21 (1108020)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки»1 семестр 2015/2016Лекция 211Двоичные деревья поискаПроблема: организовать хранилище данных, которое позволяетхранить большие объемы данных и предоставляет возможностьбыстро находить и модифицировать данные.Хранилище данных обеспечивает пользователю интерфейс, вкотором определены словарные операции: search (найти, иногданазывается fetch), insert (вставить) и delete (удалить).Также предоставляется один или несколько вариантов обходахранилища (посещения всех данных).Варианты решения – деревья поиска, хеширование2Двоичные деревья поискаСтруктура для представления узла двоичного дерева поиска:struct BT_node {int key;struct BT_node *left;struct BT_node *right;struct BT_node *parent;}Ключи в двоичном дереве поиска хранятся с соблюдениемсвойства упорядоченности:Пусть x – произвольный узел двоичного дерева поиска.Если узел y принадлежит левому поддереву, тоkey[y] < key[x],если y находится в правом поддереве узла x, тоkey[y] > key[x].Возможно хранение дублирующихся ключей (нестрогиенеравенства), не рассматривающееся в данном курсе3Двоичные деревья поиска: поиск узлаНа входе: искомый ключ k и указатель root на корень поддерева,в котором производится поиск.На выходе: указатель на узел с ключом key (если такой узелесть), либо пустой указатель NULL.struct BT_node *Btsearch (struct BT_node *root, int k){if (! root || root->key == k)return root;if (k < root->key)return Btsearch (root->left, k);elsereturn Btsearch (root->right, k);}4Двоичные деревья поиска: поиск узлаИтеративная версия поиска.struct BT_node *Btsearch (struct BT_node *root, int k){struct BT_node *p = root;while (p && p->key != k)if (k < p->key)p = p->left;elsep = p->right;return p;}Время поиска O(h), где h – высота дерева.5Двоичные деревья поиска: минимум и максимумНа входе: указатель root на корень поддерева.На выходе: указатель на узел с минимальным ключом k.struct BT_node *Btmin (struct BT_node *root){struct BT_node *p = root;while (p->left)p = p->left;return p;}Время выполнения O(h), где h – высота дерева.6Двоичные деревья поиска: следующий элементНа входе: указатель node на узел дерева.На выходе: указатель на следующий за node узел дерева.struct BT_node *Btsucc (struct BT_node *node) {struct BT_node *p = node, *q;/* I случай: правое поддерево узла не пусто */if (p->right)return Btmin (p->right);/* II случай: правое поддерево узла пусто,идем по родителям до тех пор, пока не найдемродителя, для которого наше поддерево левое */q = p->parent;while (q && p == q->right) {p = q;q = q->parent;}return q;}Время выполнения O(h), где h – высота дерева.7Связь с симметричным порядком обхода и прошитыми деревьями.Двоичные деревья поиска: вставкаНа входе: указатель root на корень дерева и указатель node нановый узел, у которого есть значение ключа, а все поля суказателями имеют значение NULL.struct BT_node * Btinsert (struct BT_node *root,struct BT_node *node) {struct BT_node *p, *q;p = root, q = NULL;while (p) {q = p;p = (node->key < p->key) ? p->left : p->right;}node->parent = q;if (q == NULL)root = node;else if (node->key < q->key)q->left = node;elseq->right = node;return root;}8Двоичные деревья поиска: удалениеНа входе: указатель на корень root дерева T иуказатель на узел n дерева T.На выходе: двоичное дерево T с удаленным узлом n(ключи нового дерева по-прежнему упорядочены).Необходимо рассмотреть три случая: (1) у узла n нет детей(листовой узел); (2) у узла n только один ребенок;(3) у узла n два ребенка.(1) просто удаляем узел n;(2) вырезаем узел n, соединив единственного ребенкаузла n с родителем узла n.(3) находим succ(n) и удаляем его, поместив ключsucc(n) в узел n.9Двоичные деревья поиска: удалениеШаг 1: если у n меньше двух детей, удаляем n, иначе удаляемsucc(n); устанавливаем указатель y на удаляемый узел.Шаг 2: находим ребенка удаляемого узла (ребенка либо нет,либо он единственный) и устанавливаем на него указатель x.Шаг 3: подвешиваем ребенка y (указатель x) к родителю y;если у y нет родителя, новым корнем дерева становится x;устанавливаем в соответствующем поле родителя указатель наx, полностью исключая y из дерева.Шаг 4: если удаляемый узел succ(n), заменяем данные узла n наданные узла succ(n).10Двоичные деревья поиска: удалениеstruct BT_node * BTdelete (struct BT_node **root,struct BT_node *n) {struct BT_node *x, *y;/* Шаг 1: y – указатель на удаляемый узел n */y = (! n->left || ! n->right) ? n : BT_succ (n);/* Шаг 2: x – указатель на ребенка y, либо NULL */x = y->left ? y->left : y->right;/* Шаг 3: если x – ребенок y, вырезаем y из родителей */if (x)x->parent = y->parent;/* Шаг 3: если у y нет родителя, новым корнем дерева становится x */if (! y->parent)*root = x;else {/* Шаг 3: x присоединяется к y->parent с требуемой стороны */if (y == y->parent->left)y->parent->left = x;elsey->parent->right = x;}<...>11Двоичные деревья поиска: удалениеstruct BT_node * BTdelete (struct BT_node **root,struct BT_node *n) {struct BT_node *x, *y;<...>/* Шаг 4: если удалялся не узел n, а succ(n), необходимозаменить данные узла n на данные узла succ(n) */if (y != n)n->key = y->key;/* функция возвращает указатель удаленного узла, чтодает возможность использовать этот узел в другихструктурах, либо очистить занимаемую им память */return y;}Время выполнения O(h), где h – высота дерева.12Построение двоичного дерева поискаПостановка задачи.

Пусть имеется множество K из m ключей:K = {k0, k1, …, km-1}Разбиение K на три подмножества K1, K2, K3:|K2 | = 1, |K1| ≥ 0, |K3| ≥ 0.K2 = {k} ⇒ ∀l∈ K1: l < k и ∀r∈ K3: r ≥ kДалее по рекурсии: разбиваемK1 на K11, K12, K13K3 на K31, K32, K33и т.д. пока ключи не кончатсяПример:K = {15,10,1,3,8,12,4}.Первое разбиение: {1,3,4}, {8}, {15,10,12};второе разбиение: {{1}{3}{4}}{8}{{10}{12}{15}}.Получилось полностью сбалансированное двоичное дерево.Определение.

Дерево называется полностьюсбалансированным (совершенным), если длина пути от корнядо любой листовой вершины одинаковаи все внутренние вершины имеют двоих сыновей.13Построение двоичного дерева поискаПусть h – высота полностью сбалансированного двоичногодерева. Тогда число вершин m должно быть равно:m = 1 + 2 + 22 + … + 2h-1 = 2h – 1откуда h = log2(m + 1).Если все m ключей известны заранее, их можно отсортироватьза O(m⋅log2m), после чего построение сбалансированногодерева будет тривиальной задачей.Если дерево строится по мере поступления ключей,то возможны все варианты: от линейного дерева с высотой O(m)до полностью сбалансированного дерева с высотой O(log2m).Пусть T = {root, left, right} – двоичное дерево; тогдаhT = max(hleft, hright) + 1.14Деревья ФибоначчиЧисла Фибоначчи возникли в решении задачи о кроликах,предложенном в XIII веке Леонардо из Пизы, известным какФибоначчи.Задача о кроликах: пара новорожденных кроликов помещенана остров.

Каждый месяц любая пара дает приплод – также парукроликов.Пара начинает давать приплод в возрасте двух месяцев.Сколько кроликов будет на острове в конце n-го месяца?В конце первого и второго месяцев на острове будет одна паракроликов:f1 = 1, f2 = 1.В конце третьего месяца родится новая пара, так чтоf3 = f2 + f1 = 2.По индукции можно доказать, что для n ≥ 3fn = fn-1 + fn-2.15Деревья Фибоначчиn-е число Фибоначчи вычисляет следующая функция:int Fbn (int n) {if (n == 1 || n == 2)return 1;else {int g, h, k, Fb;g = h = 1;for (k = 2; k < n; k++) {Fb = g + h;h = g;g = Fb;}return Fb;}}16Деревья ФибоначчиОпределение дерева Фибоначчи(это тоже искусственное дерево).(1)(2)Пустое дерево – это дерево Фибоначчи с высотой h = 0.Двоичное дерево, левое и правое поддерево которогоесть деревья Фибоначчи с высотами соответственноh – 1 и h – 2 (либо h – 2 и h – 1), есть деревоФибоначчи с высотой h.Из определения следует, что в дереве Фибоначчизначения высот левого и правого поддерева отличаютсяровно на 1.17Деревья ФибоначчиПример.

Дерево Фибоначчи с h = 6.131885113274610916151220171914118Деревья ФибоначчиТеорема 1. Число вершин в дереве Фибоначчи Fh высоты hравно m(h) = fh+2 – 1.Доказательство (по индукции).h = 0:m(0) = f2 – 1 = 0m(1) = f3 – 1 = 1.Шаг: по определению m(h) = m(h – 1) + m(h – 2) + 1.Имеем m(h) = (fh+1 – 1) + (fh – 1) + 1 = fh+2 – 1,так как fh + fh + 1 = f h + 219Деревья ФибоначчиТеорема 2. Пусть C1 и C2 таковы, что уравнениеr2 – C1r – C2 = 0имеет два различных корня r1 и r2 , r1 ≠ r2.Тогда дляan = α1r1n + α2r2nвыполняется соотношениеan = C1an-1 + C2an-2 .(*)Доказательство. r1 и r2 – корни уравнения (*),тоr12 = C1r1 + C2r22 = C1r2 + C2.Имеем:C1an-1 + C2an-2 = C1(α1r1n-1 + α2r2n-1) + C2(α1r1n-2 + α2r2n-2) == α1r1n-2 (C1r1 + C2) + α2r2n-2 (C1r2 + C2) == α1r1n-2 r12 + α2r2n-2 r22 = α1r1n + α2r2n = an(**)Теорема доказана.20Деревья ФибоначчиТеорема 3.

Пусть C1 и C2 таковы, что уравнениеr2 – C1r – C2 = 0имеет два корня r1 и r2 , r1 ≠ r2.(*)Тогдаиз an = C1an-1 + C2an-2 и начальных условий а0 и а1следует an =α1r1n + α2r2nдля n = 1, 2, ...Доказательство. Нужно не только повторить в обратномпорядке вывод (**), но и подобрать такие α1 и α2, чтобыа0 = α1 + α2, а1 = α1r1 + α2r2(***)Рассматривая (***) как систему линейных уравненийотносительно α1 и α2, получим:α1 =a1 − a0 ⋅ r2,r1 − r2Теорема доказана.− a1 + a0 ⋅ r1α2 =r1 − r221Деревья ФибоначчиПрименим доказанные теоремы к числам Фибоначчи:fn = fn-1 + fn-2.Уравнение r2 – r – 1 = 0 имеет корни1− 51+ 5r2 =r1 =22Следовательно, согласно теореме 3nn1− 5 1+ 5  ,αf n = α1 ⋅ r + α 2 ⋅ r = α1 ⋅ +⋅2 2  2 f 0 = α1 + α 2 = 0,n1n21− 5 1+ 5  =1 + α2 ⋅ f1 = α1 ⋅ 2211,α 2 = −α1 =5522Деревья ФибоначчиОткудаn1 1+ 5 1 1− 5  −fn =⋅ ⋅ 5  2 5  2 nСогласно теореме 1m( h ) = f h + 21 1+ 5 −1 =5  2 1 1− 5 5  2 h+ 21 1− 5 −5  2 h+ 2−1h+2<11 1+ 5 m( h ) + 1 >5  2 h+ 223Деревья Фибоначчи1+ 5Обозначение γ =21 h+2m( h) + 1 > γ5(****)Логарифмируя обе части (****) , получаемh+2<откудаlog 2 (m + 1) log 2 5+log 2 γlog 2 γh < 1,44 ⋅ log 2 (m + 1) − 0,32Таким образом, мы доказали, что для деревьев Фибоначчи с числомвершин m количество сравнений в худшем случае не превышает1,44 ⋅ log 2 (m + 1) − 0,3224.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций