И.С. Ломов - Алгебра и аналитическая геометрия (1109877), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Íàéòè êîîðäèíàòû âåðøèí Bè C , åñëè èçâåñòíî, ÷òî A(5, 1).7. Ïëîñêèé âûïóêëûé ÷åòûð¼õóãîëüíèê çàäàí ñâîèìè âåðøèíàìè â ïðîñòðàíñòâå: Mi (ri ), i = 1, 4. Íàéòè íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òîãî, ÷òî çàäàííàÿ òî÷êà M0 (r0 ) ÿâëÿåòñÿ åãîâíóòðåííåé òî÷êîé.1. V = 6.2. x = {x1 , x2 , x3 }, ãäå x1 = (3x3 − 1)/5, x2 =y−1x−(2x3 + 1)/5. 3.
5x − 2y = 0.4. 8x − 5y + z + 1 = 0.5.1 = 2 =√√√√z−16. B(−1 −3, 4 − 2 3), C(−1 + 3, 4 + 2 3).−3 .Îòâåòû:132 çàäà÷àõ 17 ñèñòåìà êîîðäèíàò ïðÿìîóãîëüíàÿ.Êîíòðîëüíûå ðàáîòûÏðèìåðíûå âàðèàíòû, II ñåìåñòðÊîíòðîëüíàÿ ðàáîòà2 11. Íàéòè áàçèñû ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâ L1 è L2 ,ãäå L1 = L {a1 , a2 , a3 }, a1 = (1, 2, 1, 1), a2 = (2, 3, 1, 0), a3 =(3, 1, 1, −2), à L2 = {x ∈ R4 | x1 + x2 + x3 + x4 = 0}.2. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî L = {p(t) ∈ M3 | p(1) = 0, p0 (1) +p(0) = 0} îáðàçóåò ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà M3 .Íàéòè äâà ðàçëè÷íûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïîäïðîñòðàíñòâà ê L.3. Ïîñòðîèòü êàêîé-ëèáî îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ëèíåéíîé1 −12 102îáîëî÷êè ìàòðèö B1 =, B2 =, B3 =.011 01 −14.
Íàéòè îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ âåêòîðà g = (2, 2, 0, 1) íà ïîäïðîñòðàíñòâîL = {x ∈ R4 | x1 − x2 + x3 − x4 = 0, 3x1 − 2x2 + x3 − x4 = 0}.5. Îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå îò ìíîãî÷ëåíà g(t) = 3t3 − 3t2 − t + 2äî ìíîãîîáðàçèÿ P = {p(t) ∈ M3 | p(1) = 2, p0 (0) = 1}.6. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè äâå ãèïåðïëîñêîñòè íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî îíèïàðàëëåëüíû.dim L1 = dim L2 = 3, dim(L1 + L2 ) = 4, çíà÷èò, â êà÷åñòâå áàçèñà L1 + L2 ìîæíî âçÿòü ëþáîé áàçèñ R4 , íàïðèìåð, a1 , a2 , a3 ,b1 = (1, −1, 0, 0).
dim(L1 ∩ L2 ) = 2, áàçèñ L1 ∩ L2 ñîñòîèò, íàïðèìåð, èçâåêòîðîâ c1 = (0, 2, −1, −1) è c2 = (−4, −1, 0, 5).2. Îäíî ïðîñòðàíñòâîL01 , äîïîëíèòåëüíîå ê ïðîñòðàíñòâó L, ñîñòîèò èç ëèíåéíîé îáîëî÷êèL (p1 , p2 ), ãäå p1 (t) = 1 + t + t2 + t3 è p2 (t) = 1 + t + 2t2 + 3t3 . Äðóãîåäîïîëíèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî L02 , íàïðèìåð, L (q1 , q2 ), ãäå q1 (t) = 1 + t,1 −1−5 −411q2 (t) = 1 + t + t2 + 2t3 .3. C1 = √, C2 = √,3 051 −311q−3 13.4.
(1, 2, 1, 0).5.C3 = √1512.5 4Îòâåòû:1.2M3 ìíîæåñòâî âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé ñòåïåíè íå âûøå3, ïîïîëíåííîå íóëåâûì ìíîãî÷ëåíîì. Ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ â ïðîñòðàíñòâàõ R2×2 , R4 è M3 ñ÷èòàþòñÿ çàäàííûìè ñòàíäàðòíûì îáðàçîì.33Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿÊîíòðîëüíàÿ ðàáîòà 21. Îïåðàòîð A äåéñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå M3 ïî ïðàâèëó A f (t) =f (2t) − f (t + 1). Ïîñòðîèòü ìàòðèöó ýòîãî îïåðàòîðà â áàçèñåe1 (t) = 1, e2 (t) = 1 − t, e3 (t) = t + t2 , e4 (t) = t2 − t3 è óêàçàòüêàêèå-ëèáî áàçèñû åãî ÿäðà ker A è îáðàçà im A .2.
Íàéòè çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàò âñå ñîáñòâåííûå3 1 −1 −1−1 111.ðèöû 1 11 −11 0 −1131 03. Ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà D = 2 2 0 äèàãîíàëèçóåìà, è4 −4 4ïðèâåñòè å¼ ê äèàãîíàëüíîé ïîäõîäÿùèì ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ.4. Íàéòè æîðäàíîâó ôîðìó ñëåäóþùåé ìàòðèöû è ïîñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùèé êàíîíè÷åñêèé áàçèñ:2 −400 1 −200A= 2131−4 −2 −6 −20 −1 05. Îïåðàòîð H çàäàí ìàòðèöåé 7 4 1 â áàçèñå f1 =−11 0(1, 1, 0), f2 = (0, 1, 0), f3 = (0, 0, 1) ïðîñòðàíñòâà R3 ñî ñòàíäàðòíûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.
Íàéòè ìàòðèöó ñîïðÿæ¼ííîãî îïåðàòîðà H ∗ â ýòîì æå áàçèñå f1 , f2 , f3 .21 −16. Íàéòè êâàäðàòíûé êîðåíü èç ìàòðèöû S = 1 2 −1.−1 −127. Èçâåñòíî, ÷òî îïåðàòîðû A ∈ L (V, W ), B ∈ L (W, V ) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ: ïðîèçâåäåíèå BA ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûìîïåðàòîðîì â ïðîñòðàíñòâå V . Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðîñòðàíñòâà Vè W èìåþò ðàçíóþ ðàçìåðíîñòü, òî ïðîèçâåäåíèå A B íå ìîæåò34Êîíòðîëüíûå ðàáîòûáûòü òîæäåñòâåííûì îïåðàòîðîì â ïðîñòðàíñòâå W .Îòâåòû:1.0 00 1Ae = 0 00 0−64302−2, ker A = L (e1 ), im A = L (2e1 − e3 , e2 , e4 ).−17λ1 = 1 êðàòíîñòè 2, ñîáñòâåííûå âåêòîðû α · (1, −1, 1, 0), ãäå α 6= 0;λ2 = 2 êðàòíîñòè 2, ñîáñòâåííûå âåêòîðû α1 · (1, 0, 1, 0) + α2 · (1, 0, 0, −1),2ãäå α1+ α22 6= 0.0 1 0 01 1 00 0 0 01 0, T −1 DT = diag{1, 4, 4}.
4. J = 3. T = −20 0 0 0;−4 0 10 0 0 1(2, 1, −5, 10), (1, 0, 0, −7), (0, 0, 1, −3), (0, 0, 7, −14).2.35Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿÇà÷¼òI ñåìåñòð. Ïðèìåðíûé âàðèàíò çà÷¼òíîãîçàäàíèÿ â ãðóïïå (ñ 21 äåêàáðÿ)31. Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü0yDn = y ...yx x ···0 x ···y 0 ···.. .. .
... .y y ···xxx ,.. .0ãäå x 6= y .2. Èññëåäîâàòü ñèñòåìó è íàéòè îáùåå ðåøåíèå â çàâèñèìîñòè îòçíà÷åíèé λ λx1 + x2 + x3 = −1,x1 + x2 + λx3 = 2,x1 + λx2 + x3 = −1.3.  àôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íàïèñàòü óðàâíåíèå ïðÿìîé,ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M0 (2; 3) è ðàâíîóäàë¼ííóþ îò òî÷åêA(−2; 1) è B(−4; 3).4. Ñîñòàâèòü ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîéïðÿìîéx − 3y + z = 0,`1 :x+y−z+4=0è ïåðåñåêàþùåé ïðÿìûå `2 : x = 1 + t, y = 2 − 2t, z = −t è `3 :x = −2t, y = −5 + 3t, z = 4.5.
Ïîñòðîèòü îäíîðîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé Ax = 0 ïî çàäàííîé ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìå ðåøåíèé: e1 = (−2, 1, 1, 1), e2 =(0, 1, 2, 0), e3 = (1, −1, 0, 1).6. Âû÷èñëèòü îáú¼ì ïàðàëëåëåïèïåäà ABCDA1 B1 C1 D1 , çíàÿ åãîâåðøèíó A(1; 2; 3) è êîîðäèíàòû êîíöîâ âûõîäÿùèõ èç íå¼ ð¼áåð:B(9; 6; 4), D(3; 0; 4), A1 (5; 2; 5).336 çàäà÷àõ 69 ñèñòåìà êîîðäèíàò ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà.Çà÷¼ò7. Íà ïëîñêîñòè çàäàíû äâå ñèñòåìû êîîðäèíàò: {O; ~e1 , ~e2 } è00{O0 ; ~e1 , ~e2 }.
Âòîðàÿ ñèñòåìà ïîëó÷åíà èç ïåðâîé ïîâîðîòîì âîêðóãòî÷êè A(1; 1) íà óãîë ϕ = 45◦ â íàïðàâëåíèè êðàò÷àéøåãî ïîâîðîòà îò ~e1 ê ~e2 . Íàéòè êîîðäèíàòû (x, y) òî÷êè â ïåðâîé ñèñòåìåêîîðäèíàò, åñëè èçâåñòíû å¼ êîîðäèíàòû (x0 , y 0 ) âî âòîðîé ñèñòåìåêîîðäèíàò.8.
Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå áèññåêòðèñû îñòðîãî óãëà ìåæäó ïðÿìûìè x − 3y = 0 è 3x − y + 5 = 0.9. Íàïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó A(5; 2; 0)è óäàëåííîé îò òî÷êè B(6; 1; −1) íà ðàññòîÿíèå 1, à îò òî÷êèC(0; 5; 4) íà ðàññòîÿíèå 3.10. Ðåøèòü óðàâíåíèå â êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ: |z| + z = 8 + 4i.11. Íàéòè âñå îáðàçóþùèå ýëåìåíòû öèêëè÷åñêîé ãðóïïû 11-ãîïîðÿäêà.12.
Îïðåäåëèòü òèï êðèâîé, çàäàííîé óðàâíåíèåì5x2 + 8xy + 5y 2 − 18x − 18y + 9 = 0,è íàéòè óðàâíåíèÿ îñåé êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.Îòâåòû:n−1n−1−yDn = (−1)n−1 xy x x−y.2. Ïðè λ 6= −1, λ 6= 2 åäèíñòâåííîå12ðåøåíèå x1 = x2 = − λ−1 , x3 = λ−1 ; ïðè λ = 1 ñèñòåìà íåñîâìåñòíà;ïðè λ = −2 îáùåå ðåøåíèå x1 = x2 = 1 + x3 .3.
`1 : x + y − 5 = 0, `2 :x−5y+13 = 0. 4. x =t, y = 55+t,z=52+2t. 5. x1 +2x2 −x3 +x4 = 0.1 1 −1 x01√x6. V = 48.7.+√=·.8. 4x−4y+5 = 0.y1 y01− 22 19. x+2y +2z −9 = 0, èëè y −2 = 0.10. z = 3+4i.11. Âñå ýëåìåíòûãðóïïû, êðîìå íåéòðàëüíîãî.12. ýëëèïñ; y = 2 − x, y = x.1.37Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿI ñåìåñòð. Îáðàçåö çàäàíèÿ çà÷¼òíîéêîìèññèè41. Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëüxyDn = z ...zy y ···x y ···z x ···.. .. . ...
.z z ···y y y ,.. .xãäå z 6= y .2. Èññëåäîâàòü ñèñòåìó è íàéòè îáùåå ðåøåíèå â çàâèñèìîñòè îòçíà÷åíèé λ (λ + 1)x1 + λx2 + (2λ + 3)x3 = 1,λx1 + λx2 + (λ − 1)x3 = λ,λx1 + λx2 + (λ + 1)x3 = λ.3.  àôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íàïèñàòü óðàâíåíèå ïðÿìîé,ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M0 (−3; 2) è ðàâíîóäàëåííóþ îò òî÷åêA(1; 1) è B(3; −5).4.
Âû÷èñëèòü ðàíã ìàòðèöû1 −1 23421 −1 20 −1 2113 .15 −8 −5 −123 −7 89135. Ñîñòàâèòü ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîéïðÿìîé`1 :x − 3y + z = 0,x+y−z+4=0è ïåðåñåêàþùåé ïðÿìûå `2 : x = 3 + t, y = −1 + 2t, z = 4t è`3 : x = −2 + 3t, y = −1, z = 4 − t.4 çàäà÷àõ 6, 7 ñèñòåìà êîîðäèíàò ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà, â çàäà÷å 5ñèñòåìà êîîðäèíàò àôôèííàÿ.38Çà÷¼ò6.  òðåóãîëüíèêå ABC çàäàíû óðàâíåíèå ñòîðîíû AC : x−2y +7è ìåäèàí AM : x + y − 5 = 0, CL: 2x + y − 11 = 0.
Ñîñòàâèòüóðàâíåíèå âûñîòû òðåóãîëüíèêà, ïðîâåä¼ííîé èç âåðøèíû A.7. Íàïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè α, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïåðïåíäèêóëÿðíî ïðÿìîél:x+2y−3z−1==,45−2íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (−2; 3; 1) äî ýòîé ïëîñêîñòè è êîîðäèíàòû ïðîåêöèè ýòîé òî÷êè íà ïëîñêîñòü α.8. Îïðåäåëèòü òèï ïîâåðõíîñòè, çàäàííîé óðàâíåíèåì 4x2 +6y 2 +4z 2 + 4xz − 8y − 4z + 3 = 0.9. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê z êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè,óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ |z + 2i| − |z − 2i| = 3. answerc¾Âåòâüãèïåðáîëû 36x2 − 28y 2 + 63 = 0, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó (0; 32 ),ò.å. íàõîäÿùàÿñÿ â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè.¿Îòâåòû:z(x−y)n −y(x−z)n.2. Ïðè λ = 0 îáùåå ðåøåíèå: x1 = 1, x3 = 0z−yïðè ëþáîì x2 ; ïðè λ 6= 0 åäèíñòâåííîå ðåøåíèå: x1 = 1 − λ, x2 = λ,1.Dn =x3 = 0.`1 : 4x+5y +2 = 0, `2 : 3x+y +7 = 0.
4. 3. 5. x = 10+t, y = −1+t,√z = 2t. 6. 11x − 17y + 57 = 0. 7. α: 4x + 5y − 2z = 0, ρ(M, α) = 35 ,22 22 11ïðîåêöèÿ òî÷êè M íà ïëîñêîñòü α: M 0 (− 9 ; 9 ; 9 ).8. ýëëèïñîèä.3.II ñåìåñòð. Ïðèìåðíûé âàðèàíò çà÷¼òíîãîçàäàíèÿ â ãðóïïå (ñ 21 ìàÿ)51. Íàéòè áàçèñû ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâL1 = L (a1 , a2 , a3 ) è L2 = L (b1 , b2 , b3 ), ãäå a1 = (1, 1, 1, 1),a2 = (1, 1, −1, −1), a3 = (1, −1, 1, −1); b1 = (1, −1, −1, 1), b2 =(1, −1, 0, 0), b3 = (3, −1, 1, 1).2.
Ïðèìåíÿÿ ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè, ïîñòðîèòü îðòîãîíàëüíûé áàçèñ ëèíåéíîé îáîëî÷êè âåêòîðîâ x1 = (2, 3, −4, −6), x2 =(1, 8, −2, −16), x3 = (12, 5, −14, 5), x4 = (3, 11, 4, −7).5 ïðîñòðàíñòâàõ Rn ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå çàäàíî ñòàíäàðòíûì îáðàçîì.39Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ3. Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðîì a = (−3, 15, 1, −5) è ëèíåéíîéîáîëî÷êîé âåêòîðîâ b1 = (2, 3, −4, −6), b2 = (1, 8, −2, −16), b3 =(1, −5, −2, 10).4. Íàéòè êàíîíè÷åñêèé áàçèñ è æîðäàíîâó ôîðìó ìàòðèöû−31 −3 −2 −2 0 −2100 10011. 10101101105. Äîêàçàòü, ÷òî íåîäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèéAx = b ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîð-ñòîëáåöb îðòîãîíàëåí âñåì ðåøåíèÿì ñîïðÿæåííîé îäíîðîäíîé ñèñòåìûA∗ y = 0 .6.  ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ M2 ñî ñòàíäàðòíûì ñêàëÿðíûìïðîèçâåäåíèåì çàäàí îðòîãîíàëüíûé îïåðàòîð A ñ îïðåäåëèòåëåì, ðàâíûì −1, êîòîðûé ïåðåâîäèò ìíîãî÷ëåí 1+t+t2 â 1−t+t2 ,à ìíîãî÷ëåí 1 − t2 â 1 − t.
Íàéòè ìàòðèöó îïåðàòîðà A â áàçèñå1, t, t2 .7. Íàéòè íîðìàëüíûé âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìûF (x1 , x2 , x3 ) = x21 + 2x22 + 3x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 4x2 x3è ïðèâîäÿùåå ê íåìó òðåóãîëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò.8. Íàéòè íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé x1 + x2 + x3 + x4 = 2,x1 + x2 + x3 + x4 = 3,x1 + x2 + x3 + x4 = 4.9.
 ïðîñòðàíñòâå M2 ââåäåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåZ+1(f, g) =f (t)g(t)dt.−1Íàéòè ìàòðèöó îïåðàòîðà, ñîïðÿæåííîãî ê îïåðàòîðó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, â áàçèñå 1, t, t2 .40Çà÷¼ò10. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî M3 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâ L1 è L2 , è íàéòè ïðîåêöèþ ìíîãî÷ëåíà p(t) = t3 + 1íà L1 ïàðàëëåëüíî L2 , åñëè L1 = {f (t) ∈ M3 | f (0) = f (1)},L2 = {f (t) ∈ M3 | f (2t) = 2f (t), ∀t ∈ R}.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
