Примерная программа дисциплины Мат. Анализ 1 курс (1108251), страница 2
Текст из файла (страница 2)
10. Дифференцирование функций нескольких переменных
Частные производные. Понятие дифференцируемости функции и связь с существованием частных производных. Первый дифференциал функции нескольких переменных. Геометрический смысл дифференцируемости функции двух переменных. Дифференцируемость сложных функций и инвариантность формы записи первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент функции, его геометрический смысл. Касательная плоскость и нормаль к поверхности уровня функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Условия равенства смешанных частных производных. Формула Тейлора. Выражение остаточного члена формулы Тейлора в форме Лагранжа, в интегральной форме, в форме Пеано.
11. Неявные функции, зависимость и независимость функций
Понятие неявной функции, определяемой функциональным уравнением. Локальная теорема о существовании и единственности непрерывной и дифференцируемой неявной функции. Вычисление частных производных второго порядка от неявной функции. Система неявных функций, определяемая системой функциональных уравнений. Локальная теорема о существовании и единственности системы дифференцируемых неявных функций, определяемых системой функциональных уравнений. Вычисление частных производных системы неявных функций. Зависимость и независимость системы функций. Достаточные условия независимости системы функций. Функциональные матрицы (матрицы частных производных системы функций) и их применение для определения зависимости и независимости входящих в систему функций.
12. Локальный экстремум (условный и безусловный) функции нескольких переменных
Понятие локального экстремума функции нескольких переменных. Необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия существования локального экстремума. Случай функции двух переменных. Понятие условного экстремума функции нескольких переменных при наличии системы условий связи. Необходимые условия существования условного локального экстремума. Метод Лагранжа отыскания условного локального экстремума. Интерпретация необходимых условий существования условного локального экстремума по методу Лагранжа. Достаточные условия условного локального экстремума. Общая схема отыскания наибольшего (наименьшего) значения функции нескольких переменных в замкнутой области.
13. Числовые ряды
Основные понятия, ряды с неотрицательными членами. Понятие числового ряда. Частичная сумма, остаток, сходимость. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимый признак сходимости числового ряда.
Признаки сравнения (общие и специальные) сходимости знако-положительных рядов. Признак сравнения отношений. Гармонический ряд. Обобщённый гармонический ряд (ряд Дирихле). Признаки сходимости Даламбера и Коши, их сравнение между собой. Интегральный признак Коши-Маклорена. Признак Раабе. Отсутствие универсального признака сходимости.
Произвольные числовые ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Теорема Коши и теорема Римана о перестановке членов абсолютно и условно сходящихся числовых рядов. Первый и второй признаки сходимости Абеля. Признак Дирихле-Абеля. Признак Лейбница. Условная сходимость ряда Лейбница. Арифметические операции над сходящимися рядами.
14. Бесконечные произведения, двойные и повторные ряды
Понятие бесконечного произведения. Сходимость и расходимость бесконечного произведения. Необходимый признак сходимости бесконечного произведения. Связь с рядами, критерий сходимости бесконечного произведения. Некоторые примеры бесконечных произведений.
Понятие о двойных и повторных рядах. Необходимый признак сходимости двойного ряда. Абсолютная и условная сходимость. Условия одновременной абсолютной сходимости двойного и связанных с ним повторных и обычных (одинарных) рядов. Некоторые примеры двойных и повторных рядов.
15. Лабораторный практикум/практикум на ЭВМ.
(Приводится примерный перечень лабораторных работ с указанием разделов дисциплины. Если лабораторный практикум не предусматривается, то делается запись «не предусмотрен»).
Не предусмотрен.
4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ.
(Приводится примерный перечень тем практических занятий с указанием разделов дисциплины. Если практические занятия не предусматриваются, то делается запись «не предусмотрены»).
4.1 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ, I СЕМЕСТР1
1. Вещественные числа
1 занятие. Вводное. Метод математической индукции. Бином Ньютона. Доказательство равенств и неравенств.
№№ 2, 1, 6, 2, 3, 4, 5.
Дома: 7,10 (а,б,в){10.1(а,б,в)},6, 7, 8, 9.
2 занятие. Ограниченные и неограниченные, счётные и несчётные числовые множества. Точные верхние и нижние грани.
№№ 18(а), 19(а), 20(а), 21(а), 10, 11, 28, 29.
Дома: 16,18(б), 19(б), 20(б), 21(б), 30.
2. Предел числовой последовательности
3 занятие. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые, бесконечно большие последовательности. Предел последовательности.
42(а,в), 43(а,б), 41, 44, 45, 47, 51, 91.
Дома: 42(б,г), 43(в), 46, 48, 56, 57.
4 занятие. Предел последовательности. Предел монотонной последовательности. Число е.
№№ 60, 61, 63, 65, 66, 69,70, 72.
Дома: 58, 59, 62, 64, 67, 68, 73, 74.
5 занятие. Предел монотонной последовательности. Критерий Коши существования предела последовательности.
№№ 75(а), 77, 80, 81, 82, 84, 85, 87, 88, 92.
Дома: 76, 79, 83, 86, 94, 90, 97, 98, 100.
6 занятие. Предельные точки последовательности и множества.
№№ 101(а,б){101,101.1}, 103, 106, 116, 121, 122, 128, 129.
Дома: 102, 104, 105, 108, 111, 114, 117, 123, 127, 130.
7 занятие. Верхние и нижние пределы последовательности.
№№ 131(а), 132(а), 133(а), 135, 136, 138, 140.
Дома: 131(б), 132(б), 133(б), 134, 137, 139, 141, 142, 143, 144.
8 занятие. Контрольная работа №1.
Вещественные числа. Пределы последовательности.
3. Предел и непрерывность функции одной переменной
9 занятие. Функция одной переменной. Предел функции. Условия его существования.
№№ 381, 383, 386, 401, 409, 403, 404.
Дома: 382, 384, 388, 389, 397, 399, 405-407, 408.
10 занятие. Вычисление пределов функций.
№№ 411, 413, 424(а){424},435, 444, 452, 463, 471, 483, 493, 513, 519(а){519}.
Дома: 410, 424(б){424.1}, 436, 439, 455.1, 469, 472, 482, 495, 506, 507, 519(б){519.1}.
11 занятие. Продолжение вычисления пределов. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Асимптотическое сравнение функций: о- и О-символика, эквивалентность.
№№ 529, 541, 561, 564, 646, 647, 648, 650(a,б), 651 (а,б), 655(в,г,д), 658(б,г,д). Дома: 535, 542, 552, 563, 565, 652, 653, 656, 659, 660, 661.
12 занятие. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва. Равномерная непрерывность.
№№ 666, 668, 680, 683, 686, 734, 735, 736, 741, 742, 743, 744, 748, 751.
Дома: 670, 674, 681, 682, 694, 698, 707, 720, 726, 740, 745, 746, 749, 757.
13 занятие. Контрольная работа №2.
Предел и непрерывность функции.
14 занятие. Коллоквиум: Вещественные числа. Предел последовательности. Предел и непрерывность функции.
4. Дифференцирование функций одной переменной
15 занятие. Производная и дифференциал. Основные правила вычисления. Производные функций, заданных параметрически, обратных и сложных функций.
№№ 991, 994, 997, 998, 1016, 1071, 1075, 762, 763, 764, 765, 781, 1077.
Дома: 992, 1009(1,2){1009,1009.1}, 1014, 1015, 1019, 1020, 1076, 1079, 1081, 1082.
16 занятие. Производные и дифференциалы высших порядков.
№№1130, 1136, 1143, 1161, 1173, 1197, 1211.
Дома: 1133, 1142, 1165, 1175, 1198, 1212.
17 занятие. Основные свойства дифференцируемых функций. Равномерная непрерывность.
№№ 787, 788, 792, 794, 1251(б), 1254, 1264(а), 1286, 1287.
Дома: 789, 793, 796, 800, 1236, 1250, 1251(а,в), 1255, 1263.
18 занятие. Раскрытие неопределённостей – правила Лопиталя.
№№ 1322, 1330, 1336, 1341, 1351, 1356, 1363(б){1363.2}, 1377.
Дома: 1343, 1348, 1354,1359, 1363(г){1363.3}, 1368.
19 занятие. Формула Тейлора.
№№ 1381, 1385, 1393, 1396(д), 1394(б), 1402, 1406(б){1406.1}.
Дома: 1379, 1382, 1387, 1392, 1394(а,в), 1396(а), 1398, 1404, 1408.
20 занятие. Контрольная работа №3.
Свойства дифференцируемых функций одной переменной.
5. Интегрирование функций одной переменной
21 занятие. Первообразная и неопределённый интеграл. Основные правила интегрирования.
№№ 1646, 1652, 1683, 1720, 1745, 1767, 1794, 1796, 1836.
Дома: 1638, 1648, 1650, 1682, 1698, 1703, 1719, 1799, 1805.
22 занятие. Интегрирование рациональных функций (дробей).
№№ 1867, 1881, 1891, 1908, 1913.
Дома: 1870, 1877, 1886, 1882, 1892, 1903, 1909.
23 занятие. Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений.
№№ 1926, 1937, 1967, 1991, 1999, 2011, 2013, 2025, 2038.
Дома: 1927, 1966, 1992, 2000, 2012, 2017, 2028, 2034.
24 занятие. Контрольная работа №4. Неопределённый интеграл (возможна домашняя контрольная работа с увеличением количества задач).
4.2 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ, II СЕМЕСТР:
6. Исследование функции и построение её графика
1 занятие. Возрастание и убывание функции. Направление выпуклости. Точки перегиба графика функции. Асимптоты.
№№ 1272, 1280, 1287, 1288, 1289 (а), 1297(а), 1303, 1308, 1312, 1314(а).
Дома: 1270, 1276, 1284, 1285,1289(б,д), 1291, 1306, 1314(б,в).
2 занятие. Локальные экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве.
№№ 1420, 1425, 1432, 1447, 1453, 1462, 1561.
Дома: 1417, 1423, 1426, 1428, 1437, 1452, 1456, 1557, 1565, 1575.
3 занятие. Построение графиков (декартовы, полярные, параметрические координаты).
№№ 1471, 1477, 1483, 1532, 1541, 1546, 1548.
Дома: 1490, 1500, 1513, 1531, 1535, 1542, 1547, 1550.
Выдача контрольного домашнего задания (КДЗ) №1.
7. Определённый интеграл Римана
4 занятие. Определённый интеграл. Основные понятия. Вычисление определённых интегралов.
№№ 2185, 2195, 2197, 2201, 2206, 2211, 2219, 2239, 2245, 2257, 2281, 2309, 2313.
Дома: 2181, 2203, 2213, 2222, 2223, 2242, 2279, 2286, 2310.
5 занятие. Оценки интегралов, теоремы о среднем.
№№ 2316(а), 2317(а,в), 2318(а), 2321, 2323, 2324, 2326.1(а), 2328, 2331, 2333.
Дома: 2316 (б,в), 2317(б), 2318(г), 2326.1 (б), 2330, 2332.
Дополнительно: №№ 1, 2 (см. список дополнительных задач для 2-го семестра).
6 занятие. Несобственные интегралы.
№№ 2334, 2357(а), 2358, 2363, 2366, 2369, 2370 (а), 2376 (а), 2374.
Дома: 2347, 2357(в,г), 2359, 2364, 2370 (б), 2371, 2376 (б), 2368, 2372, 2375.
Дополнительно: №№ 3, 4, 5, 6, 7, 8.
7 занятие. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
№№ 2378, 2381, 2380 (а), 2390, 2393.
Дома: 2379, 2380 (в), 2383, 2384.1, 2392, 2395.
Дополнительно: 9, 10, 11, 12, 13, 14.
8 занятие. Контрольная работа №1.
Коллоквиум (не обязателен, по просьбе студентов) – вне расписания занятий.
9 занятие. Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
№№ 2397, 2403, 2413, 2418, 2424, 2426.
Дома: 2399, 2402, 2415, 2422 (б), 2425 (а,б,в).
10 занятие. Применение определённого интеграла к вычислению длин дуг кривых.
№№ 2432, 2435, 2443, 2446, 2452 (а).
Дома: 2436, 2438, 2442, 2448, 2450, 2452 (б).
11 занятие. Применение определённого интеграла к вычислению объёмов и площадей поверхностей.
№№ 2462, 2471, 2480, 2482.1 (а).
Дома: 2463, 2465, 2472, 2479, 2481.1 (б).
8. Функции нескольких переменных
12 занятие. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
№№ 3182, 3183, 3185, 3188, 3195, 3202, 3206.
Дома: 3168, 3181, 3187, 3190, 3198, 3203 (1,2).
13 занятие. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных.
№№ 3212(1,2), 3213, 3217, 3237, 3251, 3252, 3254.
Дома: 3212(3), 3219, 3224, 3228, 3239, 3241, 3253, 3255.
Дополнительно: №№ 15, 16, 17.
14 занятие. Дифференцируемость сложной функции. Производные и дифференциалы высших порядков.
№№ 3230.1, 3257, 3262, 3269, 3273, 3284, 3297, 3295, 3305.
Дома: 3230.2, 3260, 3263, 3270, 3277, 3283, 3285, 3298, 3307.
Дополнительно: №№ 18, 19, 20, 21.
15 занятие. Контрольная работа №2
16 занятие. Формула Тейлора. Различные представления остаточного члена.
№№ 3581, 3585, 3587, 3593, 3596, 3600.
Дома: 3582, 3588, 3594, 3595, 3603.
Дополнительно: № 22(а,б,в,г).
17 занятие. Дифференцирование неявных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
