А.М. Салецкий, А.И. Слепков - Лабораторный практикум по механике твёрдого тела (1108779), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Результаты вычислений занести в табл. 4.2.3. Вычислить выборочное среднее значение радиуса цилиндраr и среднеквадратичную ошибку этой величины.4. По формуле (4.13) определить значение момента инерции колеса и его погрешность.Упражнение 3. Прямой расчет момента инерции колесаИзмеренияИспользуемое в установке колесо можно представить как совокупность тел простой формы (рис.15): диска радиуса R1 , толщиныа для обода массыПриложение 5)1J об = mоб R12 + R22 .2((см.mоб)(4.23)Учитывая, что диск, обод и цилиндр сделаны из одного материала с плотностью ρ , получаем окончательно выражение длямомента инерции колеса111J = π ρ l1R14 + π ρ l2 R24 − R14 + π ρ l3 R44 + mC R32 ,222()(4.24)где mС суммарная масса тел С1 и С2 .С помощью штангенциркуля и линейки определяют геометрические размеры каждой выделенной части колеса по несколько раз.Результаты измерений заносят в таблицу 4.3.Таблица 4.3NR1nR1S R1R2nR2S R112345Лабораторный практикум по механике твердого тела56R3nОсновные итоги работыR3В процессе выполнения работы должен быть определен момент инерции колеса двумя способами.
Следует сопоставить этирезультаты с величиной вычисленного по (4.24) момента инерции.S R3R4nR4Контрольные вопросы1. Что такое главные оси инерции? Центральные оси? Привестипримеры.2. Что такое момент инерции тела относительно закрепленнойоси?3. Чему равны моменты инерции следующих тел: тонкая палочка, тонкий диск, тонкие прямоугольная и треугольная пластины,цилиндр, шар, параллелепипед? Как их получить?4. Сформулируйте теорему Гюйгенса–Штейнера.S R4l1nl1S l1l2nl2S l2l3nl3S l3Обработка результатов1.ОпределяютсредниеарифметическиезначенияR1 , R2 , R3 , R4 , l1 , l2 , l3 .
Результаты заносят в таблицу 4.3.2.Вычисляют выборочные стандартные отклонения для этих величин. Результаты заносят в таблицу 4.3.3. По формуле (4.24) рассчитывают значение момента инерцииколеса и определяют погрешность.4. Рассчитанное значение момента инерции колеса сравнивают сзначениями, полученными экспериментально в упражнениях 1 и 2.Литература1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том I. Механика.
Изд. 3-еМ.: Наука, 1989. Гл. V.2. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика.Учебн. для студ. вузов / Под ред. В.А. Алешкевича.— М.: Академия, 2004. Лекция 12.585Лабораторный практикум по механике твердого телаИзучение тензора инерции твердого телаЦель работыЗнакомство с понятием “тензор инерции”.Идея экспериментаИдея эксперимента заключается в исследовании вращательногои колебательного движений твердого тела правильной формы относительно различных осей, проходящих через центр масс и определения на основе данных эксперимента главных моментов инерции.В процессе работы устанавливается связь между моментом инерции относительно произвольной фиксированной оси и компонентами тензора инерции.ТеорияРассмотрим твердое тело, закрепленное таким образом, что ономожет вращаться вокруг некоторой неподвижной точки О. Тензоринерции будем рассматривать в системе координат, жестко связанной с твердым телом.
Существует связь между моментом импульсаL твердого тела и угловой частотой ω (см. введение)L = J€ω ,(5.1)где J xx J xy J xz J€ = J yx J yy J yz = J zx J zy J zz 22−∑ ∆mi ( xi zi ) ∑ ∆mi ( yi + zi ) −∑ ∆mi ( xi yi )ii i22= −∑ ∆mi ( yi xi ) ∑ ∆mi ( xi + zi ) −∑ ∆mi ( yi zi ) . (5.2)iii22 −∑ ∆mi ( zi xi )−∑ ∆mi ( zi yi ) ∑ ∆mi ( xi + yi ) iiiВ том случае, когда вращение твердого тела происходит относительно произвольной закрепленной оси AA′ , проходящей черезточку О, проекция момента импульса на эту ось равна (см. рис.
16)(L) AA′ ≡ (∑ ∆mi ri × v i ) AA′ = ∑ ∆mi ρi2ω = J ω ,(5.3)iiгде ρi — расстояние от i-го элемента тела до оси AA′ , а величинаJ = ∑ ∆mi ρi2(5.4)iявляется моментом инерцииотносительно закрепленной оси.Значение момента инерции Jтвердого тела относительно оси,имеющейпроизвольноенаправление,связаноскомпонентами тензора инерциисоотношением (В.25)В дальнейшем будем использовать такую систему координат,Рис.
16. Схематическое представлеоси которой совпадают сние вращения тела вокруг закрепленной осиглавными осями инерции.В этом случае тензоринерции будет иметь диагональный вид, а соотношение (В.25) запишется так:J = J xx cos 2 α + J yy cos 2 β + J zz cos 2 γ ,(5.5)Экспериментальная установкаЭкспериментальная установка смонтирована на основании, накотором установлены две стойки с направляющими для винтов,положение одного из которых может регулироваться. Эти винтывставляются в подшипники, которые закреплены в рамке специальной конструкции, в результате этого рамка может вращатьсявокруг горизонтальной оси (на рис.17 это ось OO′ ).
Рамка состоитиз двух планок, одна из которых (на рис.17 – левая) соединена сцилиндром С, другая со шкивом Q. Эти планки закреплены нафиксированном расстоянии двумя направляющими. На планке сцилиндром закреплен конус K для крепления исследуемого тела.По направляющим перемещается планка.
Эта планка может фикси-60Лабораторный практикум по механике твердого телароваться на направляющих с помощью цанговых зажимов (для этого необходимо повернуть винты на них). В центре подвижнойпланки имеется винт с конусным наконечником. Исследуемое телозакрепляется между конусом неподвижной левой и конусным винтом подвижной планок, для чего в исследуемых телах имеютсяспециальные углубления.Закрепление исследуемых тел в рамке может осуществлятьсяпередвижением подвижной планки (при отжатых винтах цанговогозажима) и вращением винта с коническим наконечником (этимвращением осуществляется более точная установка).опускании груза P, висящего на нити, намотанной на шкив Q. Масса груза и радиус шкива указываются на установке.Установка снабжена системой автоматического отсчета времени, включающей в себя таймер и два фотоэлектронных датчикадля определения времени перемещения груза.
Расстояние междудатчиками определяется по линейке, укрепленной на установке.Рис. 18. Схематическое представлениепараллелепипедовРис. 19. Схематическое представлениецилиндраДля определения периодов колебаний рамки с исследуемымгрузом на цилиндре C закрепляется кольцо со стержнем , на котором закреплен дополнительный груз, устанавливаемый в различныхположениях.
Установка снабжена системой автоматического отсчета периода, включающей в себя таймер и фотоэлектронный датчик для определения периода колебаний.В работе определяются компоненты тензора инерции однородного металлического параллелепипеда (рис.18) и цилиндра (рис.19).Проведение экспериментаУпражнение 1. Изучение тензора инерции динамическимметодомРис.17. Общий вид установки для экспериментального определениятензора инерцииРамка с исследуемым телом может совершать как вращательное, так и колебательное движение. Вращение происходит приРассмотрим вращение тела правильной формы, закрепленного врамке, вокруг некоторой оси под действием момента внешних сил.Момент внешних сил создается с помощью нити, намотанной нашкив, к концу которой подвешен груз массы m (рис.20) В качествеисследуемого тела используется параллелепипед.Лабораторный практикум по механике твердого тела62Пусть груз начал движение от отметки x0 , затем прошел отметку x1 со скоростью v1 и, через время ∆t после этого — отметку x2со скоростью v2 .
На основании закона сохранения механическойэнергии можно записать:mg ( x1 − x2 ) =гдеmg ( x1 − x2 )m(v22− v12(− v12) + J ′(ω 22− ω12)+M(5.6)тр ∆ϕ ,22— изменение потенциальной энергии груза,mv22)2 — изменение его кинетиче-()ской энергии, J ′ ω22 − ω12 2 — изменениекинетической энергии вращательногодвижения рамки с телом, M тр ∆ϕ — работасил трения в оси рамки, m — масса груза,подвешенного на нити, J ′ = J + J 0 — момент инерции ( J ) тела и ( J 0 ) рамки,ω1 , ω2 — угловые скорости вращения рамки для положений груза в точках x = x1 иx = x 2 соответственно, g — ускорениесвободного падения, M тр — момент силРис.
20. Схема установкидля определения тензораинерции динамическимметодомтрения, ∆ϕ = ( x2 − x1 ) r — угол, на который повернулась рамка при прохождении груза между отметками x1 и x2 , r— радиус шкива. Учитывая, чтоv = ωr,v2 = 2a ( x2 − x0 ) ,x2 = x1 + v1t + at 2 2, где a ускорение груза, t — время прохождения грузом расстояния x2 − x1 , получаем:J′ =mg − M тр ra22( mg − M тр r ) t 22r − mr = r 2(x2 − x0 − x1 − x0)2− m . (5.7)Для момента инерции пустой рамки (без тела) имеем:J0 = r 2 2( mg − M тр r ) t02(x2 − x0 − x1 − x0)2− m ,(5.8)где t0 — время прохождения грузом расстояния x 2 − x1 . Из двухпоследних уравнений момента инерции тела относительно осивращения получаем:mg − M тр rJ = J ′ − J0 = r 2t 2 −t02 ,(5.9)22 x2 − x0 − x1 − x0()()Пользуясь этой формулой, можно определять моменты инерциитела относительно произвольных осей. Это можно сделать, в частности для главных центральных осей, совпадающих с выбраннымиосями координат ( J x , J y , J z ) , а также для осей, совпадающих с одной из диагоналей параллелепипеда, например AG ( J AG ) илиMN ( J MN ) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
