Перельман Я.И. - Знаете ли вы физику (1107596), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Мы убедимся, что задачи о бассейнах, два тысячелетия предлагаемые школьникам как элементарные арифметические упражнения, предъявляют на самом деле к учащимся требования, далеко выходящие за пределы азов арифметики. Установим для цилиндрического резервуара (вообще для резервуара с отвесными сгенками) зависимость между продолжительностью Т его наполнения, продолжительностью г его опорожнения и высотою ( постоянного уровня, какого достигает жидкость, если резервуар наливать при открытом выпускном отверстии. Усповнмся относительно обозначений.
Н-- высота уровня жидкости в полном резервуаре; Т- продолжительность наливания до уровня Н; г--продолжи~ельнос~ь опорожнения резервуара с первоначальным уровнем Н; Я --сечение резервуара; с-- сечение выпускного отверстия; ж.--секундная скорость опускания уровня в резервуаре; и- секундная скоросгь вытекающей струи; 1 — -высота постоянного уровня при открьпом от'. ' версгии.
Легко видеть, что если за какую-нибудь секунду времени уровень жидкости опускается на и, то из выпускного отверстия за ту же секунду должен вытечь слой жидкости объемом Яж, равновеликий объему столба гв струи: откуда с в =а —. Х Но скоросп г сгруи жидкости, вытекающей из ' отверстия сосуда, определяется известной формулой '.
Торричелли в= ~2р1, где 7 — — высота уровня, а ускорение тяжести. С другой стороны, скорость в повышения уровня жидкосги прн закрытом выпуск' ном отверстии равна Н~Т. Уровень сделается постоянным, когда скорость его понижения сравняется со 35 скоростью повышения, т. е. когда будет существовазь равенсгво — — /А!, Т Ю откуда высота 1 устанавливающегося уровня равна Н~Б~ (1) 2еТтст Такова предельная высота уровня жидкости в резервуаре, наполняемом при открытом выпускном отверстии.
Формулу эту можно упростить, исключив из нее величины 5, с и я. Опускание уровня в резервуаре с отвесными стенками (при закрытом кране) есть движение равнопеременное, начинающееся со скоростью в и к ончаюп(ееся со скоростью, равной нулю. Ускорение а такого движения определяется из уравнения и:з=2аН, откуда а = и з/2Н. Подставив значение ю из выражения ж=га/Б и имея в виду, что г= /~Н, получаем с'а' гз 2ИН г' 2о 'Н 2о'Н Я~ Далее, для рассматриваемого случая движения ага хсзгт 2 25' ' откуда 2Н~г 2 дг~ Делая подстановку в формуле (1), получаем НьУ Н.
НУ цР 2ХТхгъ 2Та. Кгз 4Тт ' Н' 47 г ' Итак, уровень жидкости в резервуаре должен при рассматриваемых условиях установиться на высоте, Зб составляюшей определенную долю высоты полного резервуара; доля эта определяется формулой г Н = 4 Тг ' Применим теперь выведенную формулу к решению наших задач. а) Продолжительность наполнения Т=8 мин, продолжительность опорожнения /=!2 мип.
Высота ! предельного уровня составляет от высоты рсзервуара и долю 2х / !2 9 Н 48г !б Ванна нальется только на 9,,'!6. Сколько бы ни длилось наливание, после этого уровень повышаться не будет. б) В тгом случае Т=-/=8 мин: / /2 ! Н 4/2 4 Ванна нальется на !/4. в) Здесь Т=-8 мин. /=6 мин: l б 9 Н 4 82 64 Ванна нальется на 9/64.
г) Т=ЗО мин, /=-5 мин: 52 ! Н 4 ЗО !44 Ванна нальется на 1/!44. д) В этом случае /< Т: И 4Т2' Полученное выражение может равняться нулю только при двух условиях: 1) /=О, ТФО. Это значиз.. что ванна опорожняется мгновенно — случай нереальный 87 2) (ФО, Т=со. Это значит, что ванна с закрытым выпускным отверстием наполняется в бесконечно долгий срок, иными словами, секундный приток воды равен нулю, вода не поступает вовсе.
Практически такой случай равносилен тому, что кран закрыт. Итак, если только кран открыт и ванна не опорожняется мгновенно, 1 никогда не равно нулю: слой воды в ванне всегда имеет конечную высоту. При каком же условии ванна с открытым выпускным отверстием может быть наполнена до краев? Очевидно, тогда, когда 1=Н, т. е. когда — =!, (~=47е, (=2Т. 4Тз Значит, если продолжительность наполнения вдвое менее продолжительности опорожнения, ванна и при открытом выпускном отверстии может быть выполнена до краев. Интересно вычислить еще, за какое время достигается тот или иной постоянный уровень.
Задача эта не может быть разрешена средствами элементарной математики„. она требует применения интегрального исчисления. Для интересующихся приводим далее ход вычисления; не знакомые с высшей математикой могут этот вывод пропустить, обратившись сразу к окончательной формуле. Скорость повышения уровня инакости в резервуаре, наполняемом при открытом выпускном отверстии, получится, если нз скорости поднятия уровня пря закрытом отверстии (Н/Т) отнять скорость опускания уровня в непонолняемом резервуаре ((с(к1 (3х, где х — высота уровня в данный момент). Следовательно, скорость повышения уровня в данный момент ях Н с -- = — --,~2кх, ка т з" Ых та= Н г — — — /2кх Т о" Время. в теченв с которого иидкость доспи.ает высоты обозначим здесь через еь Имеем уравнение 1.-Ь .,— Проннтегрировав зто уравнение, получаем следующую формулу для продолжительности ИУ времени поднятия уровня до высоты И: -'[,ьс,— „,~ "„ьз)1.
(Здесь !п означает логарифм при основании с=2718.,б Выражение зто мозкет быть упрощено. Исходя из равенств иск=ос и е.=чсср имеем, что скорость ж опускания уровня с высоты И при опорожнении резервуара равна ИИ с с = — = — с = — «Ъ». с!г 5 3 Следовательно ги ( з ~ уи ,гйЗ' ~ '.ъ Ю откуда 2б ГН с ~/2К После соответствующих подсзвновок получаем следующее выражением лля йв Е= — с — + —,1п ! —— в которое не входит случаи сечения 3 н с резервуара и отверстия, а также и ускорение к силы тяжести. Последнее указывает, что продолжительность наливаиия резервуара должна быть одинакова на любой планете.
Если„обран!аясь к нашим задачам, пожелаем узнать, за какое время достигаются в резервуарах предельные уровни, то придем к заключению, что зто может осуществиться только в бесконечно большой срок, иначе говоря, никогда. Вывод нисколько не неожиданный: его легко было предвидеть. Ведь по мере ы Формула зта. как и предыдущие, вынедена четырнадцатилетним М. Я. Перельманом !сыном Я. И. Перелььзана и его жены Анны Давидовны Каминской-Перельман.— Примеч. ред.
1, которым выполнена математическая обработка задачи. приближения уровня к предельной высоте скорое ~ ь его повышения все уменьшается; чем ближе жидкость к предельному уровню, тем медленнее она к нему стремится; ясно, что она никогда этого уровня не достигнег, а може~ лишь сколь угодно близко к нему подойти. Но.для целей практических можно поставить вопрос несколько иначе, Практически почти безразлично, дошла ли жидкость до предельного уровня или не достигла его, скажем, на 0,01 долю его высоты. А продолжительносгь такого «почти достижения» впозь не возможно вычислить по нашей формуле, подставив 6=-0,991, где 1- - высота предельного уровня.
Получим ~2 О = — — (0,995 — 1п 0,005) = 2, ! 5— 27 Т Эту формулу 12 Я=2,15— Т применим к рассмотренным ранее случаям. а) 7'=-8 мин, !=!2 мин: !2х О=2,!5 — — =38,7 мин. 8 Постоянный уровень практически установится примерно через 39 минуг. б) Т=г=-8 мин: 82 О=2,!5.— =17,2 мин. 8 Посгоянный уровень установится спустя примерно 17 минут. в) Т=8 мин, г=б мин: б 9 = 2,15 — = 9,7 мин. '8= * Уровень установится приблизительно через !О минут. г) Т=30 мин, !=5 мин. 5' О=2,15.— =1.8 мин. 30 Предельный уровень будет практически достигнут менее чем через две минуты. 90 д) Наконец„наполнение резервуара до краев нри открытом выпускном отверстии, осутцесгвляющееся, как было ранее установлено, при условии, что (=2 Г, совершится в промежуток времени О = 2,15 .
= — 4,3г = 8.67; (2г)' 2« На зтом закончим наш непредвиденно затянувшийся разбор задач о резервуаре. Дело, как убедился читатель, выходит намного сложнее, чем представляют себе тс авторы арифметических задачников, которые беспечно предлагают «задачи о бассейнах» ученикам начальной школы. ,е Поставленный в задаче вопрос привлек несколько 74 ~Ф» лет назад внимание нашего известного математика академика Д.
Граве. «Если, писал он, — выпускать из резервуара воду при помощи отверстия на дне его, то образуется (над отперся псм) воронкообразный вихрь, который в северном полушарии вращается в сторону, обратную движению часовой стрелки; в южном жс полупхарин вращение идет в другую сторону. Каждый читатель сам может проверить справедливость сказанного, выпуская воду из ванны. Чтобы лучше замет.ить направление вращения вихревой воронки, можно бросить на нее маленькие обрывки бумаги.
Получается зффскт.- ный опыт, доказывающий врап|ение Земли, произведенный самыми простыми средсгвами в домашней обстановке»*'. Отсюда ученый делает н практические выводы: «Из сказанного можно сделать важные выводы относительно водяных турбин. Если горизонтальная водяная турбина вращается в сторону, обратную движению часовой стрелки, то вращение Земли поможет действию турбины. Обратно, если турбина вращается в сторону движения часовой стрелки, то влияние вращения Земли будет тормозить ее работу», «Поэтому; — -заключает акад. Д. Граве,— при заказах новых турбин следует держаться требования наклонения лопаток турбины в такую сторону, чтобы вращение турбины происходило в жеагательном направлении».
*' В журнале «Хочу аее хна~в». - !931, № 4 [е~атья «Вращенне Земля, вихри н рабо|а турбин») 9! Соображения зги предсгавляются вполне правдоподобными. Всем известно, что вращение Земли обусловливает вихреобраз нос закручивание циклонов, большее изнашивание правого рельса на железных дорогах и т. п, Можно, казалось бы, ожидать, что Земля своим вращением дейаь.
у ри ю .еегр чеке ствуег также на водяные во- Р . тв. «схема нхр „„х Ронки в РезеРвУаРе и на водЯ- двнженай: ерху — прн вы- ные турбины отмеченным вытеканнн воды нз ванны, внн- гпе образом (рис. 78). зу — воздуха в циклоне» Рн- Не следует однако под сунок н подпись — нз статья д Д Гра.. ~ 74) ДаватьсЯ зтомУ пеРвомУ впе- чатлению.
Наблюдения за водяной воронкой у отверстия ванны легко могут быть проверены и, как оказывается, вовсе не подтверждаются: водяной вихрь закручивается в одних случаях против часовой стрелки, в других †-по стрелке. Не только нет постоянства направления, но не заметно и какой- либо преобладающей тенденции, особенно если наблюдения производятся не в одном и том же резервуаре, а в различных*'. Расчет дает результат, согласный с наблюдениями. Он показывает, что величина появляющегося при этом так называемого поворотного (кориол ясона) ускорения чрезвычайно мала. Вычисление выполняется по формуле а = 2азп яп гр, где а — - поворотное ускорение„п — скорость движущегося тела, го — угловая скорость вра~пения Земли, гр —- *' Желая удостовериться в этом, я года два назад организовал с читателями одного нз нагппх научно-популяряых журналов коллектнвную проверку утвержденна акад. д.
Граве. Каждый нз участников этой работы должен был проследнть деапок раз, в каком направленнн вращается воронка, образуняцаяся прн вытеканнн волы нз ванны, умывальннка н подобных резервуаров, н прнслать мне сообпюние, сколько раз нз десятн случаев наблюдалссь вращенне против часовой стрелка. Хотя в анкете участвовало сравннтельно небольпюе число читателей, все же, сопоставляя полученный материал, можно было заключить. что преобладания вращення а сторону против часовой стрелка замечено не бьпго. широта места*'. На широте„например, Ленинграда при скорости водяных сгруй ! м,'с имеем: и= ! м/с; 2 го= — —; з!пгрг к!п60"=0,87; 8б400 с' а= ' яз0,000! м/сз.
2.2к 0,87 8б 400 Так как ускорение земной тяжести равно 9,8 м/сз, то поворотное ускорение составляет стотысячную долю ускорения тяжести. Другими словами, возникающее усилие составляет стотысячную часть веса вращаемой вихрем воды. Ясно, что малейшая неровность в устройстве резервуара, несимметричность его по отношению к выпускному отверстию гораздо больше должны влиять на направление водяных струй, нежели вращение Земли. То, что многократные наблюдения за опорожнением одного и того же резервуара нередко свидетельствуют о вращении в одном и том же направлении, ничуть не является подтверждением ожидаемого правила вращения, поз.ому что одинаковость направления вихря обусловливается формой дна резервуара, его неровностями, а не вращением Земли. Значит, на поставленный в задаче вопрос следует ответить так: предсказать направление вращения водяного вихря у отверстия резервуара нельзя: оно определяется обстоягельствами, не поддающимися учету.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
