Эффекты квантовой теории поля в расширенной стандартной модели под влиянием внешних условий (1105390), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Автор также ограничился линейной точностью по bµ .Сначала рассматривается 1/c-приближение (приближение Паули) в электромагнитном поле Aµ :2i~∂ΦP /∂t = ĥP ΦP ,P̂e~ĥP = b + eA0 −σH − σb,2m2mc7(8)где Aµ содержит как связывающее поле ядра, так и внешнее поле, в котороепомещенатом.n ibo Гамильтониан ĥP можно унитарным преобразованием Û P =texp ~ σ · x привести к видуĥPµ̂A!2P̂e~→ ĥ0P = Û P ĥP Û P† =+ eA0 −σ + µ̂A H − σ · b,2m2mcebt= − [σx].mc(9)(10)Как видим, в преобразованный гамильтониан b0 входит в виде поправкиµ̂A к оператору магнитного момента электрона. Поэтому с использованием преобразования Û P задача на собственные состояния электрона всферически-симметричном потенциале Aµ = (φ(r), 0) может быть сведенак случаю bµ = 0, и ее решения имеют вид:!ibt(ΦP )nlml ms (x) = Rnl (r)Yl,ml (x/r) 1 − σ · x χms ,(11)~Enlms = En(0) − 2bz m s ,(12)(0)где Rnl и Enl— радиальные волновые функции и собственные значенияэнергии электрона при bµ = 0, Yl,ml — сферические функции, а χms — нормированные собственные векторы матрицы σ3 /2 с собственным значениемm s .
Квантовые числа n = 1, 2, 3, ..., l = 0, n − 1, ml = −l, l, m s = ±1/2. Необходимо отметить, что квантовые числа l, ml , m s соответствуют орбитальномумоменту, его z-проекции и z-проекции спина только в преобразованномоператором Û P представлении. Более того, результат для собственныхзначений энергии является чисто формальным, поскольку в 1/c-приближении не учтено спин-орбитальное взаимодействие. Если учесть последнее ииспользовать теорию возмущений для слагаемого −σ · b, то порожденныйпоследним сдвиг энергии(b)∆Enljm j = −02κm jbz ,2l + 1(13)где κ = (−1)(l−l +1)/2 , l0 = 2 j − l и выбрана система координат, в которойb = bz ez (ez — единичный орт в направлении оси z).
Квантовые числаn = 1, 2, 3, ..., l = 0, n − 1, j = l ± 1/2, j , −1/2, m j = − j, j. Результатдля сдвига энергии уже получали ранее другие авторы, но они допустилиошибку в коэффициенте. Таким образом, наличие ненулевого b приводит8к расщеплению по квантовым числам l, m j , причем расщепление по последнему эквидистантно и имеет 2 j + 1 компонент. Эта ситуация аналогична аномальному эффекту Зеемана. Однако на величину пространственныхкомпонент bµ наложены очень жесткие ограничения, |b| . 10−19 эВ, в товремя как |b0 | . 10−2 эВ, поэтому далее в работе считается, что b = 0.Оказывается, и в 1/c2 -приближении в случае кулоновского потенциалаeAµ n = −Zα~cδµ0/r и ob = 0 существует унитарное преобразование Û =Zα~exp ib~t 1 + 2mcrσ · x , сводящее гамильтониан (6) к его виду при b0 = 0.С его использованием получаются собственные функции электрона приb0 , 0 в квазирелятивистском приближении:!)(2Zeκbr0t1+Φnl jm j (x) = Rnl j (r) Y ljm j (x/r) +Y ljm j (x/r) ,(14)2~2mc r"!#3Z 2 ~RZ 2 α21(0)−,(15)En j = En j = − 2 1 +nj + 1/2 4nnгде Rnl j — радиальные функции при b0 = 0, En(0)j — собственные значенияэнергии при b0 = 0, дающиеся формулой Бора-Зоммерфельда, а Y ljm j — шаровые спиноры.
Квантовые числа j = 12 , 23 , 52 , ... и m j = − j, j соответствуютполному моменту электрона и его z-проекции, в то время как квантовоечисло l = j ± 1/2 = 0, n − 1 определяет собственное значение оператора! bZα~222t†1+σ [ x̂ l̂] − [ l̂ x̂] ,(16)l̂b = Û l̂ Û = l̂ −~2mcrравное l(l + 1). Как видим, спектр атома водорода не отличается характерного для случая b0 = 0 в рамках линейного приближения по b0 .Наконец, если поместить поляризованный по спину атом водорода восновном состоянии |Φ0 i в слабое внешнее магнитное поле H(x), то можно ввести эффективную потенциальную энергию атома в этом поле V =hΦ0 | ĥP |Φ0 i. Совершив в этом выражении унитарное преобразование Û P ,нетрудно убедиться, что поправка b0 вносит в потенциальную энергиювклад видаVZ ≡ −µ̂A · H( x̂) ≈ −T Z · rot H,(17)b где анапольный момент T Z = −2erB2 mc02 m j ez . Здесь m j = ±1/2 — проекцияспина на ось z, а rB = ~/αmc — первый боровский радиус.
Из оценок навеличину b0 анапольный момент|T Z | . 0.5 × 10−24 см2 · |e|,9(18)что может на 7–10 порядков превышать величины анапольных моментовэлектрона и ядра, обусловленные электрослабыми радиационными поправками. Для не поляризованных по спину (смешанных) состояний анапольный момент электронной оболочки равен нулю.Далее, в разделе 2.5, рассматривается релятивистское уравнение Дирака для электрона в связанном состоянии на фоне конденсата bµ = (b0 , 0).extПредставив внешний потенциал в виде Aµ (x) = (Aext0 (x) + φ(r), A (x)), гдеφ(r) — сферически-симметричное поле, например, связывающий потенциал ядра, можно преобразовать уравнение Дирака (3) с помощью унитарногопреобразования, сохраняющего калибровочную инвариантность:ˆψ(x) → ψ̃(x) = eib0 ∆A ψ(x),ˆˆĤ − i∂/∂t → H̃ˆ − i∂/∂t = eib0 ∆A Ĥ − i∂/∂t e−ib0 ∆A ;i∆ˆ A = Σ · x̂ − (Σ[ x̂ P̂] + 1)γ0 γ5 .m(19)(20)(21)В рамках квадратичного приближения по b0 это дает:H̃ˆ ≈ α( p̂ − eAext ) + mγ0 + e(φ + Aext0 )−b20 0(2) ext−fˆγ − d̂ A Eext − µ̂A Hext + Hint[A ],m(22)(2) exteb0 00где fˆ ≡ Σ l̂ + 1, d̂ A = iebm [γx], µ̂A = − m γ [Σx], а Hint [A ] обозначаетслагаемые второго порядка по b0 , описывающие взаимодействие с внешextним полем Aextµ и квадратичные по последнему.
Теперь в случае Aµ = 0преобразованный гамильтониан равенb20 00ˆH̃ = α p̂ + mγ + eφ(r) − fˆγ ,m(23)и его собственные функции можно взять в виде: (u) Rn l j (r)Y ljm (x/r) jr .ψ̃nr l jm j (x, t) = (v)0κRnr l j (r)Y ljm j (x/r)(24)На этих функциях оператор fˆγ0 принимает точное значение, равное κ( j +1/2), что приводит к следующему спектру при ненулевом b0 :E = Ẽ =En(0)r l jb20b20(0)− κ( j + 1/2) = Enr l j ± ( j + 1/2)mm10для l = j ± 1/2,(25)где En(0)r l j — собственное значение энергии при b0 = 0.
В итоге, в интересном с физической точки зрения кулоновском случае eφ(r) = −Zα/r приb0 , 0 снимается вырождение по квантовомучислу l = j ± 1/2, причемl= j+1/2величина расщепления ∆E( j) = Enr l j l= j−1/2 = (2 j + 1)b20 /m квадратична поb0 и растет с увеличением полного момента j. Это расщепление конкурирует с лэмбовским сдвигом, обусловленным радиационными поправками,особенно для больших j. На основе данных экспериментов по последнемуполучается оценка|b0 | . 3 × 10−3 эВ,(26)усиливающая существующие на настоящий момент ограничения на величину b0 . Наконец, действие обратного к (19) преобразования на волновыефункции (24) приводит к собственным функциям при b0 , 0 0 f (v) (u) l(u)l −rRY−bκRR0nr l j Y jm j nr l j jm jm nr l j ,−b20 f 2 /2m2 −b20 r2 /2 ψnr l jm j (x) = e(27)e (v) l0f (u)(v)l κRnr l j Y jm j − b0 m Rnr l j + rRnr l j Y jm j где радиальные зависимости R(u,v)nr l j берутся из задачи при b0 = 0.
В кулоновском случае выражения для этих функций хорошо известны. Напомним,что связь между главным и радиальным квантовыми числами имеет видnr = n − l − 1, поэтому nr = 0, 1, 2, ...В разделе 2.6 показано, что наличие нарушающей лоренц-инвариантность поправки b0 приводит к специфической асимметрии углового распределения излучения поляризованных по спину атомов водорода.
Можнопоказать, что в нерелятивистском выражении для матричного элемента излучения ведущих мультипольностей возникает специфическая CPT-нечетная добавка, содержащая поправку µ̂A к магнитному моменту:!1ie(28)M f i = h f | e(k) · e x̂ − (k · x̂) x̂ − [kµ̂] |ii ,2ke~где µ̂ = 2mc( l̂ + σ) + µ̂A , |ii и h f | — начальное и конечное состояния электрона в атоме, приведенные к виду при b0 = 0 преобразованием Û P , а kи e(k) — волновой вектор и вектор поляризации фотона соответственно.Поправка, содержащая µ̂A , открывает возможность переходов с несохранением P-четности, и ее вклад в излучение интерферирует с сохраняющимчетность (например, электрическим дипольным) излучением. В линейномприближении b0 не вносит вклад ни в полную интенсивность излучения,ни в угловое распределение излучения для неполяризованных атомов.
Для11перехода между поляризованными состояниями 2p1/2(m j =1/2) → 1s1/2(m j =−1/2)распределение вероятности излучения по сфере имеет вид:()dW f i 512α3 R8b01 + cos2 Θ − 2 cos Θ ,(29)=dΩ k6561πmcгде R = α2 mc2 /2~ — постоянная Ридберга, а Θ — угол между осью квантования момента и волновым вектором k. Как видим, в верхнюю и нижнююполуплоскости излучаются неравные количества энергии, относительнаяразность которых имеет порядок |b0 |/mc2 . 10−8 . В диссертационной работе не рассматривались способы достижения поляризации атомов, хотятеоретически этого можно было бы добиться приложением слабого однородного магнитного поля.Глава 3 посвящена изучению эффекта Казимира между двумя параллельными идеально проводящими пластинами в рамках (3+1)-мерной электродинамики Максвелла-Черна-Саймонса (MCS-электродинамики).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
