11 (1108010)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Курс «Алгоритмы и алгоритмические языки»1 семестр 2015/2016Лекция 111Поразрядные операции& (поразрядное И)| (поразрядное включающее ИЛИ)^ (поразрядное исключающее ИЛИ)<< (сдвиг влево)>> (сдвиг вправо)Беззнаковое число – заполнение нулямиЗнаковое число – заполнение значениемзнакового разряда («арифметический сдвиг»)или нулями («логический сдвиг»)~ (дополнение до 1, или инверсия)2Тип «степень множества» (булеан)Пусть U − множество. Множество всех подмножеств множестваU называется степенью множества U.Пусть B − степень конечного множества U.

Тогда B = 2 U .Характеристической функцией χC подмножества C множества Uназывается функция, принимающая значение 1 на элементах U,входящих в состав C, и значение 0 на остальных элементах U.Множества удобно задавать через их характеристическиефункции. При этом в зависимости от количества элементовбазового множества U его характеристическая функция,кодированная битами целого типа, может иметь типunsigned char (если |U| ≤ 8)unsigned int (если |U| ≤ 32)unsigned long long (если |U| ≤ 64)3Тип «степень множества»Пример.

Пусть U = {r, o, y, g, c, b, v, w}. Тогда егоподмножества задаются переменными типаUB=2unsigned char:{} задается значением 00000000,{r, y, g} – значением 10110000{r, o, y, g, c, b, v, w}– значением 11111111буквы r, o, y, g, c, b, v, w являются первыми буквами семи цветовспектра и белого цвета:r – redc – cyano – orangeb – bluey – yellowv – violetg – greenw – white4Реализация операций над множествами с помощьюпоразрядных операций& (поразрядное И) соответствует пересечениюмножеств:B = {r, y, g, b, w}, C = {r, o, y, g, v}χB = 10110101, χC = 11110010χB & χC = 10110101 & 11110010 = 10110000B ∩ C = {r, y, g}5Реализация операций над множествами с помощьюпоразрядных операций| (поразрядное включающее ИЛИ) соответствуетобъединению множеств:B = {r, y, g, b, w}, C = {r, o, y, g, v}χB = 10110101, χC = 11110010χB | χC = 10110101 | 11110010 = 11110111B ∪ C = {r, o, y, g, b, v, w}6Реализация операций над множествами с помощьюпоразрядных операций~ (инверсия) соответствует дополнению домножества U:B = {r, y, g, b, w}χB = 10110101χ~B = 01001010~ B = {o, c, v}7Вычисления с плавающей точкойПредпосылки: дробные двоичные числаСтандарт арифметики с плавающей точкой IEEE 754:ОпределениеПример и свойстваОкругление, сложение, умножениеПлавающие типы языка СиВыводы8Дробные двоичные числаЧто такое 1011.1012 ?1× 23 + 0 × 2 2 + 1× 21 + 1× 20 + 1× 2 −1 + 0 × 2 −2 + 1× 2 −3 =5= 11 = 11.62589Дробные двоичные числаЧерное пятнышко – двоичная точкаБиты слева от точки умножаются на положительные степени 2Биты справа от точки умножаются на отрицательные степени 210Дробные двоичные числа0.111111…2 = 1.0−ε (ε →0), так как1 + 1 + 1 + ...

+ 1 n + ... → 12482при n → ∞xТочно можно представить только числа видаОстальные рациональные числа представляютсяпериодическими двоичными дробями:2k1 = 0.(0011)25Иррациональные числа представляютсяапериодическими двоичными дробями и могут бытьпредставлены только приближенно11Представление чисел с плавающей точкой (IEEE 754)Числа с плавающей точкой представляются внормализованной форме: (-1s) M 2es – код знака числа (он же знак мантиссы)M – мантисса ( 1 ≤ M < 2 )e – (двоичный) порядокПервая цифра мантиссы в нормализованном представлениивсегда 1. В стандарте принято решение не записывать впредставление числа эту единицу (тем самым мантисса как быувеличивается на разряд).Экономия связана с тем, что в представление числазаписывается не M, а frac = M – 112Представление чисел с плавающей точкойЧтобы не записывать отрицательных чисел в полепорядка, вводится смещение bias = 2 k −1 − 1 , где k –количество бит в поле для записи порядка, и вместопорядка e записывается код порядка exp, связанныйс e соотношением e = exp – bias.Нормализованное число (-1s) M 2e упаковывается вмашинное слово (структуру) с полями s, frac и expШирина поля s всегда равна 1.Ширина полей exp и frac зависит от точности числа13Представление чисел с плавающей точкойОдинарная точность (32 бита):8 битbias = 127;-126 ≤ e ≤ 127 ;1 ≤ exp ≤ 254Двойная точность (64 бита):11 битbias = 1023;23 бита52 бита-1022 ≤ e ≤ 1023 ;1 ≤ exp ≤ 2046Повышенная точность (80 бит):15 бит64 бита14Представление чисел с плавающей точкойПример Значениеfloat f = 15213.01521310 =111011011011012 =1.11011011011012 × 213 Значащая частьM= 1.11011011011012,frac =110110110110100000000002 Порядокe=bias =exp =13127140 = 100011002 Результат15Представление нуляДля типа float код порядка exp изменяетсяот 00000001 до 11111110(значению 00000001 соответствует порядок e = - 126,значению 11111110 – порядокe =127)Код exp = 00000000, frac = 000…0представляет нулевое значение; в зависимости отзначения знакового разряда s это либо +0 либо -0А какое значение представляют кодыexp = 00000000, frac ≠ 000…0?exp = 11111111?16Большие числаПусть exp = 111…1если при этом frac = 000…0, то коду будетсоответствовать значение ∞ (со знаком s)если же frac ≠ 000…0, то код не будетпредставлять никакое число(«значение», представляемое таким кодом, так иназывается: «не число» – NaN – Not a number)17Денормализованные числаЭто числа, представляемые кодамиexp = 00000000, frac ≠ 000…0exp вносит в значение такого числа постоянныйвклад 2-k-2,frac меняется от 000…01 до 111…1 ирассматривается уже не как мантисса, а какзначение, умножаемое на expРассмотрим это на модельном примере:188-разрядные числа с плавающей точкой (положительные)198-разрядные числа с плавающей точкойЦентральная область более крупно20Важные частные случаиexpfracЧисленное значение Нуль00…0000…000.0 Наим.

положит. денорм. float ≈ 1.4×10-45 double ≈ 4.9×10-32400…0000…01 Наиб. положит. денорм. float ≈ 1.18×10-38 double ≈ 2.2×10-30800…00 Наим. положит. норм. float double00…01 Единица01…11 Наиб. положит. норм. float ≈ 3.4×1038 double ≈ 1.8×103082-23×2-1262-52×2-102211…11(1.0 - ε)×2-126(1.0 - ε)×2-102200…001.0×2-1261.0×2-102200…001.0(2.0 - ε)×2127(2.0 - ε)×2102321Операции над числами с плавающей точкойx + FP y = Round ( x + y )x × FP y = Round ( x × y )где Round() означает округлениеВыполнение операцииСначала вычисляется точный результат(получается более длинная мантисса, чемзапоминаемая, иногда в два раза)Потом фиксируется исключение(например, переполнение)Потом результат округляется, чтобыпоместиться в поле frac22Умножение чисел с плавающей точкой( −1) s1 ⋅ M 1 ⋅ 2e1 × ( −1) s 2 ⋅ M 2 ⋅ 2e 2Точный результат ( −1) s ⋅ MЗнак sЗначащие цифры MПорядок eПреобразованиеЕсли M ≥ 2, сдвиг M вправо с одновременнымувеличением еЕсли е не помещается в поле exp,переполнениеОкругление M, чтобы оно поместилосьв поле fracОсновные затраты на перемножение мантисс23⋅ 2es1 ∧ s2M1 × M2e1+ e2Сложение чисел с плавающей точкой( −1) s1 ⋅ M 1 ⋅ 2e1 + ( −1) s 2 ⋅ M 2 ⋅ 2e 2Пусть e1 > e2Точный результат(−1) s ⋅ M ⋅ 2eЗнак s и значащиецифры M вычисляются как показанона рисункеПорядок суммы – e1ПреобразованиеЕсли M ≥ 2, сдвиг M вправо с одновременнымувеличением еЕсли M < 1, сдвиг M влево на k позицийс одновременным вычитанием k из еЕсли е не помещается в поле exp, переполнениеОкругление M, чтобы оно поместилось в поле frac24Плавающие типы языка Сиfloat, double, long doubleОперации над данными с плавающей точкой.Одноместные: изменение знака («одноместный минус»: –),одноместный плюс (+).Двухместные:сложение (+), вычитание (–), умножение (*),деление (/).Порядок выполнения арифметических операций ввыражениях (приоритет).самый низкий приоритет у двуместных + и –,более высокий приоритет у двуместных * и /,еще более высокий приоритет у одноместных + и –.В выражениях без скобок операции с более высокимприоритетом выполняются раньше.Скобки позволяют изменить порядок выполнения операций.25Пример 1.

Вычисление суммы 5 чисел типа float(мантисса – 6 десятичных цифр, порядок – 2 десятичных цифры):0.231876*1002 + 0.645391*10-03 + 0.231834*10-01 + 0.245383*10-02 +0.945722*10-03 =a) 0.231876*1002 + 0.645391*10-03 + 0.231834*10-01 + 0.245383*10-02 +0.945722*10-03 = 0.232147*1002;23.1876 + 0.000645391 = 23.188245391 = 23.1882 = 0. 231882*1002;23.1882 + 0.0231834 = 23.2113834 = 23.2114 = 0.232114*1002;23.2114 + 0.00245383 = 23.21385383 = 23.2138*1002;23. 2138 + 0.000945722 = 23.214745722 = 23.2147 = 0.232147*1002;b) 0.645391*10-03 + 0.9457*10-03 + 0.245383*10-02 + 0.231834*10-01 +0.231876*1002 = 0.232157*1002;0.000645391 + 0.000945722 = 0.001591113 = 0.00159111 = 0.

159111*10-02;0.00159111 + 0.00245383 = 0.00494493 = 0. 494493*10-02;0.00494493 + 0.0231834 = 0.02812833 = 0.0281283 = 0. 281283*10-01;0.0281283 + 23.1876 = 23.2157283 = 23.2157 = 0.232157*1002;26Пример 2. Вычисление разности плавающих чисел(мантисса – 6 десятичных цифр, порядок – 2 десятичных цифры):0.238617*1002 – 0.238616*1002 + 0.645391*1004 – 0.645392*1004 + 0.845791*1000 –0.835790*1000 =0.238617*1002 – 0.238616*1002 + 0.645391*1004 – 0.645392*1004 +a)0.845791*1000 – 0.835790*1000 = 0.100000*10-050.238617*1002 – 0.238616*1002 = 23.8617 – 23.8616 = 0.0001 = 0.100000*10030.100000*10-03 + 0.645391*1004 = 0.0001 + 6453.91 = 6453.9101 = 0.645391*10040.645391*1004 – 0.645392*1004 = – 0.000001*1004 = – 0.100000*10-01– 0.100000*10-01 + 0.845791*1000 = – 0.01 + 0.845791 = 0.835791 *10000.835791 *1000 – 0.835790*1000 = 0.000001*1000 = 0.100000*10-05b)0.238617*1002 + 0.645391*1004 + 0.845791*1000 – (0.238616*1002 + 0.645392*1004+ 0.835790*1000) = 0.100000*10000.238617*1002 + 0.645391*1004 = 23.8617 – 6453.91 = 6478.6 = 0.647777*10040.647777*1004 + 0.845791*1000 = 6477.77 + 0.845791 = 6478.615791 =0.647862*10040.238616*1002 + 0.645392*1004 = 23.8616 + 6453.92 = 6477.7816 = 6477.78*10046477.78*1004 + 0.835790*1000 = 6477.78 + 0.835790 = 6478.61579 = 0.647852*10040.647862*1004 – 0.647852*1004= 0.000010*1004 = 0.100000*10-0027Выводы(1)При вычислении суммы чисел с одинаковыми знакаминеобходимо упорядочить слагаемые по возрастанию искладывать, начиная с наименьших слагаемых.(2)При вычислении суммы чисел с разными знакаминеобходимо сначала сложить все положительные числа,потом – все отрицательные числа и в конце выполнитьодно вычитание.(3)Вычитание (сложение чисел с противоположными знаками)часто приводит к потере точности, которая у чиселс плавающей точкой определяется количеством значащих цифрв мантиссе (при вычитании двух близких чисел мантисса«исчезает», что ведет к резкой потере точности).Итак, чем меньше вычитаний, тем точнее результат.Значащими цифрами числа с плавающей точкой называются все цифры его мантиссыза исключением нулей, стоящих в ее конце.

Например, у числа 0.67000890000 * 103 всецифры, выделенные жирным шрифтом, значащие. При вычитании двух близких чиселпочти все значащие цифры пропадают. Например, 0.67000890 * 103 - 0.67000880 * 103 =0.00000010 * 103 = 0.10 * 10-4. Таким образом, у результата всего одна значащая цифра,28хотя у операндов было по 7 значащих цифр..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций