Экзаменационные вопросы по линейной алгебре I семестр (1106310)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Экзаменационные вопросы, I семестр

Линейная алгебра

1. Операции над матрицами и их свойства.

2. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Приведение к диагональному виду.

3. Перестановки, транспозиции, чётность.

4. Определитель и его свойства как функции столбцов (строк).

5. Определитель транспонированной матрицы.

6. Определитель произведения матриц.

7. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

8. Невырожденные матрицы. Обратные матрицы. Критерий обратимости матрицы.

9. Линейное пространство. Определение и примеры. Арифметическое пространство.

10. Линейная зависимость в линейном пространстве.

11. Базис и размерность линейного пространства.

12. Переход к другому базису, матрица перехода.

13. Ранг матрицы, теорема о базисном миноре.

14. Ранг матрицы и линейная зависимость строк и столбцов.

15. Ранг произведения матриц. Ранг матрицы и элементарные преобразования.

16. Эквивалентные матрицы. Критерий эквивалентности.

17. Системы линейных алгебраических уравнений. Эквивалентность систем. Элементарные преобразования систем.

18. Системы с невырожденной матрицей. Правило Крамера.

19. Критерий совместности СЛАУ. Критерий единственности решения.

20. Исследование СЛАУ общего вида. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы.

21. Метод Гаусса исследования и решения СЛАУ. Число арифметических операций в методе Гаусса.

22. Линейное подпространство. Геометрические свойства множества решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений. Общее решение.

23. Линейное многообразие. Геометрические свойства множества решений неоднородной СЛАУ. Общее решение.

Аналитическая геометрия

1. Направленные отрезки. Свободный вектор.

2. Линейные операции над векторами. Координаты вектора.

3. Проекции вектора. Свойства линейности проекций.

4. Линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные векторы.

5. Аффинная система координат. Преобразования координат.

6. Преобразование прямоугольных декартовых координат. Ортогональные матрицы.

7. Скалярное произведение геометрических векторов. Скалярное произведение в прямоугольных декартовых координатах.

8. Векторное произведение векторов.

9. Смешанное произведение векторов.

10. Векторное и смешанное произведение в прямоугольных декартовых координатах

11. Алгебраические линии и поверхности. Инвариантность порядка линии (поверхности).

12. Параметрические уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве.

13. Общее уравнение прямой на плоскости в аффинной системе координат. Критерий параллельности вектора прямой.

14. Общее уравнение плоскости в пространстве в аффинной системе координат. Критерий параллельности вектора плоскости.

15. Взаимное расположение двух прямых на плоскости и плоскостей в пространстве.

16. Пучок прямых на плоскости и плоскостей в пространстве.

17. Полуплоскости и полупространства.

18. Уравнения прямой в пространстве.

19. Взаимное расположение прямых в пространстве.

20. Метрические задачи на прямую и плоскость в прямоугольных координатах.

21. Общее уравнение линии второго порядка на плоскости. Матричная запись общего уравнения и его квадратичной части.

22. Приведённые уравнения линии второго порядка на плоскости. Метод вращений.

23. Классификация линий второго порядка на плоскости.

24. Эллипс. Фокусы и директрисы.

25. Гипербола. Фокусы и директрисы.

26. Парабола. Фокус и директриса.

27. Общее уравнение поверхности второго порядка в пространстве. Матричная запись общего уравнения и его квадратичной части.

28. Приведённые уравнения поверхности второго порядка. Метод вращений.

29. Классификация поверхностей второго порядка. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндрические поверхности.

30. Прямолинейные образующие алгебраических поверхностей второго порядка.

Общая алгебра

1. Декартово произведение множеств и бинарное отношение. Отношение эквивалентности. Фактор множества.

2. Отображения. Обратное отображение.

3. Алгебраические операции. Обобщённый закон ассоциативности.

4. Группы. Основные свойства.

5. Подгруппы. Симметрическая и знакопеременная группы.

6. Группа невырожденных матриц. Группа невырожденных треугольных матриц. Группа ортогональных матриц.

7. Конечные группы. Теорема Лагранжа.

8. Степени элемента. Циклические группы. Подгруппы циклической группы.

9. Подгруппы, смежные классы, нормальные делители.

10. Изоморфизм групп.

11. Гомоморфизм групп.

12. Кольцо.

13. Поле. Характеристика поля. Алгебраическое расширение поля.

14. Кольцо вычетов. Поле вычетов по простому модулю.

15. Линейное пространство над полем. Число элементов в конечном поле.

16. Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость.

17. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент произведения комплексных чисел.

18. Возведение в степень комплексного числа. Формула Муавра.

19. Извлечение корня из комплексного числа.

20. Группа корней из единицы. Первообразные корни.

21. Кольцо многочленов. Деление с остатком.

22. Наибольший общий делитель, его свойства. Алгоритм Евклида.

23. Значения многочлена и корни. Теорема Безу.

24. Многочлены, как формальные выражения и как функции. Эквивалентность двух определений равенства многочленов.

25. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные множители.

26. Каноническое разложение многочлена над полем комплексных чисел. Кратность корня.

27. Каноническое разложение многочлена над полем вещественных чисел.

28. Формулы Виета. Симметрические многочлены.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов вопросов/заданий