Диссертация (1105321), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Òàê êàêìíîæåñòâî ñèíòåçèðîâàííûõ óïðàâëåíèé åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîãëîùàåòìíîæåñòâî ïðîãðàììíûõ óïðàâëåíèé.  òî æå âðåìÿ óñëîâèÿ, íàëîæåííûåíà ñèíòåçèðîâàííîå óïðàâëåíèå, òðåáóþò íàëè÷èÿ êîíêðåòíîé ðåàëèçàöèè,êîòîðîé ìîæíî ñîïîñòàâèòü êîíêðåòíîå ïðîãðàììíîå óïðàâëåíèå.Òàêæå áóäóò ðàññìîòðåíû êîíå÷íîìåðíàÿ è óíêöèîíàëüíàÿ ïîñòàíîâêèçàäà÷è öåëåâîãî óïðàâëåíèÿ íå â çàäàííîå âðåìÿ, à â òå÷åíèå íåêîòîðîãî èíòåðâàëà.  ýòîé ïîñòàíîâêå òðåáóåòñÿ ïîïàäàíèå òðàåêòîðèè ñèñòåìû â òðåáóåìîå ìíîæåñòâî íå â èêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè, à â ëþáîé ìîìåíòâðåìåíè â òå÷åíèè âñåãî çàäàííîãî îòðåçêà.
Òî åñòü, äëÿ çàäà÷è öåëåâîãîóïðàâëåíèÿ âî ìíîæåñòâîM(·)òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü óñëîâèåïðè êàêîì ëèáî ìîìåíòå âðåìåíèxτ (·) ∈ M(·) ,τ ∈ [t0 , t1] .Ïîä ìíîæåñòâîì äîñòèæèìîñòèXS [t1](ðàçðåøèìîñòèWS [t0 ] )â òå÷åíèå27ïðîìåæóòêà[t0 , t1] áóäåì ïîíèìàòü îáúåäèíåíèå îáëàñòåé äîñòèæèìîñòè (ðàç-ðåøèìîñòè) ïðè âñåõ ìîìåíòàõ âðåìåíèt ∈ [t0 , t1] :XS [t1] =[t∈[t0 ,t1 ]{Xt [·]},WS [t0] =[{Wt[·]}.t∈[t0 ,t1 ]Îñîáåííîñòüþ äàííûõ çàäà÷ áóäåò, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâûïóêëàÿ ñòðóêòóðàìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè.Êëþ÷åâûì ïîíÿòèåì ïðè íàõîæäåíèè ââåäåííûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ óíêöèîíàë öåíûV (t, xt(·)) , çàâèñÿùèé îò òåêóùåé ïîçèöèè, è ìíîæåñòâàìè óðîâ-íÿ êîòîðîãî áóäåò èñêîìîå ìíîæåñòâî, íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòè:Wt [·] =[{x∗(·) ∈ H | V (t, x∗(·)) ≤ 0}.È äëÿ âñåõ çàäà÷ áóäåò âàæíûì îïðåäåëåíèå ïðèíöèïà îïòèìàëüíîñòè èëèïîëóãðóïïîâîãî ñâîéñòâà êàê äëÿ óíêöèîíàëîâ, òàê è äëÿ ìíîæåñòâ.
Ýòîäàåò âîçìîæíîñòü âû÷èñëÿòü ýòè îáúåêòû ðåêóððåíòíî, òåì ñàìûì óìåíüøàÿîáúåì âû÷èñëåíèé.Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè ìîæíî âû÷èñëÿòü, çíàÿ åãî çíà÷åíèåâ ïðîìåæóòî÷íûé ìîìåíòτ:Xt (·, t0, X 0 (·)) = Xt (·, τ, Xτ (·, t0, X 0 (·))),t0 ≤ τ ≤ t.Ýòî âûðàæåíèå è áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïðèíöèïîì îïòèìàëüíîñòè äëÿ ìíîæåñòâàäîñòèæèìîñòè.281.4Ôóíêöèîíàë öåíû äëÿ çàäà÷è ðàçðåøèìîñòè.
Ïðèíöèï îïòèìàëüíîñòèàññìîòðèì çàäà÷ó òåðìèíàëüíîãî óïðàâëåíèÿ êîãäà öåëåâîå ìíîæåñòâîM(·)ëåæèò â óíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâåH . Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó ìåòî-äàìè âûïóêëîãî àíàëèçà. Ïðè ýòîì áóäåì ñòðîèòü ðåøåíèå íå äëÿ êàêîãî-òîèêñèðîâàííîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ, à äëÿ ëþáîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿèç êîòîðîãî ìîæíî ïîïàñòü â öåëåâîå ìíîæåñòâî. Äëÿ ýòîãî ââåäåì è ïîñòðîèì óíêöèîíàë öåíû, ìíîæåñòâîì óðîâíÿ êîòîðîãî áóäåò èñêîìîå ìíîæåñòâàðàçðåøèìîñòè èç êîòîðîãî ìîæíî óïðàâëÿòü ñèñòåìîé.ÏóñòüM(·) ⊂ H öåëåâîå ìíîæåñòâî:xt1 (·) ∈ M(·).Îïðåäåëåíèå 5.ìåíò t ñèñòåìû(1.16)Ìíîæåñòâîì ðàçðåøèìîñòè Wt [·] = Wt (·, t1 , M(·)) â ìî-(1.4), (1.6)ïðè îãðàíè÷åíèÿõ(1.5), (1.16)áóäåì íàçûâàòüîáúåäèíåíèåWt[·] =ãäå[d2(·, ·){x∗(·) ∈ H | ∃u(·) ∈ U [t, t1] : xt1 (·, t, x∗(·), u(·)) ∈ M(·)},- êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ, ïîðîæäåííîãî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåìâ ïðîñòðàíñòâåH.Ïóñòü çàäàíû ïîçèöèÿíèτ ∈ [t, t1]îòîáðàæåíèå{t, x∗(·)} ( t ∈ [t0, t1 ] , x∗(·) ∈ H ),è ñèëüíî íåïðåðûâíûé óíêöèîíàëV (t, x∗(·) | τ, ϕ(·)) :V (t, x∗(·) | τ, ϕ(·)) =ãäå(1.17)xτ (·, t, x∗(·), u(·))ìîìåíò âðåìå-ϕ(·) : H → R1 .min {ϕ(xτ (·, t, x∗(·), u(·))) | xt(·) = x∗(·)},u(·)∈U [t,τ ]ðåøåíèå ñèñòåìû (1.4)), (1.6) â ìîìåíòñòâóþùåé íà÷àëüíîé ïîçèöèè{t, x∗(·)}è óïðàâëåíèèu(·) .τÂâåäåì(1.18)ïðè ñîîòâåò-29Îïåðàöèÿ ìèíèìèçàöèè â äàííîì ñëó÷àå êîððåêòíà, ò.ê.
ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ ñîñòîÿíèét+hxt1 (·, t, xt(·), u(·))t1 ≥ñèñòåìû (1.4), (1.6) â ìîìåíòÿâëÿåòñÿ ñèëüíûì êîìïàêòîì â ïðîñòðàíñòâåC[−h, 0] ,ìû Àðöåëà-Àñêîëè è ñëàáîé êîìïàêòíîñòè â ïðîñòðàíñòâåâ ñèëó òåîðå-L2[t, t1 ]ìíîæåñòâàäîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé ([17℄, ñ.110, [27℄).Îïðåäåëåíèå 6.Ôóíêöèîíàë öåíû V (t, x∗ (·)) åñòü ðåøåíèå ñëåäóþùåé çà-äà÷è:V (t, x∗(·)) = V (t, x∗(·) | t1 , V (t1 , ·)),(1.19)V (t1 , x∗(·)) = d2 (x∗(·), M(·)), x∗(·) ∈ H.(1.20)ñ êðàåâûì óñëîâèåìÇàìåòèì, ÷òî õîòÿ èçíà÷àëüíî çàäà÷à ñòàâèòñÿ äëÿ ïðîãðàììíûõ óïðàâëåíèé, èñêîìîå óïðàâëåíèå, êîòîðîå ìèíèìèçèðóåò óíêöèîíàë, ìîæíî èñêàòüè â âèäå ñèíòåçà, èáî äëÿ çàäà÷ áåç íåîïðåäåëåííîñòè èñïîëüçîâàíèå îáîèõêëàññîâ ïðèâîäèò ê îäèíàêîâîìó ðåçóëüòàòó.Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ âûòåêàþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.Òåîðåìà 2.Ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìíî-æåñòâà óðîâíÿ óíêöèîíàëà öåíû[Wt [·] = {x∗(·) ∈ H | V (t, x∗(·)) ≤ 0}.Äëÿ ìíîæåñòâà ðàçðåøèìîñòè è óíêöèîíàëà öåíû ìîæíî âûïèñàòü ñî-îòâåòñòâóþùèå ïðèíöèïû îïòèìàëüíîñòè, êîòîðûå îðìóëèðóþòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:Òåîðåìà 3.Ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòè óäîâëåòâîðÿåò ïîëóãðóïïîâîìóñâîéñòâóWt(·, t1, M(·)) = Wt(·, τ, Wτ (·, t1, M(·))), ïðè t0 ≤ t ≤ τ ≤ t1 .(1.21)30Òåîðåìà 4.Îòîáðàæåíèå V (t, x∗(·)) óäîâëåòâîðÿåò ïîëóãðóïïîâîìó ñâîé-ñòâó:V (t, x∗(·)) =min {V (τ, xτ (·, t, x∗(·), u(·)))}, ïðè t0 ≤ t ≤ τ ≤ t1 .u(·)∈U [t,τ ](1.22)Ïîëó÷åííîå ñâîéñòâî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:V (t, x∗(·) | t1 , V (t1, ·)) = V (t, x∗(·) | τ, V (τ, · | t1 , V (t1, ·))),1.5ïðèÂû÷èñëåíèå óíêöèîíàëà öåíût0 ≤ t ≤ τ ≤ t1 .V (t, x∗(·))ìåòîäàìè âûïóêëîãî àíàëèçàÑîãëàñíî (1.19)-(1.20), ìîæíî çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ óíêöèîíàëà öåíûâ ñëåäóþùåì âèäå:V (t, x∗(·)) =min {d2(xt1 (·, t, x∗(·), u(·)), M(·)) | xt(·) = x∗(·)}.u(·)∈U [t,t1 ]Çàïèøåì îðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿd2(·, ·) :d2(x∗(·), M(·)) = max {hl(·), x∗(·)iH − ρ (l(·)| M(·)) − 1/4 hl(·), l(·)iH }.l(·)∈HÏîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (1.7) äëÿ âû÷èñëåíèÿ(1.23) äëÿ âû÷èñëåíèÿV (t, x∗(·)) ===minmin+ l(·),Ztt−h(1.24)xt1 (·) â (1.24) è äàëåå â îðìóëóïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:min {d2(xt1 (·, t, x∗(·), u(·)), M(·)) | xt (·) = x∗ (·)} =u(·)∈U [t,t1 ]max {hl(·), xt1 (·)i − ρ (l(·)| M) − 1/4 hl(·), l(·)i} =*Zt1u(·)∈U [t,t1 ] l(·)∈Hmax {hl(·), x∗(·)i +u(·)∈U [t,t1 ] l(·)∈H*V (t, x∗(·)) ,(1.23)l(·), St1 (·, t)x(0) +St1 (·, τ + h)A1 (τ + h)x(τ − t)dτSt1 (·, τ )B(τ )u(τ )dτt+++− ρ (l(·)| M(·)) − 1/4 hl(·), l(·)i}.31Ââèäó òîãî, ÷òî âûðàæåíèå ïîä ìèíèìàêñîì âîãíóòî ïî ïîu(·) ,ëî ïîl(·)è âûïóê-îïåðàöèè ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè ([44℄,ñ.130).
Òàêæå ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè îïåðàöèþ ìèíèìóìà ïîu(·)è èíòå-ãðèðîâàíèÿ, ïðè÷åì ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ ([13℄, ñ.384, [59℄, [60℄, ñ.654, ñ.677).Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ óíêöèîíàëà öåíû:V (t, x∗(·)) = max ϕ(t, x∗(·), l(·)).(1.25)l(·)∈HÇäåñüϕ(t, x∗(·), l(·)) = hl(·), x∗(·)i + LSt′1 (·, t)l(·), x(0) −Rt1− ρ −LB ′(τ )St′1 (·, τ )l(·) P (τ ) dτ +tRt ′LA1(τ + h)St′1 (·, τ + h)l(·), x(τ − t) dτ − ρ (l(·)| M(·)) −+(1.26)t−h−1/4 hl(·), l(·)i ,ãäå îïåðàòîðLîïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (1.3), à óíêöèÿx∗ (·) âûðàæåíèåì(1.8).1.6Äèåðåíöèàëüíî-óíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå òèïà àìèëüòîíà-ßêîáè-ÁåëëìàíàÇàìå÷àíèå 1.Èçâåñòíî ([10℄), ÷òî äëÿ äèåðåíöèðóåìîãî (ïî Ôðåøåèëè ïî àòî) óíêöèîíàëàñòâåX,ïðîèçâîäíàÿΦ(x) ,∇l (Φ(x))îïðåäåëåííîãî íà ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàí-ïî íàïðàâëåíèþl ∈ Xâûðàæàåòñÿ ÷åðåçñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîèçâîäíîé è íàïðàâëåíèÿ:∇l (Φ(x)) =∂Φ(x),l .∂x32 äàëüíåéøåì, ïîä âûðàæåíèåì∇l (Φ(x))ïî íàïðàâëåíèþóíêöèîíàëΦ(x)l,D∂Φ(x)∂x , lEáóäåì ïîíèìàòü ïðîèçâîäíóþêîòîðàÿ ìîæåò ñóùåñòâîâàòü è â ñëó÷àå, êîãäàíå ÿâëÿåòñÿ äèåðåíöèðóåìûì (ïî Ôðåøå è ïî àòî).àññìîòðèì íà÷àëüíóþ ïîçèöèþíåïðåðûâíàÿ óíêöèè íà îòðåçêå{t, x∗(·)} ,ãäåx∗(·) ∈ H àáñîëþòíî[−h, 0] .Ïåðåíåñåì âñå ÷ëåíû âûðàæåíèÿ ((1.22)) â ïðàâóþ ÷àñòü è ðàçäåëèì èõ íàτ − t:V (τ, xτ (·, t, x∗(·), u(·))) − V (t, x∗(·))= 0,minτ −tu(·)∈U [t,τ ]âåëè÷èíóτ(Óñòðåìëÿÿ ïåðåìåííóþminu∈P (t)ê ïåðåìåííîédV (t, x∗(·)) dt(1.4)t , îðìàëüíî)t0 ≤ t ≤ τ ≤ t1 .ïðèïîëó÷àåì óðàâíåíèå= 0, t ∈ [t0 , t1).àñêðûâàÿ ïðîèçâîäíóþ â ñèëó ñèñòåìû (1.4), ïîëó÷àåì äèåðåíöèàëüíîóíê-öèîíàëüíîå óðàâíåíèå òèïà àìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà:∂V (t, x∗(·))+ min∂tu∈P (t)∂V (t, x∗(·)), At x∗(·) + Bt u∗∂x (·)Ó÷èòûâàÿ âèä (1.13) îïåðàòîðàïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðóAt{x0 , x0(·)}= 0, t ∈ [t0, t1 ).è (1.14) îïåðàòîðàBtè òî, ÷òî(1.27)x∗(·)(ñîãëàñíî ((1.1))), ïîëó÷àåì:∂V (t, x∗(·)), At x∗(·) + Btu =∗∂x (·) ∂V (t, x∗(·))∂V (t, x∗(·)) dx0(·), A0(t)x(0) + A1(t)x(−h) + B(t)u .,+=∂x0(·)dτ∂x0Âçÿâ ìèíèìóì ïît ∈ [t0 , t1)ìàíà:uâ âûðàæåíèè (1.27), òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ïðèñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ óðàâíåíèÿ àìèëüòîíà - ßêîáè - Áåëë-∂V (t, x∗(·))+∂t∂V (t, x∗(·)) dx0(·),∂x0(·)dτ+(1.28)33∗∂V (t, x∗(·))∂V(t,x(·))′ P (t) = 0,+, A0(t)x(0) + A1(t)x(−h) −ρ −B (t)∂x0∂x0 îãðàíè÷åíèåì â ìîìåíò âðåìåíè t1 :V (t1, x∗(·)) = d2 (x∗(·), M(·)).(1.29)Ïîêàæåì, ÷òî óíêöèîíàë öåíû óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óðàâíåíèþ.Çàìåòèì, ÷òî ïðè èêñèðîâàííûõêîòîðûå âõîäèò óíêöèÿäîâàòåëüíî, óíêöèîíàëx∗ (·) ,t , l(·) ,ñëàãàåìûå âûðàæåíèÿ (1.26), âÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè óíêöèîíàëàìè.
Ñëå-ϕ(t, x∗(·), l(·)) , çàäàííûé îðìóëîé (1.26), ÿâëÿåòñÿäèåðåíöèðóåìûì ïî Ôðåøå ïî ýëåìåíòóëàãàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé, òîx∗ (·) . Òàêϕ(t, x∗(·), l(·))êàê óíêöèÿx∗(·)ïî-äèåðåíöèðóåìî ïît.Ñòàíäàðòíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîèçâîäíûõ:∂ϕ(t, x∗(·), l(·))(1.30)= LSt′1 (·, t)l(·),∂x0 LA′ (τ + h + t)S ′ (·, τ + h + t)l(·), τ ∈ [−h, τ ∗),∂ϕ(t, x∗(·), l(·))1t1(τ ) = l(τ + t − t1 + h), τ ∈ [τ ∗ , 0),∂x0(·)(1.31)ãäåτ ∗ = min{−h + t1 − t, 0} ,Z0 dx(τ )∂ϕ(t, x∗(·), l(·))=−dτ −l(τ + t − t1 + h),∂tdττ∗ ′− LA0(t)St′1 (·, t)l(·) + LA′1(t + h)St′1 (·, t + h)l(·), x(0) ++ρ −LB ′ (t)St′1 (·, t)l(·) P (t) + ′ LA1(t + h)St′1 (·, t + h)l(·), x(0) − LA′1(t)St′1 (·, t)l(·), x(−h) −t+τZ ∗dx(τ−t)−LA′1(τ + h)St′1 (·, τ + h)l(·),dτ.dτ(1.32)t−hÑòàíäàðòíûì îáðàçîì ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè ñõîäèìîñòü ïî ïåðåìåííîéx∗(·)ðàññìàòðèâàòü â ñèëüíîé òîïîëîãèè, à ïîl(·)â ñëàáîé, òî ïðîèçâîäíàÿ34∂ϕ(t,x∗ (·),l(·))áóäåò íåïðåðûâíà ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ t , l(·) , ïðè èê∂t∂ϕ(t,x∗ (·),l(·))∂ϕ(t,x∗ (·),l(·))∗ñèðîâàííîì x (·) , ïðîèçâîäíûåèáóäóò íåïðåðûâíû∂x0∂x0 (·)ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõx∗(·) , l(·) ,à óíêöèîíàëϕ(t, x∗(·), l(·))áóäåòïîëóíåïåðåðûâíûì ñâåðõó.Òàê êàê óíêöèîíàëçàòîðl0(·)ϕ(t, x∗(·), l(·)) , ñòðîãî âûïóêëûé ïî l(·) , òî ìàêñèìè{t, x∗(·)}â (1.25) ïðè èêñèðîâàííîé ïîçèöèè ñèëó íåïðåðûâíîñòèV (t, x∗(·)) ,åäèíñòâåííûé.íîðìà ìàêñèìèçàòîðàíè÷åíà íåêîòîðîé êîíñòàíòîé, åñëè íà÷àëüíóþ ïîçèöèþl0(·)áóäåò îãðà-{t, x∗(·)}ðàññìàò-ðèâàòü â èêñèðîâàííîé îêðåñòíîñòè.
À, ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìóì ïîl(·)ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íå ïî âñåìó ïðîñòðàíñòâó, à ïî øàðó â ïðîñòðàíñòâåH,êîòîðûé áóäåò ÿâëÿòüñÿ ñëàáî êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì, â ñèëó ðåëåê-ñèâíîñòè ïðîñòðàíñòâà. ýòèõ óñëîâèÿõ, óíêöèÿïî ïåðåìåííûìtèx∗ (·) ,V (t, x∗(·))áóäåò äèåðåíöèðóåìîé ïî Ôðåøå÷òî ìîæíî ïðîâåðèòü, ïîâòîðèâ ñõåìó äîêàçàòåëü-ñòâà èç ([9℄, ñ.35) äëÿ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà.Òåîðåìà î äèåðåíöèðîâàíèè óíêöèè ìèíèìóìàÒåîðåìà 5.Ïóñòü H -ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, D ⊂ H , D - îòêðû-òîå ìíîæåñòâî, N - êîìïàêòíîå õàóñäîðîâî ïðîñòðàíñòâî, F (x, y),Fx′ (x, y) - íåïðåðûâíû íà D×N , òîãäà ∀x ∈ D, ∀α ∈ H ñóùåñòâóåò ïðîèç-âîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ α óíêöèè ìèíèìóìà W (x) = min F (x, y) , ïðè÷åìy∈N∇α W (x) = miny∈N (x)hFx′ (x, y), αi ,ãäå N (x) = Arg min F (x, y) .
Åñëè ìíîæåy∈Nñòâî N (x) ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà y0 , òîãäà óíêöèÿ W (x)äèåðåíöèðóåìà ïî Ôðåøå è Wx′ (x) = Fx′ (x, y0)Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì∀x ∈ D, ∀αk ∈ H | kαk k = 1, xk = x + αk ǫk , k = 1, 2, . . . , ǫk > 0, ǫk → +0.35F (xk ,y k )−F (x,y)±F (xk ,y)ǫkkkkk(x ,y)−F (x,y)= F (x ,y )−F (x ,y)+F≤ǫk ′≤ {yk ∈ N (xk ), ∀y ∈ N (x)} ≤ Fx (x + θk (xk − x), y), αkW (xk )−W (x)ǫkâ ñèëó=W (xk ) − W (x)− hFx′ (x, y), αk i ≤ 0, ∀y ∈ N (x)lim supǫkk→∞′íåïðåðûâíîñòè ïðîèçâîäíîé Fx (x, y).αk = αW (xk ) − W (x)lim sup≤ hFx′ (x, y), αi , ∀y ∈ N (x)ǫkk→∞ ÷àñòíîñòè åñëè.Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâî â îáðàòíóþ ñòîðîíó.àññìîòðèìW (xk )−W (x)ǫk=F (xk ,y k )−F (x,y)±F (x,y k )ǫk=F (xk ,y k )−F (x,y k )+F (x,y k )−F (x,y)ǫkl≥≥ Fx′ (x + θk (xk − x), y k ), αkW (xk ) − W (x) ′− Fx (x + θk (xk − x), y k ), αk ≥ 0ǫkÑóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {kl } òàêàÿ, ÷òîW (xk ) − W (x) ′lim inf− Fx (x + θk (xk − x), y k ), αk=k→∞ǫkW (xkl ) − W (x) ′= lim− Fx (x + θkl (xkl − x), y kl ), αkll→∞ǫklÁåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè÷òîy ∗ ∈ N (x).ykl → y ∗ ∈ Nòàê êàêN- êîìïàêò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
