Эффекты квантовой теории поля в расширенной стандартной модели под влиянием внешних условий (1105390), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Эта теория соответствует расширенной электродинамике с нарушающей лоренцинвариантность константой kµAF в фотонном секторе. Далее рассматривается исключительно фотонный сектор теории и случай kµAF = (kAF , 0). Отличительная особенность MCS-электродинамики заключается в том, чтоµνее канонический тензор энергии-импульса T canне может быть приведен ксимметричному виду. Более того, его невозможно сделать калибровочноинвариантным, что связано с тем, что сам лагранжиан меняется на полную 4-дивергенцию при калибровочном U(1)-преобразовании.
Однако вразделе 3.2.1 показывается, что пространственной области V, ограниченной неподвижной идеально проводящей оболочкойP, можно приписатьRµνµ0µ 3калибровочно-инвариантный 4-импульс P = θ d x, где θµν = T can−Vµν∂λ Ξ, так что ∂µ θ = 0. Для калибровочной инвариантности также необходимо, чтобы на поверхности P отсутствовала статическая нормальнаякомпонента магнитного поля Hn , однако, как легко показать, статическиеполя не вносят вклад в эффект Казимира, поэтому не нарушая общности, можно считать, что Hn = 0 на поверхности P.
В итоге выводятсядве калибровочно-инвариантных формулы для натяжения Казимира — через производную вакуумной энергии по объему V и через нормальную кматериальной поверхности компоненту тензора θµν .В разделе 3.2.2 проводится квантование поля в радиационной калибровке A0 = 0, div A = 0 в случае параллельных пластин и показывается,[λµ]ν12что энергия вакуумаZZ11X003322Evac = hθ i0 d x =d xhE + H − 2kAF A · Hi0 =ωn ,22 nV(30)Vгде ωn — собственные значения энергии, получающиеся из секулярногоуравнения(ω2n + ∇2 ) An (x) = −2kAF rot An (x), x ∈ V,(31)причем касательные компоненты An должны обращаться в нуль на пластинах.
Таким образом, на моду с частотой ωn приходится ωn /2 вакуумнойэнергии, как в электродинамике Максвелла. Необходимо отметить, что приkAF , 0 уравнение (31) имеет вещественные и чисто мнимые собственныезначения ωn , однако, состояния с мнимой энергией при достаточно близкорасположенных пластинах образуют множество меры нуль (что доказывается в приложении B.1), поэтому квантование электромагнитного поля,все же, имеет смысл. Сила Казимира, с учетом (30), принимает вид:1 ∂ Xωn (D),(32)fCasimir = − 22L ∂D nгде L → ∞ — линейный размер пластин, а D — расстояние между ними.Теперь, в разделе 3.3, находятся выражения для однофотонных модAn (x) и их энергетического спектра ωn (D). Декартова система координатxyz выбирается так, чтобы пластины лежали в плоскостях z = ±a, a = D/2,а решения для потенциала ищутся в виде:An (x) = Neikx f (z), k = (k x , ky , 0), N ∈ R,k f (−z) = −Πk f (−z), [k f (−z)] = Π[k f (−z)], Π = ±1.(33)(34)Оси x, y координатной системы можно выбрать так, чтобы ky = 0, k x = k ≥0.
Тогда оказывается, что на частоты ωn налагается условиеgΠ (ω2n ) ≡ ϕΠ (κ+ a)ϕ−Π (κ− a) sin θ− + ϕΠ (κ− a)ϕ−Π (κ+ a) sin θ+ = 0,(35)qqncos xгде ϕ± (x) ≡ sin x , κλ = Kλ2 − k2 , Kλ = −λkAF + ω2n + k2AF , sin θλ = κλ /Kλ ,λ = ±1. Также в разделе 3.3 представлено выражение для собственныхфункций f (z).В следующем разделе 3.4 находятся асимптотические выражения длярешений уравнения (35), нумерующихся квантовым числом m = 1, 2, 3, ...,2 k2AF k1 − (1 − 2(−1)m Π) 2 , k ≥ 0, Π = ±1,(36)ωk,Π,m ≈ ωM −2ω MκM13qгде ωM = k2 + κ2M , κM = πm/2a, и ведущая поправка к дзета-функции1 X 2 −sζ(s) = 2(ωn ) =L nZ∞0kdk X X 2(ωk,Π,m )−s .2π Π=±1 m(37)После деления на L2 → ∞ вклад состояний с мнимой энергией в ζ(s) даетнуль, так что дзета-функция является однозначно определенной.
Выражение для нее имеет вид:!2 D 2s−2 1kAF D3 ζ(s) =ζR (2s) + o(kAF) , (38)ζR (2s − 2) + (s − 2)2π(s − 1) ππrenгде ζR (s) — дзета-функция Римана. Теперь с учетом того, что L12 Evac=12 ζ(−1/2), получается асимптотическое выражение для силы Казимира!renπ2∂ Evac25(kAF D)2=−+ o((kAF D)3 ) ,(39)fCasimir = −1+242∂D L240D3πсправедливое при D 1/|kAF |.
Тем не менее, асимптотические выражения(36) не имеют смысла для мод, которые переходят в моды с m = 0 вслучае kAF → 0 (“квазинулевых” мод). Для корректного учета их вкладовв вакуумную энергию в разделе 3.5 используется явное суммированиевсех неотрицательных корней уравнения (35) с помощью теоремы вычетов.Чтобы придать такой сумме смысл, вводится мягкое обрезание:Re Evac D=2L2Z∞0k dk XS Π (D),2π Π=±1√1 X0ωk,Π,m e−ωk,Π,m / kΛ ,S Π (D) =D m(40)где Λ → ∞, а суммирование в последнем выражении проводится по корнямω уравнения g̃Π (ω2 ) = 0, гдеg̃Π (ω2 ) =gΠ (ω2 )= tgΠ κ+ a sin θ+ + tgΠ κ− a sin θ− .ϕΠ (κ+ a)ϕΠ (κ− a)(41)Теперь будем считать, что kAF ≥ 0 (нетрудно показать, что вакуумная энергия не зависит от знака kAF ), тогда положительные частоты ω соответствуют точкам, лежащим на положительной вещественной полуоси в плоскостикомплексного K+ .
Если охватить эту полуось контуром C, состоящим из14отрезка мнимой оси CIm = [iΛ, −iΛ] и полуокружности CΛ радиуса Λ, тоиз теоремы вычетов получается:I√ΠdK+−ω(K+ )/ kΛ ΞΠSΠ =ω(K+ )e,(42)22πig̃ΠC!Xsin θλΠ tgΠ κλ a cos2 θλΠΠ,(43)1 − tg κλ a tg κ−λ a+ΞΠ =asinθκ−λλλ=±1где ω(K+ ) =√K+ K− =√K+ (K+ + 2kAF ). Перенормировка этого выраженияC (1) (Λ)имеет вид S Π (D, Λ) → S Πren (D, Λ) = S Π (D, Λ) − ΠD − CΠ(2) (Λ), где функцииCΠ(1,2) (Λ) не зависят от D.
Оказывается, что интеграл по полуокружности CΛполностью исчезает после перенормировки и перехода к пределу Λ → ∞.Переопределив же параметры в интеграле по CIm , можно прийти к выражению для перенормированной вакуумной энергии (энергии Казимира):ΞrenΠ∞Z∞XZΞrenkdk11ren(44)Re Evac = −dK+ ω(K+ ) Π ,232π Π=±1g̃ΠL4πa−∞0(XX λλ0 sh2 θλ0 ch θ−λ0 )ch θλΠΠth κλ 1 +=2−(1 − th κ−λ ) +, (45)0 (ch θ+ + ch θ− )chθκ−λλ0λ=±1λ =±1√ΠΠгде теперьg̃=chθthκ+chθthκ,K=K−2ika,ω(K)=K+ K− ,Π++−−−+AF+pκκ± = K±2 + k2 , sh θ± = Kk± , ch θ± = K±± . Разложение полученного выраженияпо kAF подтверждает результат (39) для силы Казимира.В главе 4 та же задача об эффекте Казимира в (3 + 1)-мерной MCSэлектродинамике рассматривается методом диадной функции Грина. Центральным объектом в этом методе является вакуумное среднееΓ0i j (x, x0 ) = ihTE i (x)E j (x0 )i0 ,(46)где E(x) — оператор электрического поля (второй компонентой диады является функция Φi j (x, x0 ) = ihTH i (x)E j (x0 )i0 ).
В разделе 4.1 выводятся уравнения для временно́го фурье-образа Γ0i j (x, x0 ; ω) этой функции (далее параметр ω опускается):22(∇ + ω )1 − 2kAF ∇ Γ0 (x, x0 ) = (∇2 1 − ∇ ⊗ ∇ − 2kAF ∇)δ3 (x − x0 ), (47)∇ · Γ0 (x, x0 ) = 0.15(48)Здесь используется матричная форма записи: матрицы ab = ei iab , 1ab = δabдействуют по первому индексу функции Грина Γ0bc .
В разделе 4.2 показано, что записанные выше уравнения можно свести к однородным и выразить их решение через произвольную скалярную функцию ϕ(x, x0 ; K),удовлетворяющую уравнению (∇2 + K 2 )ϕ(x, x0 ; K) = δ3 (x − x0 ). Действительно, если взять Γ0 (x, x0q) = B(x, x0 ) + Γ̄0 (x, x0 ), где Γ̄0 (x, x0 ) = δ3 (x − x0 )1 −ω2 P (λ)ẽ (x, x0 ; Kλ ), ω̄ = ω2 + k2AF , в то время как2ω̄λ=±1!1ẽ(λ) (x, x0 ; Kλ ) = Kλ 1 + ∇ ⊗ ∇ + λ · ∇ ϕ(x, x0 ; Kλ ),Kλ(49)то на функцию B(x, x0 ) будут наложены уравнения вида (47), (48) без правой части, но при этом она будет удовлетворять неоднородным граничнымусловиям, содержащим значения ϕ и ее производных на границе области.
В разделе 4.3 изложенный подход применяется к случаю параллельных пластин, т.е. находятся функции B для областей между пластинамии за пластинами. В последнем случае для обеспечения единственностирешения используется метод предельного поглощения (отметим, что теорема единственности, необходимая для корректности задачи Грина, применительно к MCS-электродинамике доказана в приложении B.3).
Анализполучающегося интегрального выражения для натяжения Казимира даетнепертурбативную поправку к выражению (39):5(kAF D)4 ln(k2AF D2 ) + O((kAF D)4 ).(50)232πНа основе экспериментальных данных по эффекту Казимира получается0оценка |kAF| < 1.5–2 × 10−2 эВ, которая слаба по сравнению с астрофизическими ограничениями. Однако рассмотренная теория Максвелла-ЧернаСаймонса может иметь космологические приложения, поскольку ранее было показано, что константа kµAF может возникать как результат конденсацииаксионного поля, рассматривающегося в некоторых космологических моделях.
Кроме того, представленное в работе выражение для силы Казимираисправляет результат, полученный М. Франк и И. Тураном, необоснованноиспользовавшими аналогию с (2 + 1)-мерной MCS-электродинамикой.В Заключении сформулированы основные положения диссертации, выносимые на защиту:∆(4) fCasimir =1. Решена задача на стационарные состояния электрона в кулоновскомпотенциале на фоне нарушающего лоренц- и CPT-инвариантность16конденсата bµ , как с использованием полученного автором гамильтониана 1/c2 -приближения, так и в рамках полностью релятивистскогоподхода с квадратичной по b0 точностью.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
