обязательно числовой ряд, а не функциональный. Зайечоние: пос~о~ь~у прйзйак Вейерштрасса дает абсо»потйук» сходймость, йе получй*ся с~о применить для условйо сходяшегося ряда. Для условйо сход»пцйхся рядов есть прйзйак Дйрнхле (см. далее). Признак Дирихле. Рассмотрим ряд К„, а„(х)Ь„(х). Пусть 1) ЗС:1Х„,а„(х)1 <СЧМ,К ~Х, 2) (Ь„(х)) — .ноно»ноннин последовательйосп (по и) прй ~а~до~ фиксированном х Е Х и Ь„(х) . О на Х. Ъм да ряд ~„,, а„(х) Ь„(х) сходится равномерно на Х.
За,иечанш. 1: чйсло С йе должйо завйсеть йй ог л1, йй от х. Замечание 2: не стоит применять признак Дирнхле для абсолк»тйо сходящегося ряда. В зтом случае более удобей прйзйак Вейерцгграсса. Дополнмтельный материал О. Функцйойальйая последовательйость (~„(х)) ронноиерно оараничена йа мйожестве Х, ЗС: ~Д,(х) ~ '= С ~гп, »Фх Е Х.
Зайечание: чйсло С йе должйо завйсеть нй от и» йй от х. Например: Д,(х) = х" равномерно ограничена на 10, Ц. 1х" ~ < 1 Чп, Юх Е 10, Ц; не явля- ется равномерно ограниченной на 11, 21. Признак Абели. Рассмотрим ряд ~„, а„(х) Ь„(х). Пусть 1) ряд Х„, а (х) сходится равномерно йа Х, 2) (Ь„(х)) — .»ионоиюнии последовательность (по и) прн каждом фиксированном х»= Х и последовательность (Ь„(х)) равномерно ограничена на Х. Тогда ряд ~„, а„(х) Ь„(х) сходится равномерно на Х. О. Функциональная последовательносгь (1»,(х)) раннос~пиынно ненрерыьна на мно- жестве Х, еслй ~»»~ > О М = 6® > О." »гх', х" »= Х, 1х' — х" 1 < 6 = (~' (х') — ~„'(х") ! < я ~п.
Например: Д,(х) = — равностепенно непрерывна на 10, Ц. Если взять 6 = е, то П 1х» х»»!»х» х»»1 6 8 К„(х') — ~„(х") ~ = ~- — — ~ = 1 — 1 < — = — < е ~п. В и Я и ЯД(х) = пх не является равностепенно непрерывной на 10, Ц: Ц,(х') — Д,(х")~= 1п(х' — х")~, при х'Фх"' всегда можно подобрап и, такое что 1п(х' — х")~ > я, Т. (Арцела). Если функциональная последовательность Я,(х)) равномерно ограничена и равностепенно непрерывна йа о~рез~е '1а, Ь1 „то йз нее можйо выделйть подпоследователь- нос~~, равномерйо сход»ццук»ся на отрезке '1а, Ь|, Замечание: теорема также справедлива„если заменить отрезок 1а, Ь1 на произвольное за- мкнутое о$ раниченное множество.
.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
