Теорема Хаага в коммутативном и некоммутативном вариантах квантовой теории поля (1104926), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В качествевторого класса рассматривается теория поля в пространстве с индефинитнойметрикой. Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:1. Рассмотрение общего случая (1, )-инвариантной теории с произвольным фиксированным числом некоммутативных координат.
Определениечисла совпадающих функций Уайтмана в двух таких теориях, связанныхунитарным преобразованием.2. Вывод следствий из теоремы Хаага для процессов рассеяния частиц в многомерном некоммутативном пространстве.3. Доказательство теоремы Хаага в некоммутативной теории типа “timespace”.4. Исследование антифоковской реализации канонических коммутационныхсоотношений в пространстве Крейна с помощью методов алгебраическогоподхода к КТП.Научная новизна:1. Впервые было получено обобщение теоремы Хаага для квантовой теорииполя на некоммутативном четырехмерном пространстве-времени в вариантах как пространственной, так и пространственно-временной некоммутативности.2.
Рассмотрен общий случай SO(1, k)-инвариантной теории с произвольнымфиксированным числом некоммутативных координат, в котором была установлена зависимость числа совпадающих функций Уайтмана в теориях,связанных унитарным преобразованием, от числа коммутативных размерностей пространства.3. Получены следствия обобщенной теоремы Хаага для некоторых процессоврассеяния в многомерном коммутативном и некоммутативном простран6стве. Установлено равенство амплитуд и полных сечений упругого рассеяния в теориях, связанных унитарным преобразованием. Доказано, что равенство некоторого числа функций Уайтмана в двух теориях приводит также к равенству амплитуд некоторых неупругих процессов.4. С помощью методов алгебраического подхода впервые было показано, чтообобщение теоремы Хаага может быть получено для теории, в которой регулярные представления канонических коммутационных соотношений реализованы в пространстве с индефинитной метрикой.Научная и практическая значимость.
Результаты диссертации важны как дляфундаментальной теории, так и для экспериментальных исследований при высоких энергиях. Полученные в рамках некоммутативной теории результаты могутбыть полезны в теоретическом исследовании процессов в пространствах с дополнительными (компактными и некомпактными) измерениями. В этом случаеони позволяют получить связь различных характеристик процессов рассеяниячастиц в многомерном пространстве в двух теориях, связанных унитарным преобразованием. Доказательство теоремы Хаага для нефизических частиц имеетбольшое теоретическое значение в исследовании представлений коммутационных соотношений в пространствах с индефинитной метрикой для систем с бесконечным числом степеней свободы.На защиту выносятся следующие результаты и положения:1.
Обобщение теоремы Хаага в квантовой теории поля на некоммутативном четырехмерном пространстве-времени может быть полученокак для пространственного (”space-space”), так и для пространственновременного (”time-space”) вариантов некоммутативности.2. В двух (1, )-инвариантных некоммутативных теориях, связанных унитарным преобразованием, совпадают все функции Уайтмана вплоть до( + 1)-точечных.3. Для НКТП типа ”space-space” существует аналог редукционных формулЛемана-Циммермана-Симанзика.
При этом равенство первых ( + 1) функций Уайтмана в двух теориях приводит к равенству амплитуд соответствующих неупругих процессов рассеяния “ → ”, если + 6 +1. Крометого, совпадают амплитуды и полные сечения упругого рассеяния “2 → 2”.4. Обобщение теоремы Хаага может быть получено для теории, в которой регулярные представления канонических коммутационных соотношений реализованы в пространстве с индефинитной метрикой.7Апробация работы.
Результаты работы были представлены на следующих международных и всероссийских конференциях, научно-методических семинарах: 19th International workshop on high energy physics and quantum fieldtheory “QFTHEP” (Москва, 2010 г.); 16th International seminar on high energyphysics “QUARKS” (Коломна, 2010 г.); 15th International conference on symmetrymethods in physics “SYMPHYS” (Дубна, 2011 г.); международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва,2012г., 2013 г.); cеминар отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФМГУ (Москва, 2013 г.).Публикации.
Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах и 4 работы в сборниках трудовконференций. Библиографические данные печатных работ приведены в концеавтореферата.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,трех глав, заключения и списка использованных источников. Общий объем диссертации составляет 93 страницы. Список литературы содержит 52 наименования.Содержание работыВо введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность выбранного направления исследований, сформулированы цель и задачиработы.В первой главе представлен обзор основных результатов аксиоматического подхода в квантовой теории поля, связанных с теоремой Хаага и полученных в рамках как стандартной, так и некоммутативной теории.
В первой частиобзора изложены основы уайтмановского подхода в стандартной теории поля.Приведены аналитические свойства функций Уайтмана, формулировки теоремыреконструкции и теоремы Хаага.Во второй части обзора приведены основные положения некоммутативной теории поля, а также результаты, связанные с развитием уайтмановскогоподхода в ней. Описаны основные варианты НКТП, а также трудности, встречающиеся в таких теоретических построениях. Представлены постулаты формализма Уайтмана для НКТП. В заключительных параграфах первой главы представлены результаты, связанные с возможностью распространения теоремы Хаага и её следствий на (1, 1)-инвариантную НКТП типа “space-space”.Вторая глава посвящена обобщению теоремы Хаага на различные варианты НКТП.8В разделе 2.1 рассмотрен случай некоммутативности типа “space-space”в (1, )-инвариантной теории.
Такая теория инвариантна относительно собственных преобразований Лоренца в ( + 1) - мерном пространстве, затрагивающих одну временную переменную и коммутативных пространственныхпеременных. При этом задано произвольное четное число некоммутативныхпространственных переменных.Коммутационные соотнощения между координатами для случая, когда = 2, имеют вид:[︀ ]︀^ , ^ = , , = 1, . . . , 2,(5)где — действительная матрица размерности 2 × 2.
Остальные ( + 1) переменных (включая время) коммутативны, т. е. коммутируют между собой и совсеми ^ из (5). Линейной заменой переменных соотношения (5) можно привести к более удобному виду[^1 , ^2 ] = 1 ,, ...,[^2−1 , ^2 ] = .(6)Здесь 1 , . . . , — положительные действительные параметры, а остальные коммутаторы равны нулю. Некоммутативные поля Φ(^1 , . . . , ^2 ) в этом случаереализуются как операторы в гильбертовом пространстве квантовой механикичастицы в -мерном пространстве с координатами и импульсами^1^2^2−1 ^21^ = √ , ^ = √ , . . .
, ^ = √ , ^ = √ .111(7)Для доказательства первой части утверждения теоремы Хаага используются аналитические свойства функций Уайтмана, которые обобщаются на рассматриваемый вариант НКТП благодаря коммутативности временной переменной. Именно, в такой теории можно по-прежнему выделять точки Иоста, вещественные точки аналитичности функций Уайтмана. На основании того факта,что две функции Уайтмана, совпадающие в точках Йоста, совпадают тождественно, и проводится обобщение первой части теоремы.
Доказывается, что вдвух теориях, связанных унитарным преобразованием, совпадают все функцииУайтмана вплоть до ( + 1)-точечных.Доказательство второй части теоремы проводится на основе равенствадвухточечных функций Уайтмана в двух теориях, а также на основе условиялокальной коммутативности. В итоге приводится обобщенный вариант теоремы:Теорема. Пусть:∙ (, ), = 1, 2 — два неприводимых набора операторов скалярного нейтрального поля в момент времени , определенных в гильбертовых пространствах ℋ ;9∙ обе теории являются некоммутативными с 0инвариантными;∙ вакуум Ψ0 является единственныминвариантным состоянием в ℋ ;= 0 и (1, )-нормированным(1, )-∙ выполнен постулат спектральности;∙ две теории связаны унитарным преобразованием.Тогда:1.
первые + 1 функции Уайтмана совпадают в обеих теориях;2. если 1 () — свободное поле массы m, то 2 () — также свободное полетой же массы.В заключении раздела 2.1 выводятся следствия из теоремы для коммутативной (1, )-инвариантной теории при > 3. В этом случае рассматриваются процессы рассеяния в ( + 1)-мерном коммутативном пространствевремени, так что (1, )-симметрия сохраняется, а некоммутативность отсутствует. На основании редукционных формул Лемана-Циммермана-Симанзикадля процесса “ → ”< ′1 , . . . , ′ |1 , .
. . , > ∼∼∫︁ 1 . . . + exp{ (−1 1 − . . . − + ′1 +1 + . . . + ′ + )}××+∏︁( − 2 ) ⟨Ψ0 | (1 ) . . . (+ )|Ψ0 ⟩,=1 = 1, 2(8)и доказанного утверждения теоремы устанавливается равенство амплитуднеупругого процесса “ → ” в двух теориях, если + 6 + 1.В разделе 2.2 выводится аналог редукционных формул ЛеманаЦиммермана-Симанзика для некоммутативной теории. Применимость редукционных формул здесь неочевидна, поскольку вместо стоящего в функциях Гринахронологического произведения операторов нужно использовать упорядоченное⋆-произведение вследствие деформации алгебры операторов: (1 , .
. . , ) = ⟨Ψ0 | ((1 ) ⋆ . . . ⋆ ( ))|Ψ0 ⟩,10(9)где ⋆-произведение операторов, взятых в различных точках, определяется следующим образом:(︂)︂∏︁ exp(1 ) . . . ( ),(1 ) ⋆ . . . ⋆ ( ) =2 (10)<, = 1, 2, . . . ,а хронологическое ⋆-произведение операторов является естественным обобщением обычного -произведения : (1 (1 ) ⋆ . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
