Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 9
Текст из файла (страница 9)
получим Р(г = гйТ, где и общее число люлей в смеси, т. с, и = гг+ ге+из+,, . Уравнение состояния смеси идеальных газов, таким образом, имеет такой же вид, как и уравнение состояния химически однородного идеального газа. 18) Уравнение состоявпл и еео ел~детки Поэтому на основании уравнения состояния идеального газа нельзя решить, имеем ли мы дело с химически однородным газом или с механической смесью таких газов. 8 8. Уравнение состояния и его следствия для бесконечно малых процессов 1. Опыт показывает, что в состоянии термодинамического равновесия объем 1~, давление Р и температура Т находятся в функциональной зависимости не только для идеальных газов, но и для реальных газов, а также для любых физически однородных и изотропных тел.
Эту функциональную зависимость можно выразить уравнением (8.1) 7'(Р, ~'., Т) = О. Вид функции 7(Р, У, Т) = О различен д.;п| различных тел. Соотношение (8.1) называется уравнением сосгполнил тела. Для идеальных газов уравнением состояния является уравнение Клапейрона — Менделеева (7.1). Реальные газы лишь приблизительно следуют уравнению Клапейрона-Менделеева. К нему необходимо ввести поправки., простейшие из которых будут рассмотрены в гл. ЧП. Уравнение состояния принадлежит к числу важнейших характеристик макроскопических свойств физически однородных тел. Как уже отмечалось во введении, его нельзя вывести теоретически из общих принципов термодинамики. Термодинамика заимствует уравнения состояния либо из опыта, либо из статистической физики, где они могут быть выведены теоретически.
2. Ввиду наличия уравнения состояния изменения величин Р, 1~, Т при термодинамическом равновесии не независимы, а связаны определенным соотношением. Если изменения сосгояния бесконечно малы, то это соотношение может быть установлено без знания конкретного вида функции 7" (Р, 1', Т). С этой целью разрешим уравнение (8.1) относительно одного из переменных, например Г, т. е. представим объем К в виде функции остальных двух переменных Р и Т: К =- У (Р, Т). Если поддерживать температуру постоянной, а давление изменить на бесконечно малую величину 0 Р, то объем Г получит также бесконечно малое приращение., определяемое выражением А 1' — ( — ) НР. Значок Т у производной (г)У(Ь Р)т указывает на то, что при дифференцировании Г и Р температура Т должна оставаться постоянной.
Производные, получаемые дифференцированием какой-либо функции двух или нескольких аргументов по одному из них в предположении, что все остальные аргументы остаются постоянными, называются в математике частцыми производными. Таким образом, (дГ~дР)т есть частная производная объема по давлению при постоянной температуре. Пусть теперь давление Р поддерживается постоянным, а )Гл. 1 Тсьчл грата~ Если, наконец, изменяются и давление Р и теьшература Т, то с точ- ностью до бесконечно малых высшего порядка приращение объема представится суммой Л' = Ы1Г + пзГ, или Л' = (~~ ) )Р+ (~',,) )Т.
(8 2) Это соотношение и решает поставленную задачу. Соотношение (8.2) справедливо при любых бесконечно малых приращениях г)Р и дТ. Приращения йР и дТ могут поэтому рассматриваться как независимые переменные. Но формула (8.2) останется в силе и в том случае, когда на изменения Р и Т наложено какое-либо ограничение.
Допустим, например, что тело участвует в процессе, при котором давление Р является определенной функцией температуры Т. '1бгда приращения йР и г)Т перестанут быть независимыми. Например, для процесса при постоянном объеме зГ = О, и соотношение ~8.2) переходит в ( — ) йР-ь( —,' ) ИТ=О. Если разрешить это уравнение относительно йР(г)Т, то полученная таким образом величина даст частную производную (ОР~дТГ, так как г4Р и ЙТ означают приращения давления и температуры при постоянном объеме.
Таким образом, Ввиду очевидного соотношения последнее тождество может быть записано в виде а также в виде (8.8) (8. 4) Примечательно, что для справедливости этих тождеств совершенно не суп~ественно, какой физический смысл имеют величины Р, ь' и Т. Они являются чисто математическими тождествами. выражающими в дифференциальной форме нш1ичие функциональной связи между величинами Р, г' и Т.
Каковы бы ни были величины л, у, ', связанные функциональной зависимостью ~(л,у,.) = О, между их частными температура Т получает бесконечно ~алое приращение г)Т. Тогда соответствующее приращение объема г' представится выражением 88) Ураинение состояная и его сяедстеия производными существует соотношение 18.6) Эти математические тождества широко используются в термодина- мике. 3. Не лишне предостеречь читателя от искушения сократить выражение в левой части 18.4) на дР, дГ и дТ. В результате такого «сокращения» получился бы неправильный результат+1 вместо правильного — 1. Сокращение нельзя производить потому, что величины дР, дУ и дТ в числителе имеют иной смысл, чем аналогичные величины в знаменателе.
Например, д~' к знаменателе есть приращение объема, испытываемое им при увеличении давления на дР, когда температура Т остается постоянной. Величина же д1' в числителе означает приращение того же объема при покышснии температуры на дТ при условии, что постоянным остается давление, Таким образом, речь идет о совершенно различных приращениях объема, ввиду чего и нельзя сокращать на дГ. Но формула 18.4) показывает, что формально можно производить такое «сокращение» прн условии, что оно сопровождается изменением знака рассматриваемого выражения. Это дает удобное правило для запоминания тождества 18.4).
Соотношение 1»8.3) напоминает пракило дифференцирования функции от функции. Оно отличается от этого правила знаком минус в правой части. Это по-прежнему обьясняется тем, что величины дГ в знаменателе и числителе соотноп»ения 18.3) имеют разный смысл. указанный выше. 4. Тождество 1»8.3) или 1»8.4) позволяет установить связь между температурным коэффициентом обьемного расширения, температурным коэффициентом давления и модулем объемного сжатия физически однородного и изотронного вещества. 7емператррным коэффициентом объемного расширения о называется отношение приращения объема тела при нагревании на 1 К к его обьему 1'о при О'С при условии, что давление Р поддерживается постоянным. Таким образом, по определению можно написать сс = 1т.»» Ут 1Р = сопв1).
1а Объем, как правило, относительно медленно изменяется с температурой. Поэтому приведенное выражение практически не отничается от теоретически более совершонного выражения 18Л) (Гл. 1 Тема срат ура 7емперитур<гым хьхьффььциеььгпои, давления ь8 называется отношение увеличения давления тела при нагревании на 1 К к давлению Ра при 0'С при условии, что обьем тела поддерживается постоянным. Переходя снова от отношения коночных приращений к производным, можем написать (8.8) Наконец, модулем (точнееь изотермичссхим модулем) обеемноео, или всестороннего, сшсапшл вашества и называется отношение бесконечно малого приращения давления к вызванному им относительному сжатию вещества при постоянной температуре: (8.9) Ввиду тождества (8А) между величинами о, Д и К должно существовать соотношенио Рар = 1.
(8.10) Опыт подтверждает справедливость такого соотношения, а с ним и наличие функциональной связи между Р, г' и Т. Возьмем для примера ртуть при 0'С и атмосферном давлении. Коэффьщиент расширения о=1,8 10 аК изотермический модуль объемного сжатия К = 2,56 10а атм. Следовательно, Д = оК/Рьь = 46 К Отскьда следует, что для сохранения постоянным объема ртути при нагревании от 0 до 1 'С требуется увеличение давления приблизительно на 46 атм.
8 9. Макроскопические параметры 1. В классической механике мгновенное состояние механической системы определяется 'хоординатшип и скоростями частиц, из которых состоит система. В молекулярной физике буквальное применение такого способа описания состояний физических систель сводилось бы к определению в каждый мольент времени координат и скоростей всех люлекул и атомов, а также электронов, атомных ядер и прочих частиц, из которых построены тела. Состояние.
описанное столь детально, называется дььььамььчесхим состольтем или михросотполнием. Квантовая механика даст иной способ описания микросостояний, на котором здесь нет необходимости останавливаться. Важно заметить Микроскопические парамтпрм только, что подобное детальное описание состояний макроскопических систем. нвиду.
колоссальности числа частиц в них, не только невозможно осуществить фактически, но оно само по себе не представляет никакого интереса. Понятие микросостояния в классическом или квантовом смысле полезно лишь постольку, поскольку оно может быть связано с микроскопическими снойстоами вещество и может служить для определения последних.
В термодинамике равновесные состояния микроскопических систем описываются несравненно более грубо — с помощью небольшого числа различных микроскопических поромеплроо. К ним относятся например, давление, плотность, температура, концентрация., об ьем системы, напряженность электрического и магнитного полей и т.д. Состояние., описанное с помощью макроскопическпх параметров, называется макроскопическим состоянием или мокросостолпием.
Именно в этом сллысле понятие состояния употребляется в термодинамике. Термодинамически равновесное состояние газа, например, в отсутствие внешних силовых полей полностью определяется его массой. химической природой, давлением и температурой. Объем И, в котором заключен газ, не является независимым параметролц а люжет быть вычислен нз уравнения состояний. Нельзя указать все макроскопические параметры, определяющие состояние системы., нс конкретизируя последнюю и внешние условия, в которых она находится. 2. л!тобы выяснить смысл макроскопических параметров с молекулярной точки зрения, рассмотрим в качестве примера плотность газообразного., жидкого илн твердого тела. Выделим мысленно в пространстве малую неизменную область с объемом Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
