Бутузов. Лекции по математическому анализу. (1111137)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

§4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числовогоряда.Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность a1 , a2 , . . . , an , . . . и образуем формальное выражениеa1 + a2 + . .

. + an + . . . =∞∑ak .k=1Назовем это выражение числовым рядом, а числа ak —членами ряда.Суммаn∑Sn =akk=1называется частичной суммой (n-ой частичной суммой) ряда.Определение: числовой ряд∞∑akk=1называется сходящимся, если сходится последовательность {Sn } его частичных сумм. При этом числоS = lim Sn =n→∞∞∑akk=1называется суммой ряда. Если же последовательность частичных суммряда расходится, то такой ряд называется расходящимся.Примеры:1) ряд1 + q + q2 + q3 + .

. . + qn + . . . ,где |q| < 1, сходится:Sn =1 − qn1→=S1−q1−qпри n → ∞;2) ряд1 + 1 + 1 + ... + 1 + ...расходится, посколькуSn = n,lim Sn = +∞;n→∞1083) т.н. гармонический ряд∞∑1k=1k=1+1 11+ + ... + + ...2 3nрасходится:11+ +2(1 1+3 4()+1 1 1 1+ + +5 6 7 8()+11+ ... +916)+ ....Сумма дробей в каждой такой скобке больше 1/2, откуда вытекает, что{Sn } —бесконечно-большая последовательность, т.е.lim Sn = +∞n→∞и, значит, ряд расходится.Теорема 5 (критерий Коши сходимости числового ряда).Для того, чтобы ряд∞∑akk=1сходился, необходимо и достаточно, чтобы ∀ε > 0 ∃N , ∀n > N, ∀p ∈ N: n+p ∑ak < ε.k=n+1Доказательство:Сходимость числового ряда —это сходимость последовательности {Sn }его частичных сумм, а для сходимости последовательности {Sn }, какбыло доказано в теореме 4, необходимо и достаточно, чтобы она былафундаментальной, т.е.

∀ε > 0 ∃N , ∀n > N, ∀p ∈ N: |Sn+p − Sn | < ε, или ∑ n+pak < ε,k=n+1что и доказывает теорему.Следствие 1 (необходимое условие сходимости ряда): если ряд∞∑akk=1сходится, то an → 0 при n → ∞.109Доказательство:Поскольку ряд∞∑akk=1сходится, то выполнено условие n+p ∑ < ε.akk=n+1Возьмем p = 1: |an+1 | < ε ∀n > N . Это и означает, что an → 0 приn → ∞.Отметим, что данное условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости (пример —гармонический ряд, который расходится, хотя an = 1/n → 0 при n → ∞).Следствие 2: если ряд∞∑akk=1сходится, тоrn =∞∑ak → 0 при n → ∞.k=n+1Здесь rn —это так называемый остаток ряда.Доказательство:Если∞∑ak = S,k=1то S = Sn + rn , а поскольку Sn → S при n → ∞, то rn → 0 при n → ∞.Теорема 6.

Если ряды∞∑akиk=1∞∑bkk=1сходятся и их суммы равны соответственно S A и S B , то для любых чиселα и β ряд∞∑(αak + βbk )k=1сходится и его сумма S выражается формулой S = αS A + βS B .110Доказательство:Для любого n имеем:n∑(αak + βbk ) = αk=1n∑ak + βk=1n∑bk .k=1Первое слагаемое стремится к αS A , а второе —к βS B при n → ∞. Такимобразом, предельный переход при n → ∞ дает S = αS A + βS B , что итребовалось доказать.§5. Ряды с положительными членами.Если все ak ≥ 0, то ряд∞∑akk=1называется рядом с положительными членами. Члены такого ряда часто обозначают pk :∞∑pk (pk ≥ 0).k=1Последовательность {Sn } частичных сумм в таком случае будет, очевидно, неубывающей и поэтому для сходимости ряда с положительнымичленами необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной.Признак сравнения.Теорема 7.

Пусть даны два ряда с положительными членами∞∑pk∞∑иk=1qkk=1(обозначим их как ряд P и ряд Q соответственно), и пусть ∀k: pk ≤ qk .Тогда: 1) из сходимости ряда Q следует сходимость ряда P ; 2) израсходимости ряда P следует расходимость ряда Q.Доказательство:Утверждение теоремы следует из неравенстваSnP=n∑k=1pk ≤n∑k=1111qk = SnQ .Пример: рассмотрим т.н. обобщенный гармонический ряд∞∑1kαk=1(α < 1).Из сравнения с гармоническим рядом следует, что обобщенный гармонический ряд при α < 1 расходится.Замечания:1) теорема 7 остается в силе, если неравенство pk ≤ qk выполнено,начиная не с k = 1, а с некоторого k = k0 .2) теорема 7 остается в силе, если вместо неравенства pk ≤ qk выполнено неравенство pk ≤ c · qk , где c > 0 —некоторое число.Задания на дом:1) Доказать, что если существуетpk= a > 0,k→∞ qklimто ряды P и Q сходятся или расходятся одновременно.2) Пустьpklim= 0.k→∞ qkСформулировать и доказать утверждение о связи между сходимостьюили расходимостью рядов P и Q.Признаки Даламбера и Коши.Теорема 8 (признак Даламбера).

Если()pk+1pk+1∀k :≤q<1≥1 ,pkpkто ряд∞∑pkk=1сходится (расходится).Доказательство:Воспользуемся признаком сравнения (теорема 7). Из цепочки неравенств pk+1 ≤ q · pk ≤ q · q · pk−1 ≤ . . . ≤ q k p1 и сходимости ряда∞∑q k p1k=1112заключаем, что ряд∞∑pkk=1сходится.Еслиpk+1≥ 1,pkто pk+1 ≥ pk ≥ . . . ≥ p1 > 0 и тем самым не выполнено необходимоеусловие сходимости ряда. Теорема 8 доказана.Следствие (признак Даламбера в предельной форме): если существуетpk+1lim= q < 1 (> 1),k→∞ pkто ряд∞∑pkk=1сходится (расходится).

Доказательство провести самостоятельно.Замечание 1: условиеpk+1≤q<1pkв теореме 8 нельзя заменить условиемpk+1< 1,pkкоторое выполняется, например, для рассмотренного выше расходящегося гармонического ряда.Замечание 2: признак Даламбера в предельной форме не позволяетсудить о сходимости и расходимости рядов в случае, когдаpk+1= 1.k→∞ pklimВ качестве примера приведем ряды∞∑1k=1kи∞∑1,2kk=1первый из которых расходится, а второй —сходится (это будет доказанопозднее).113Теорема 9 (признак Коши). Если ∀k :то ряд∞∑pk√√k pkk ≤ q < 1 ( pk ≥ 1),k=1сходится (расходится).Доказательство:Воспользуемся теоремой 7.

Из неравенства pk ≤ q k и сходимости ряда∞∑qkk=1вытекает, что ряд∞∑pkk=1также сходится.√Если k pk ≥ 1, то pk ≥ 1 и тем самым не выполнено необходимоеусловие сходимости ряда. Теорема 9 доказана.Следствие (признак Коши в предельной форме): если существуетlimk→∞√kpk = q < 1 (> 1),то ряд∞∑pkk=1сходится (расходится). Доказательство провести самостоятельно.Замечание 1: условие√kpk ≤ q < 1в теореме 9 нельзя заменить условием√kpk < 1.Пример: гармонический ряд∞∑1k=1Замечание 2: еслиlimk→∞√kk.pk = 1,114то ряд может сходиться, а может и расходиться.

Примеры:∞∑1k=1k∞∑1.2kk=1иПризнак Коши имеет более широкую область применимости. Нетрудно доказать, что еслиpk+1≤q<1pk(т.е. "работает"признак Даламбера), то, начиная с некоторого номера√kpk ≤ q1 < 1(т.е. "работает"и признак Коши). Обратное не верно. Пример:∞∑(−1)k + 2k=12k115.Лекция 15Числовые последовательностии ряды (продолжение).Интегральный признак Коши-Маклорена.Теорема 10. Пусть ряд∞∑pkk=1является рядом с положительными членами и пусть существует функцияf (x), определенная при x ≥ 1 и удовлетворяющая условиям:1) f (x) ≥ 0 при x ≥ 1;2) f (x) не возрастает при x ≥ 1;3) ∀k: f (k) = pk .Тогда ряд∞∑pkk=1сходится тогда и только тогда, когда существует∫ nlim an , где an =f (x)dx.n→∞1Доказательство:Очевидно, что∫kpk ≤f (x)dx ≤ pk−1 .k−1Просуммируем это неравенство по k от 2 до n:∫ 2∫ 3p2 + p3 + .

. . + pn ≤f (x)dx +f (x)dx + . . . +∫12nf (x)dx ≤ p1 + p2 + . . . + pn−1 ,+n−1или∫Sn − p1 ≤ an ≤ Sn−1 ,где an =f (x)dx и Sn =1116nn∑k=1pk .Так как f (x) ≥ 0, то {an } —неубывающая последовательность. Дляее сходимости, т.е. для существования пределаlim an ,n→∞необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена. Для сходимостиряда∞∑pkk=1необходимо и достаточно, чтобы последовательность {Sn } его частичныхсумм была ограничена. Из полученного выше неравенстваSn − p1 ≤ an ≤ Sn−1следует, что {Sn } ограничена тогда и только тогда, когда ограничена{an }.

Следовательно, {Sn } сходится (а значит, сходится и наш ряд) тогдаи только тогда, когда существуетlim an .n→∞Теорема 10 полностью доказана.Пример: рассмотрим при α > 1 ряд∞∑1.kαk=1Введем функцию1.xαОна будет положительной и убывающей при x ≥ 1, причем f (k) = 1/k α .Посколькуn∫ ndxx−α+1 n−α+111an ===−→при n → ∞,α1−α 11−α1−αα−11 xf (x) =то, согласно теореме 10, ряд∞∑1kαk=1сходится (α > 1).Еще один полезный признак сходимости для рядов с положительными членами —признак Гаусса —работает на сравнении рядов с обобщенным гармоническим рядом. Сформулируем его.117Пусть члены ряда∞∑pkk=1удовлетворяют при k → ∞ асимптотическому соотношению( )βpk1=α+ +o.pk+1kkТогда:1) если α > 1 (α < 1), то ряд сходится (расходится);2) если α = 1 и β > 1 (β < 1), то ряд сходится (расходится);3) если α = 1 и β = 1, то ряд может как сходиться, так и расходиться.§6.

Знакопеременные ряды.Рассмотрим ряд A:∞∑ak .k=1Будем считать, что в нем имеется бесконечно много положительных ибесконечно много отрицательных членов. В таком случае ряд A назовемзнакопеременным.Определение: ряд∞∑ak (ряд A)k=1называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд∞∑|ak | (ряд |A|).k=1Отметим, что при этом ряд A также сходится (это легко доказывается спомощью критерия Коши).Пример: ряд∞∑(−1)k−1k2k=1является абсолютно сходящимся, т.к. сходится ряд∞∞ ∑ (−1)k−1 ∑1=. k2 k2k=1k=1118Определение: ряд A называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд |A| расходится.Пример: ряд∞∑(−1)k−1k=1k=1−1 1 1+ − + ...2 3 4является условно сходящимся.

Докажем это.Имеем:() ()()11 111S2n = 1 −+−+ ... +−> 0,23 42n − 1 2n() ()()1 11 1111S2n = 1 −−−−− ... −−−< 1.2 34 52n − 2 2n − 12nИтак, последовательность {S2n } —ограниченная, поскольку для любогоn выполнено неравенство 0 < S2n < 1. Кроме того, {S2n } —возрастающаяпоследовательность. Следовательно, существуетlim S2n = S,n→∞а посколькуS2n+1 = S2n +1→S2n + 1при n → ∞,то иlim Sn = S,n→∞т.е. ряд сходится. Ряд из модулей членов∞ ∞∑ (−1)k−1 ∑1=kkk=1k=1расходится (это гармонический ряд).

Следовательно, ряд∞∑(−1)k−1k=1k=1−1 1 1+ − + ...2 3 4сходится условно, что и требовалось доказать.Пусть ряд∞∑ak (ряд A)k=1119является знакопеременным. Обозначим через p1 , p2 , . . . , pn , . . . положительные члены, выписанные в том порядке, в котором они стоят в рядеA, а через −q1 , −q2 , . . . , −qn , .

. . —отрицательные члены ряда A. Образуем два ряда с положительными членами:∞∑pk∞∑(ряд P ) иk=1qk(ряд Q).k=1Теорема 11. 1) Если ряд A сходится абсолютно, то ряды P и Q сходятся, причем S A = S P − S Q . 2) Если ряд A сходится условно, то рядыP и Q расходятся.Доказательство:1) Пусть ряд A сходится абсолютно, т.е. сходится ряд∞∑|ak |.k=1Тогда для любого n справедливо неравенство:Sn|A|=n∑|ak | ≤∞∑|ak | = S |A| .k=1k=1РассмотримSnA =n∑ak .k=1SnP1Обозначим черезсумму членов ряда P , входящую в SnA , а через SnQ2 —сумму членов ряда Q, входящую в SnA со знаком "минус":SnP1=n1∑k=1pk ,SnQ2=n2∑qk ,n1 + n2 = n.k=1Очевидно,чтоSnA = SnP1 − SnQ2 ,Sn|A| = SnP1 + SnQ2 .|A|Из последнего неравенства и из неравенства Sn ≤ S |A| получаемSnP1 ≤ S |A| , SnQ2 ≤ S |A| , откуда вытекает сходимость рядов P и Q: SnP1 → S Pи SnQ2 → S Q при n1 , n2 → ∞.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций