Вордовские лекции (1111237), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Уравнения, не разрешенные относительно производной. Общее уравнение первого порядка можно пытаться решать разными методами.

Во-первых, можно попытаться все-таки его решить и свести исходное уравнение к одному или нескольким уравнениям вида .

Например, . Уравнение, после преобразования к виду даст равносильную ему совокупность , откуда .

Другой способ – введение параметра.

Например, уравнение можно решить так: введем параметр . Тогда , откуда . Но и мы приходим к уравнению или . При из этого уравнения получаем . Тогда и мы получаем параметрические уравнения: . В этом случае параметр удается исключить: и - явное решение. В случае из получаем .

Указанный прием применим к уравнениям Лагранжа и Клеро.

Уравнение Лагранжа имеет вид , где - дифференцируемые функции. Полагая , получаем . Дифференцируя, получаем: или , откуда . Предполагая, что , получаем уравнение , линейное относительно . Решаем его указанным выше методом и получаем выражение для через и произвольную постоянную . Тогда .

Уравнение Клеро – это частный случай уравнения Лагранжа: . Вводя параметр , получаем (т.е. , как раз оставшийся случай), или . Тогда, если , то и - это общее решение уравнения Клеро. Если же , то . Тогда .

13. Дифференциальное уравнение n-ного порядка. Задача Коши для уравнения . Понижение порядка дифференциального уравнения

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна в области . Пусть непрерывны в . Тогда задача Коши, состоящая в нахождении решения уравнения с начальными условиями (где точки принадлежат области ) имеет, притом единственное, непродолжаемое (максимальное) решение.

Теорема сформулирована без доказательства.

Методы понижения порядка уравнения. Существуют разные методы снижения порядка (и, тем самым, некоторого упрощения) уравнения. Мы изложим здесь самые простые.

Если уравнение имеет вид (т.е. не содержит , то введение новой переменной уменьшит порядок уравнения, которое примет вид . Если удастся решить это уравнение, то затем можно получить последовательным интегрированием раз.

Если уравнение не содержит , т.е. имеет вид , то его порядок можно понизить, взяв за независимую переменную и считая производную функцией от . Поясним это на примере.

Пример. Решить уравнение . Пусть . Тогда , откуда ; (пусть ); ; ; . Таким образом, . Далее находим: ; .

14. Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1), где - функции, непрерывные на некотором интервале .

Это уравнение называется линейным, поскольку все величины входят в него в первой степени, т.е. линейным образом. Если , то это уравнение называется линейным однородным (2).

Если же , то (1) – линейное неоднородное уравнение.

Удобно записывать уравнения (1) и (2) в операторной форме: и , соответственно, где величину можно рассматривать как результат действия линейного дифференциального оператора на функцию .

Теорема 1. Для любого и любых задача Коши имеет единственное решение , определенное на .

Доказательство. Применим общую теорему существования и единственности. Уравнение перепишем в виде . Соответствующая функция имеет вид . Ее частные производные по равны, соответственно . Поскольку , по условию, непрерывны на , все условия общей теоремы выполнены. Применяя ее, получаем требуемое.

Свойства линейных однородных дифференциальных уравнений.

Лемма 1. Для любых , имеющиъ производные до порядка включительно, и любых постоянных .

Замечание 1. Иными словами, - линейный оператор.

Замечание 2. Утверждение леммы равносильно тому, что и .

Доказательство. Для любого в силу известных свойств производной (при под понимается сама функция ).

Следовательно, .

Следствие. Если имеют производные до -го порядка включительно, а - постоянные, то .

Доказательство. Воспользуемся индукцием по . При по лемме 1 (при ). Если утверждение доказано при , то, по лемме 1, (по индуктивному предположению) .

Теорема 2. Множество решений линейного однородного дифференциального уравнения (2) представляет собой векторное пространство.

Доказательство. Следует доказать, что если - решения уравнения, то - тоже решение, и если - решение, а - постоянная, то - тоже решение, т.е. .

По замечанию 2 к лемме 1, .

15. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского

Перейдем к более глубокому изучению свойств векторного пространства решений уравнения (2). Мы установим ниже, что оно имеет размерность .

Определение. Пусть - функции, имеющие все производные до порядка включительно. Определителем Вронского функций называется величина (3).

Определение. Пусть определены ны интервале . Мы назовем их линейно зависимыми, если существуют постоянные , не все равные 0, такие, что для всех (4).

Функции, которые не являются линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Линейная независимость означает, что из равенства (4) следует, что .

Теорема 5. Если - линейно зависимы и имеют производные до порядка включительно, то .

Доказательство. По условию, существуют не все равные 0 числа такие, что на выполняется тождество (5). Взяв производную от обеих частей, получим: (6). Аналогично, , (7) (8).

Рассмотрим произвольное . Равенства (5) – (8) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных . Поскольку эта система имеет нетривиальное решение (это означает, что не все равны 0), ее определитель должен быть равен 0, т.е. .

Обратная теорема в общем случае неверна. Рассмотрим, например, функции , для которых и их определитель Вронского тождественно равен 0.

Однако если , то при любом получаем , откуда , а при любом получаем , откуда . Поэтому функции и линейно независимы.

Тем не менее, верна следующая важная теорема.

Теорема 6. Если являются решением уравнения (2) и в некоторой точке , то линейно зависимы на (и, следовательно, ).

Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных : (9). Ее определитель равен . По условию, . Значит, система (9) имеет нетривиальное решение . Рассмотрим функцию . По теореме 1, является решением уравнения (2). Равенства (9) можно рассматривать как условия задачи Коши, , которая, по теореме 1, имеет единственное решение. Вместе с тем, функция также удовлетворяет уравнению (2) и условиям (10). Ввиду единственности, . Таким образом, существуют не все равные 0 постоянные такие, что . Поэтому - линейно зависимы на . Следовательно, по теореме 5, на .

16. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

Определение. Любые линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения -ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Из предыдущих теорем сразу следует еще одна важная теорема.

Теорема 7. Решения уравнения (2) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского отличен от 0 хотя бы в одной точке .

Доказательство. Равносильная переформулировка утверждения теоремы – решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда на . Но это утверждение сразу следует из теорем 5 и 6.

Теорема 8. Для любого линейного однородного дифференциального уравнения (2) существует фундаментальная система его решений.

Доказательство. Построим такую фундаментальную систему решений. Для этого возьмем произвольную точку и поставим различных задач Коши: .

По теореме 1 о существовании и единственности у каждой из этих задач имеется решение, и мы обозначим - решение 1-й задачи, - решение 2-й задачи, …, - решение -ной задачи. Мы получили - решения уравнения (2). Найдем для этих функций: . Следовательно, по теореме 7, функции образуют искомую фундаментальную систему решений уравнения (2).

Теорема 9. Пусть - фундаментальная система решений уравнения (2). Тогда для любого решения этого уравнения существуют постоянные такие, что .

Доказательство. Возьмем произвольную точку и рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных : (11). Определитель этой системы не равен 0, т.к. - фундаментальная система решений. Поэтому у нее существует (и притом единственное) решение . Рассмотрим теперь функцию . По теореме 2 она является решением уравнения (2). Ввиду равенств (11) значения этой функции и ее производных до порядка включительно в точке совпадают со значениями и ее последовательных производных в точке . По теореме 1 о единственности решения задачи Коши , .

Замечание. Теоремы 8 и 9 означают, что размерность векторного пространства решений уравнения (2) равна , а любая фундаментальная система решений представляет собой базис этого пространства.

17. Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции

Теорема 3. Пусть - решение уравнения (1). Тогда любое другое решение этого уравнения имеет вид , где - решение уравнения (2), т.е. .

Доказательство. Пусть . Тогда, по лемме 1 (Билет 14), . Таким образом, есть некоторое решение однородного уравнения (2).

Обратно, если и , то и, следовательно, удовлетворяет уравнению (1).

Характеристики

Список файлов лекций