Вордовские лекции (1111237), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Теорема 3 доказана.

Теорема 4. (Принцип суперпозиции решений). Пусть являются решениями уравнений . Тогда функция удовлетворяет уравнению .

Доказательство. По следствию леммы 1, .

Теорема 4 доказана.

Замечание. Эта теорема служит для нахождения решения уравнения в случае, когда функцию удается представить в виде , где - такие функции, что нам известны решения уравнений .

18. Метод вариации постоянных

Вернемся к неоднородному уравнению (1). Предположим, что мы можем найти фундаментальную систему решений уравнения (2). Тогда, по теореме 9 (Билет 16), любое решение этого уравнения имеет вид: (12). Предположим также, что нам удалось найти некоторое решение уравнения (1). По теореме 3, любое решение этого уравнения имеет вид: , согласно (12). Итак, для нахождения всех решений уравнения (1) требуется найти какое-то одно его решение . Для этого можно использовать метод вариации постоянных, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде (13), где - фундаментальная система решений уравнения (2). Отметим, что (13) напоминает (12), но имеет существенное отличие от этого равенства состоящее в том, что в (12) все - постоянные, а в (13) это – неизвестные функции от . Потребуем, чтобы кроме равенства (13) выполнялись такие равенства: (14). Из (13) и (14) следует, что ; и т.д., и, наконец, . Поэтому подстановка в левую часть уравнения (1) дает , т.е. обращает уравнение в верное равенство. Поэтому , определяемое равенством (13) и системой условий (14) является решением уравнения (1). По теореме 1 это решение – единственное.

Для того, чтобы отыскать следует воспользоваться системой (14), рассматривая ее как систему линейных уравнений относительно неизвестных с определителем . Решая систему, находим а затем, интегрированием, находим .

19. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение

Для уравнений (1), у которых (2), где - постоянные величины, существует способ, с помощью которого задачу нахождения фундаментальной системы решений можно свести к задаче нахождения корней некоторого вспомогательного алгебраического уравнения.

Для этого будем искать решения уравнения в виде . При этом (3). Подставим полученные величины в уравнение (1): , или . Поскольку при всех , из этого уравнения следует, что (4).

Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тогда, когда удовлетворяет уравнению (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением уравнения (1).

Далее мы установим вид фундаментальной системы решений уравнения (1) в зависимости от свойств корней уравнения (4).

Случай 1. Пусть все корни уравнения (4) действительные и различные. Обозначим их и рассмотрим функции , являющиеся решениями уравнения (1) по доказанному выше. Докажем линейную независимость. Это будет означать, что - фундаментальная система решений (1). Определитель Вронского этой системы функций равен, с учетом (2) или, после вынесения из столбцов множителей . Определитель представляет собой известный определитель Вандермонда. Он равен . Поэтому если все числа попарно различны, этот определитель не равен 0. Следовательно, как доказано выше (теорема 7 предыдущего параграфа), функции линейно независимы и составляют искомую фундаментальную систему решений.

2 случай. Все корни - различные, но среди них есть комплексные числа. Формально - это снова фундаментальная система решений уравнения, т.к. эти функции линейно независимы (их определитель Вронского, как и в случае 1, отличен от 0). Однако мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами и нам было бы желательно построить фундаментальную систему решений, состоящую из действительных функций. Для этого мы сначала установим следующую важную лемму.

Лемма. Пусть - линейное однородное дифференциальное уравнение (1) такое, что все постоянные - действительные числа. Пусть комплексная функция удовлетворяет этому уравнению. Тогда ему удовлетворяют и функции .

Доказательство. Равенство означает: , откуда , или . Комплексная величина равна 0 тогда и только тогда, когда ее действительная часть и мнимая часть равны 0, откуда , т.е. - решения уравнения (1), что и требовалость доказать.

Пусть теперь - любой комплексный корень уравнения (4). Поскольку (4) имеет действительные коэффициенты, число также является его корнем. Значит, - тоже решение уравнения (1).

Далее, . По лемме, также являются решениями уравнения (1). Легко видеть, , т.е. являются линейными комбинациями . Разумеется, также можно линейно выразить через . Поэтому линейная независимость решений с остальными решениями уравнения (1) равносильна линейной независимости с остальными решениями.

Подведем итоги. В случае, когда все - различные, причем - действительные, а - пара комплексно сопряженных чисел ( ), причем , то фундаментальная система решений уравнения (1) имеет вид: .

Случай 3. Корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные. Напомним, что число называется корнем многочлена кратности , если , где - многочлен, причем .

Пусть корни имеют, соответственно, кратности . Тогда можно доказать (но мы оставим это без доказательства), что функции составляют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Пример. Приведем пример, подтверждающий это утверждение. Уравнению соответствует характеристическое уравнение , . Оно имеет корень с кратностью 2. Рассмотрим функции . и подставляя в исходное уравнение, получаем , т.е. верное равенство. Далее, и подстановка функции в уравнение дает верное равенство: . Итак, - действительно решения уравнения . Эти функции линейно независимы, т.к. из равенства при следует . Значит, . Тогда при .

В случае 4, когда действительные корни уравнения (4) имеют кратности , а комплексные корни имеют кратности можно доказать, что функции образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Осталось напомнить, что согласно теореме 9 предыдущего параграфа, произвольное решение уравнения (1) имеет вид: , где в качестве можно в каждом из рассмотренных случаев выбрать построенные элементы фундаментальной системы решений.

20. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения (1) достаточно знать фундаментальную систему решений однородного уравнения (2) и найти хотя бы одно решение неоднородного уравнения. Тогда любое решение неоднородного уравнения имеет вид: , где - произвольные постоянные.

В случае уравнения с постоянными коэффициентами мы указали способы нахождения его фундаментальной системы решений. Используя метод вариации постоянных, можно теперь найти решение и неоднородного уравнения. Однако есть важные частные случаи, когда решение неоднородного уравнения можно отыскать значительно проще.

Пусть (3), где - многочлены, - действительные числа. Согласно принципу суперпозиции, достаточно уметь решать уравнение вида (4). Тогда, решив каждое из уравнений и просуммировав полученные решения, мы получим решение исходного уравнения (3).

Решения уравнения (4) имеют различный вид в зависимости от того, является или нет число корнем характеристического уравнения для однородного уравнения (2).

В первом случае не является корнем характеристического уравнения. Тогда решение уравнения (4) можно искать в виде , где - многочлен той же степени, что и многочлен .

Во втором случае, если является корнем характеристического уравнения (2) кратности , решение уравнения (4) следует искать в виде , где - многочлен той же степени, что и .

Эти два случая можно объединить в один, если считать, что , не являющееся корнем характеристического уравнения, имеет нулевую кратность. Тогда решение уравнения (4) следует искать в виде , , где - кратность в характеристическом уравнении.

Если в правую часть уравнения (1) входят слагаемые вида (5), где - многочлены, то можно искать решение уравнений (6) в виде , где - кратность корня в характеристическом многочлене однородного уравнения ( , если - не корень характеристического уравнения), а степень каждого из многочленов равна наивысшей из степеней многочленов .

Когда слагаемых вида (5) несколько, то мы решаем соответствующие им уравнения (6) и применяем затем принцип суперпозиции.

Рассмотрим важный пример.

Характеристики

Список файлов лекций