И.С. Ломов - Алгебра и аналитическая геометрия (1109877), страница 6
Текст из файла (страница 6)
L1 : x1 − x2 − x3 + x4 = 0, L2 : x1 + x2 − x3 − x4 = 0;dim L1 = 3; dim L2 = 3; dim(L1 + L2 ) = 4; áàçèñ: a1 , a2 , a3 , b1 . dim(L1 ∩L2 ) = 2; áàçèñ: z1 = (1, −1, 1, −1), z2 = (1, 0, 1, 0) èëè c1 = (1, 0, 1, 0),c2 = (0, 1, 0, 1).2. y1 = x1 = (2, 3, −4, −6); y2 = (−3, 2, 6, −4);0 −1 1π 0 −1 1 , −1, −1 ;y3 = (4, 6, 2, 3).3..4. J = diag400 −1(−3, 1, 1, 1, 1), (−2,0, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, −1, 0), (1, 0, 0, 0, −1).1 −2 −21 −2−2 1 . 7. y1 = x1 + x2 + x3 , y2 = x2 + x3 , y3 = x3 , F =6.32 −1 20 −5 00 2.
10. t3 − t + 1.y12 + y22 + y32 . 8. 43 (1, 1, 1, 1). 9. De∗ = 12 60 15 0Îòâåòû:II ñåìåñòð. Îáðàçåö çàäàíèÿ çà÷¼òíîéêîìèññèè1. Íàéòè áàçèñû L1 + L2 , L1 ∩ L2 , åñëè L1 çàäàíî îäíîðîäíîéñèñòåìîé9x1 − 6x2 + 3x3 = 0,6x1 − 4x2 + 2x3 = 0,à L2 ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì ê ìíîæåñòâó ðåøåíèéñèñòåìû 2x1 + 3x2 − x3 = 0,x1 + 2x2 + 2x3 = 0,x1 + x2 − 3x3 = 0.2. Íàéòè áàçèñûîáðàçàîòîáðàæà è ÿäðà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà,þùåãî ìàòðèöû2 1ìàòðèöû,0 310110,00,10 10 00 0,,ñîîòâåòñòâåííî â0 01 00 1 3 −12 3,.52−4 541Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ3. Ïîñòðîèòü æîðäàíîâó ôîðìó è êàíîíè÷åñêèé áàçèñ äëÿ11A=000011000010001010001.024.
Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè, çàäàííîé âåêòîðîì x = (5, 3, −1, −1),äî ëèíåéíîãî àôôèííîãî ìíîãîîáðàçèÿ H , çàäàííîãî ñèñòåìîé2x1 + x4= 6,óðàâíåíèé2x1 + 2x2 − x3 = 3.5. Âûïèñàòü êàíîíè÷åñêèé âèä è ïðèâîäÿùåå ê ýòîìó âèäó îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò äëÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìûf = −3x23 − 2x2 x3 + 6x1 x2 + x21 + 2x1 x3 + x22 .6. Íàéòè äâóìåðíîå èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî äëÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, äåéñòâóþùåãî â ïðîñòðàíñòâå R3 è çàäàííîãî âíåêîòîðîì åãî áàçèñå ìàòðèöåé4 −6 4A = 1 0 0 .0 1 0dim L1 = dim L2 = 2, dim(L1 +L2 ) = 3, òàê ÷òî â êà÷åñòâå3ìîæíî âçÿòü åñòåñòâåííûé áàçèñ R.
Áàçèñ L1 ∩ L2 :~e =1 00 11 −5−3 4(3, 5, 1). 2. Áàçèñ îáðàçà,, ÿäðà,.1 1−2 1100 1 1 1 03. J = diag2, 0 1 1 , 1 ; (0, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0, 0),0 0 1q2225. f = −4y1 − y2 + 4y3 ,(2, 1, 1, −1, 0), (−1, 0, 0, 1, 0). 4.
ρ = 173329 .Îòâåòû:áàçèñà1.L1 + L2x1y1 = − √−6x2√3èíâàðèàíòíîãî42x32xx√2 + √+ 2x, y3 = √ 1 − √2 .3263ïîäïðîñòðàíñòâà g1 = (2, 1, 0), g2 = (0, 1, 1).+x3√,2y2 =x1√66.ÁàçèñÝêçàìåíÝêçàìåíÝêçàìåíàöèîííûå âîïðîñû, I ñåìåñòðËèíåéíàÿ àëãåáðàÎïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè è èõ ñâîéñòâà.Ïðèâåäåíèå ìàòðèöû ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó. Ïðèâåäåíèå ê äèàãîíàëüíîìóâèäó.3. Ïåðåñòàíîâêè, òðàíñïîçèöèè, ÷¼òíîñòü.4. Îïðåäåëèòåëü è åãî ñâîéñòâà êàê ôóíêöèè ñòîëáöîâ (ñòðîê).5. Îïðåäåëèòåëü òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöû.6. Îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö.7.
Ìèíîðû è èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ. Òåîðåìà Ëàïëàñà.8. Íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû. Îáðàòíûå ìàòðèöû. Êðèòåðèé îáðàòèìîñòèìàòðèöû.9. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû. Àðèôìåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.10. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå.11. Áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà.12. Ïåðåõîä ê äðóãîìó áàçèñó, ìàòðèöà ïåðåõîäà.13. Ðàíã ìàòðèöû. Òåîðåìà î áàçèñíîì ìèíîðå.14.
Ðàíã ìàòðèöû è ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ñòðîê è ñòîëáöîâ.15. Ðàíã ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö. Ðàíã ìàòðèöû è ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ.16. Ýêâèâàëåíòíûå ìàòðèöû. Êðèòåðèé ýêâèâàëåíòíîñòè.17. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ýêâèâàëåíòíîñòü ñèñòåì.Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåì.18. Ñèñòåìû ñ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé. Ïðàâèëî Êðàìåðà.19. Êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.Êðèòåðèé åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ.20. Èññëåäîâàíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îáùåãî âèäà.Ãëàâíûå è ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå. Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû.21.
Ìåòîä Ãàóññà èññëåäîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõóðàâíåíèé. ×èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé â ìåòîäå Ãàóññà.22. Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ìíîæåñòâà ðåøåíèéîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ôóíäàìåíòàëüíàÿñèñòåìà ðåøåíèé.
Îáùåå ðåøåíèå.23. Ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå. Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ìíîæåñòâà ðåøåíèéíåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Îáùåå ðåøåíèå.1.2.Àíàëèòè÷åñêàÿ àëãåáðà1.2.Íàïðàâëåííûå îòðåçêè. Ñâîáîäíûé âåêòîð.Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè. Êîîðäèíàòû âåêòîðà.43Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿÏðîåêöèè âåêòîðà. Ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè ïðîåêöèé.Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ. Êîëëèíåàðíûå è êîìïëàíàðíûå âåêòîðû.5. Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò.6.
Ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò. Îðòîãîíàëüíûåìàòðèöû.7. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ.8. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ.9. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ.10. Âåêòîðíîå è ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèÿ â ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ.11. Àëãåáðàè÷åñêèå ëèíèè è ïîâåðõíîñòè. Èíâàðèàíòíîñòü ïîðÿäêà ëèíèè(ïîâåðõíîñòè).12. Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè è ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå.13.
Îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè â àôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.Êðèòåðèé ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðà ïðÿìîé.14. Îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå â àôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Êðèòåðèé ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðà ïëîñêîñòè.15. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè è ïëîñêîñòåé â ïðîñòðàíñòâå.16. Ïó÷îê ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè è ïëîñêîñòåé â ïðîñòðàíñòâå.17. Ïîëóïëîñêîñòè è ïîëóïðîñòðàíñòâà.18. Óðàâíåíèÿ ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå.19.
Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ â ïðîñòðàíñòâå.20. Ìåòðè÷åñêèå çàäà÷è íà ïðÿìóþ è ïëîñêîñòü â ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàòàõ.21. Îáùåå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè. Ìàòðè÷íàÿ çàïèñüîáùåãî óðàâíåíèÿ è åãî êâàäðàòè÷íîé ÷àñòè.22. Ïðèâåä¼ííûå óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè. Ìåòîä âðàùåíèé.23. Êëàññèôèêàöèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè.24.
Ýëëèïñ. Ôîêóñû è äèðåêòðèñû.25. Ãèïåðáîëà. Ôîêóñû è äèðåêòðèñû.26. Ïàðàáîëà. Ôîêóñ è äèðåêòðèñà.27. Îáùåå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà â ïðîñòðàíñòâå. Ìàòðè÷íàÿ çàïèñü îáùåãî óðàâíåíèÿ è åãî êâàäðàòè÷íîé ÷àñòè.28. Ïðèâåä¼ííûå óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ìåòîä âðàùåíèé.29. Êëàññèôèêàöèÿ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà. Ýëëèïñîèäû, ãèïåðáîëîèäû, ïàðàáîëîèäû, êîíóñû è öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè.30. Ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþùèå àëãåáðàè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà.3.4.44ÝêçàìåíÎáùàÿ àëãåáðàÄåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ è áèíàðíîå îòíîøåíèå.
Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Ôàêòîð-ìíîæåñòâî.2. Îòîáðàæåíèÿ. Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå.3. Àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè. Îáîáù¼ííûé çàêîí àññîöèàòèâíîñòè.4. Ãðóïïû. Îñíîâíûå ñâîéñòâà.5. Ïîäãðóïïû. Ñèììåòðè÷åñêàÿ è çíàêîïåðåìåííàÿ ãðóïïû.6. Ãðóïïà íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö. Ãðóïïà íåâûðîæäåííûõ òðåóãîëüíûõìàòðèö. Ãðóïïà îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö.7. Êîíå÷íûå ãðóïïû. Òåîðåìà Ëàãðàíæà.8.
Ñòåïåíè ýëåìåíòà. Öèêëè÷åñêèå ãðóïïû. Ïîäãðóïïû öèêëè÷åñêîé ãðóïïû.9. Ïîäãðóïïû, ñìåæíûå êëàññû, íîðìàëüíûå äåëèòåëè.10. Èçîìîðôèçì ãðóïï.11. Ãîìîìîðôèçì ãðóïï.12. Êîëüöî.13. Ïîëå. Õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ. Àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ.14. Êîëüöî âû÷åòîâ. Ïîëå âû÷åòîâ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ.15. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì. ×èñëî ýëåìåíòîâ â êîíå÷íîì ïîëå.16.
Ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü.17. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Ìîäóëü è àðãóìåíò ïðîèçâåäåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.18. Âîçâåäåíèå â ñòåïåíü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Ôîðìóëà Ìóàâðà.19. Èçâëå÷åíèå êîðíÿ èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.20. Ãðóïïà êîðíåé èç åäèíèöû. Ïåðâîîáðàçíûå êîðíè.21. Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì.22.
Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü, åãî ñâîéñòâà. Àëãîðèòì Åâêëèäà.23. Çíà÷åíèÿ ìíîãî÷ëåíà è êîðíè. Òåîðåìà Áåçó.24. Ìíîãî÷ëåíû êàê ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ è êàê ôóíêöèè. Ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ îïðåäåëåíèé ðàâåíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ.25. Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè.26. Êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.Êðàòíîñòü êîðíÿ.27. Êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ íàä ïîëåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.28. Ôîðìóëû Âèåòà. Ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû.1.45Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿÝêçàìåíàöèîííûå âîïðîñû, II ñåìåñòðËèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì. Ðàíã è áàçà ñèñòåìû âåêòîðîâ.2. Èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.3.
Ñóììà è ïåðåñå÷åíèå ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.4. Ïðÿìàÿ ñóììà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.5. Åâêëèäîâî è óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî. Íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãîØâàðöà.6. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå. Ñóùåñòâîâàíèå îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà.7. Èçîìåòðèÿ.8. Ìàòðèöà Ãðàìà. Êðèòåðèé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè.9. Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå. Îðòîãîíàëüíàÿ ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ. Ðàññòîÿíèå îò âåêòîðà äî ïîäïðîñòðàíñòâà.10. Îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ è óíèòàðíûå (îðòîãîíàëüíûå) ìàòðèöû.11. Ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ÃðàìàØìèäòà. QR-ðàçëîæåíèå ìàòðèöû.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
