А.М. Салецкий, А.И. Слепков - Лабораторный практикум по механике твёрдого тела (1108779), страница 9
Текст из файла (страница 9)
рис.18), выразив их соответственно через временаопускания груза t x , t y , t z , t AG , tMN .Момент сил трения, входящий в (5.9), можно оценить следующим образом. Если опустить груз на отметке x0 , то он после опускания до нижней точки x3 поднимется затем до отметки x4 . Разность значений потенциальной энергии груза в точках x4 и x0 ибудет равна работе сил трения, т.
е.M трMmg ( x4 − x0 ) =(5.10)( x3 − x0 ) + тр ( x3 − x4 ) ,rrM тргде( x3 − x0 ) — работа сил трения при движении груза вниз отrM трверхней точки до полного разматывания нити,( x3 − x4 ) — раrбота сил трения при подъеме груза. Из (5.10) следуетM тр( x4 − x0 ).(5.11)= mgr2 x3 − x0 − x4Пусть размер параллелепипеда по оси Ox равен a , по осиOy − b , по оси Oz − с. Квадраты направляющих косинусов для егодиагонали AG соответственно равныЛабораторный практикум по механике твердого тела64cos2 α =cos2 β =cos2 γ =a2a 2 + b2 + c2. Заносят в таблицу 5.2 значения x 0 , x1 , x 2 , x 3 .
Взвешиваютгруз P и заносят в табл.5.2 его массу.Таблица 5.1,2b2a 2 + b2 + c 2c2(5.12),.a 2 + b2 + c 2Подстановка уравнений (5.9) (для различных осей вращения) и(5.12) в формулу (5.5) для момента инерции относительно закрепленной оси даетr22( mg − M тр r ) ((2t AG− t02x2 − x0 − x1 − x0=+)a2a 2 + b2 + c 2b222a +b +c22⋅)=2⋅)((r 2 mg − M тр r ⋅ t x2 − t02(x2 − x0 − x1 − x0)2)((r 2 mg − M тр r ⋅ t y2 − t022+(x2 − x0 − x1 − x0c2a 2 + b2 + c 2⋅()2)+)+(aa , Sab , Sbbcc , Scr , Srr1233. Определяют время опускания груза Р при пустой рамке t 0 .Для этого нить, имеющую на конце груз, аккуратно виток к виткунаматывают полностью на шкив. Освобождают груз. Измерениевремени необходимо проводить не менее трех раз.
Данные заносятв таблицу 5.2. Одновременно для каждого опыта в таблицу заносятзначения x4 .4. Закрепляют в рамке параллелепипед в разных положениях иизмеряют времена t x , t y , t z , t AG , tMN . не менее трех раз. Результатызаносят в табл.5.3.Таблица 5.2)(r 2 mg − M тр r ⋅ t z2 − t022Nx2 − x0 − x1 − x0)2).В связи с тем, что сумма квадратов направляющих косинусовравна единице, получаемa 2t x2 + b 2t y2 + c 2t z22t AG=.(5.13)a 2 + b2 + c 2Эта закономерность может быть проверена экспериментально.Измерения1. Для выполнения работы необходимо измерить радиус шкиваr и размеры тела a , b, c (ребра параллелепипеда).
Величиныa , b, c, r измеряют штангенциркулем не менее трех раз в различных сечениях тела, заносят их в табл.5.1.ПараметрыисследуемойсистемыNх0=х1=х2=х3=m=12345t0 , S t0t0x4x4SM трM тр rtТаблица 5.3N tx12tx ,Stxtyty ,Stytztz ,StztAG< t AG >,S <t AG >tMN< tMN >,S <tMN >Лабораторный практикум по механике твердого тела66Обработка результатов1. Определяют среднее арифметические значения a , b, c, r ивыборочные стандартные отклонения для этих величин. Данныезаносят в табл. 5.1.2. Находят средние арифметические значения и выборочныестандартные отклонения для t 0 и x4 .
Данные заносят в табл.5.2. Поформуле (5.11) находят величину M тр r и погрешность ее определения.3. Находят средние арифметические значения t x , t y , t z , t AG , tMN ипогрешности их определения. Результаты заносят в табл. 5.3.4. По формуле (5.9) находят экспериментальные значения величин J x , J z , J MN и погрешности их определения. Данные заносят в табл.5.4.Таблица 5.4JxS JxS JzJzJMNтеорS J MNJ MNтеорS J MN5 . Так как ось MN лежит в плоскости xz , то соотношение(5.5) для J MN принимает видJ MN = J x ⋅ cos 2 α + J z ⋅ cos 2 γ ,гдеcos α =a2a +c2, cos γ =c2a + c2.Подставляя в это выражение определенные в п.4 значениятеорJ x , J y вычисляют теоретическое значение J MNи сравнивают егос экспериментальным (табл.
5.4).6. Подставляя в (5.13) определенные экспериментально геометрические размеры a, b, c и времена t x , t y , t z , t AG опускания груза дляразличных способов крепления тела в рамке, убеждаются в правильности (в пределах погрешности измерений) соотношения(5.13), а следовательно, и уравнения (5.5).Упражнение2.Изучение тензораколебанийинерцииметодомРассмотрим малые колебания физического маятника, представляющего собой сложное тело, состоящее из рамки, закрепленногона стержне дополнительного груза и исследуемого тела, в качествекоторого выбран параллелепипед (рис.18) или цилиндр (рис.19).колебания происходят вокруг оси, проходящей через центр массрамки и исследуемого тела. Действие моментов сил тяжести, приложенных к стержню и добавочному грузу, закрепленному на нем,приводит к возникновению колебаний всей системы.
Основноеуравнение вращательного движения в этом случае имеет видd 2ϕ1J ′ 2 = mglϕ + m0 gl0ϕ ,(5.14)2dtгде ϕ — угол отклонения рамки от положения равновесия,m масса груза, l — расстояние от центра масс груза до оси вращения, m0 , l0 — масса и длина стержня, на котором закреплен дополнительный груз, J ′ = J + J 0 — момент инерции физического маятника, включающего в себя исследуемое тело ( J ) , рамку состержнем и дополнительным грузом ( J 0 ) .Уравнение (5.14) является уравнение колебанийd 2ϕ+ ω 0 2ϕ = 0,(5.15)2dtгде циклическая частота колебаний определяется из соотношения1 mgl + m0 gl0 2.ω02 = J′Так как ω 0 = 2π T , то1 2 mgl + m0 gl0 T2 .J′ = (5.16)4π 2Определив период колебаний рамки без тела T0 , можно найтимомент инерции маятника без тела J 0 .Для момента инерции исследуемого тела относительно фиксированной оси вращения получаем: J = J ′ − J 0 , илиЛабораторный практикум по механике твердого тела68122 mgl + m0 gl0 ⋅ T − T02J=.(5.17)4π 2Пользуясь этой формулой, можно определять моменты инерциитела относительно произвольных осей.В частности, для параллелепипеда можно определить J x , J y , J z()для осей , совпадающих с главными центральными осями (рис.18),а также момент инерции относительно оси, совпадающей с однойиз диагоналей параллелепипеда — например AG, выразивJ x , J y , J z , J AG в соответствии с (5.17) через периоды колебанийTx , Ty , Tz , TAG и период колебаний пустой рамки T0 .Выразим момент инерции тела относительно оси AG в соответствии с уравнением (5.9) через J x , J y , J z :РассматриваяколебанияцилиндраотносительноосейOy, Oz , MN можно найти величины J y , J z , J MN определяя, соответст-венно, периоды колебаний Ty , Tz , TMN .Рассмотрим колебания цилиндра относительно оси MN(рис.19).
Направляющие косинусы для этой оси равныd24R22cos 2 γ =,cosβ=, cos 2 α = 0 ,(5.19)4R2 + d 24R2 + d 2где R — радиус цилиндра, d — его длина.Момент инерции цилиндра относительно оси MN , как и в предыдущем уравнении, можно выразить через компоненты тензораинерции J z , J y , записанного в главных осях (см.5.5):J MN = J y cos 2 β + J z cos 2 γ ,(5.20)и, следовательноJ AG = J x cos 2 α + J y cos 2 β + J z cos 2 γ ,2TMNили mgl + 1 m gl ⋅ T 2 − T 2 mgl + 1 m gl ⋅ T 2 − T 20 0AG00 0x022=cos2 α +224π4π()()112222 mgl + m0 gl0 ⋅ Ty − T0 mgl + m0 gl0 ⋅ Tz − T022+cos 2 β +cos 2 γ .4π 24π 2()()Учитывая, что сумма квадратов направляющих косинусов равнаединице, получаем2TAG= Tx2 cos 2 α + Ty2 cos 2 β + Tz2 cos 2 γ ,или2TAG=a 2Tx2 + b 2Ty2 + c 2Tz2a2 + b2 + c2.Это уравнение может быть проверено экспериментально.(5.18)=Ty2 ⋅ 4 R 2 + Tz2 d 24R2 + d 2.(5.21)Отметим, что уравнение (5.14) было записано без учета сил трения в оси маятника.
Это обстоятельство, однако, практически несказывается на уравнении (5.17), так как силы трения слабо влияютна период колебаний физического маятника.Измерения1. Для выполнения работы необходимо измерить массы и размеры тел: радиус R и длину d цилиндра, ребра параллелепипедаa, b, c, а также массу груза m , массу и длину стержня m0 , l0 .
Рекомендуется проводить измерения каждой величины не менее трехраз, а линейные величины измерять в различных сечениях тела.Данные заносят в табл.5.5.2. Дополнительный груз закрепляют в крайнем нижнем положении. Параллелепипед закрепляют в рамке в разных положениях иизмеряют время t n , n = 3–5 колебаний маятника. Для каждого положения тела проводят не менее трех измерений. Значения n и t nзаносят в таблицу 5.6.Лабораторный практикум по механике твердого тела70Обработка результатовТаблица 5.5ПараметрNR< R >, S < R >Исследуемое телоЦилиндрПараллелепипед123123mm0l01. Определяют средние арифметические значения и среднеквадратичные отклонения для размеров цилиндра и параллелепипеда иих погрешности.
Результаты заносят в табл. 5.8.Таблица 5.8a, Sab, Sbc, ScR, SRd, Sdd< d >, S < d >2. Находят средние значения периодов колебаний параллелепипеда Tx , Ty , Tz , TAG . Находят погрешности этих величин. Результатыa< a >, S< a >b< b >, S<b >c< c >, S < c >заносят в табл. 5.9.Таблица 5.9< Tx >, S<Tx >Таблица 5.6Характеристики колебательного движения параллелепипедаNnxtnxTxnytnyTynztnzTznAGtnTAG3. Измеряют время t n 0 3–5 колебаний рамки без тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
