Теорема Хаага в коммутативном и некоммутативном вариантах квантовой теории поля (1104926)
Текст из файла
На правах рукописиАнтипин Константин ВладиславовичТЕОРЕМА ХААГА В КОММУТАТИВНОМ ИНЕКОММУТАТИВНОМ ВАРИАНТАХ КВАНТОВОЙТЕОРИИ ПОЛЯ01.04.02 — «Теоретическая физика»Авторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква — 2013Работа выполнена на кафедре квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета Московского государственного университета имени М. В.Ломоносова.Научный руководитель:Вернов Юрий Сергеевич,доктор физико-математических наук,ведущий научный сотрудник ИЯИ РАНОфициальные оппоненты: Жуковский Владимир Чеславович,доктор физико-математических наук,профессор физического факультетаМосковского государственногоуниверситета им.
М. В. ЛомоносоваФаустов Рудольф Николаевич,доктор физико-математических наук,профессор, главный научный сотрудникВычислительного центраимени А.А. Дородницына РАНВедущая организация:Институт физики высокихэнергий (г. Протвино)Защита состоится 12 декабря 2013 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университетеимени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ,дом 1, стр. 2, физический факультет, СФА.С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В.
Ломоносова.Автореферат разослан«» ноября 2013 г.Ученый секретарьдиссертационного совета Д 501.002.10доктор физико-математических наукпрофессор2П. А. ПоляковОбщая характеристика работыАктуальность работы.Теорема Хаага является важным результатом аксиоматического подхода вквантовой теории поля. В традиционной формулировке теории поля предполагается, что полевые операторы удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям (ККС) в заданный момент времени. Аксиоматический подход позволил взглянуть на эту идею с новой точки зрения.В случае системы с конечным числом степеней свободы можно показать [1], что любые два представления коммутационных соотношений в формеВейля связаны унитарным преобразованием, т. е. являются унитарно эквивалентными.
В частности, всегда существует унитарный оператор (2 , 1 ), связывающий операторы координаты и импульса (образующие элементыалгебры коммутационных соотношений) в разные моменты времени: (2 ) = (2 , 1 ) (1 ) −1 (2 , 1 ), (2 ) = (2 , 1 ) (1 ) −1 (2 , 1 ).(1)Используемое в обычной формулировке теории возмущений представление взаимодействия является, по сути, попыткой перенести этот результат втеорию поля, т. е., в теорию систем с бесконечным числом степеней свободы.
Вэтом случае предполагается, что канонические переменные (например, (, ⃗)) вкаждый момент времени связаны унитарным преобразованием с каноническимипеременными свободного поля (0) (, ⃗): ()(, ⃗) −1 () = (0) (, ⃗).(2)Зависимость от времени оператора отражает наличие взаимодействия. Оператор рассеяния в представлении взаимодействия определяется так: = lim () (−)* .→∞(3)Однако, как выясняется в рамках алгебраического подхода, существует множество унитарно неэквивалентных представлений ККС, и уже этот факт ставитпод сомнение рассуждения, приводящие к (2).
Результаты исследований Р. Хаагапоказывают [2], что, действительно, эти рассуждения неверны: за исключениемслучая, когда (, ⃗) — свободное поле, не существует математически корректноопределенного оператора , удовлетворяющего (2).Теорема Хаага в своей более поздней формулировке [3] содержит также утверждение о числе совпадающих функций Уайтмана (вакуумных среднихот произведения полевых операторов) в двух теориях, связанных унитарнымпреобразованием. Функции Уайтмана играют важную роль: зная эти функции,3можно в некотором смысле полностью восстановить теоретико-полевую модель.Кроме того, теорема указывает, что если в двух теориях не совпадают определенное число функций Уайтмана, то необходимо использовать неэквивалентныепредставления коммутационных соотношений.В связи с важностью роли функций Уайтмана значительный интереспредставляет обобщение утверждения теоремы Хаага на различные специальные варианты теории поля.
Настоящая работа посвящена исследованиюэтой возможности для двух вариантов: некоммутативной квантовой теории поля (НКТП) и теории в пространстве с индефинитной метрикой.Идея введения некоммутирующих пространственно-временных переменных берет свои истоки из принципов квантовой механики. Так, при квантованиикоординатам и сопряженным к ним импульсам ставятся в соответствие эрмитовы операторы ^ и ^ , действующие в гильбертовом пространстве векторовсостояний. После этого согласно принципу соответствия постулируются канонические коммутационные соотношения: [^ , ^ ] = .
Так получается некое квантовое фазовое пространство. Фон Нейман [4] был первым, кто строго описалтакие пространства, при этом сам он называл область своих изысканий “геометрией без точек” (“pointless geometry”) на основании того факта, что в квантовомфазовом пространстве понятие точки бессмысленно в силу принципа неопределенности Гейзенберга. Эти работы привели к разработке теории алгебр фонНеймана и положили начало развитию некоммутативной геометрии [5], занимающейся изучением реализации некоммутативных * -алгебр на топологическихпространствах. С построением этой области математики и связано активное развитие некоммутативной квантовой теории поля, начало которой было заложенов работах Маркова [6, 7] и Снейдера [8, 9].
Подобно квантованию классическогофазового пространства, некоммутативное пространство-время вводится заменойпространственно-временных координат на эрмитовы генераторы некоммутативной алгебры операторов в некотором гильбертовом пространстве. В наиболеепростом варианте некоммутативной теории в пространстве Минковского соотношения между координатами имеют вид:[^ , ^ ] = ,(4)где - постоянная антисимметричная матрица.Новый этап в развитии теорий этого рода связан с появлением аргументовв пользу их обобщения на сверхмалые расстояния и сверхвысокие энергии [10],а также с установлением связи НКТП с теорией струн [11].
Так, было показано, что некоммутативные теории возникают в низкоэнергетическом пределетеории струн во внешних полях специального вида. Некоммутативные теории4представляют и самостоятельный интерес как один из вариантов модели с дополнительными пространственными измерениями [12–16].Основы аксиоматического подхода к НКТП в формулировке Уайтманабыли заложены в работах [17–22]. Для некоммутативной теории типа “spacespace” (т. е., когда время коммутирует с пространственными переменными,0 = 0, = 1, 2, 3) были получены аналоги постулатов спектральности илокальности, получены свойства аналитичности функций Уайтмана, доказана -теорема для простейшего случая скалярного поля. В работе [21] рассматривалась и теорема Хаага, однако её доказательство было получено лишь длячастного случая (1, 1)-инвариантной НКТП типа “space-space”.
В связи с активным развитием теорий в пространствах многих измерений интересно былобы получить многомерное обобщение теоремы и ее следствий, в том числе идля случая “time-space” некоммутативности (время некоммутативно с пространственными переменными), поскольку и для этого класса в последнее время былиполучены варианты последовательной теории [23, 24].Другим интересным вариантом является теория поля в пространстве синдефинитной метрикой. Хорошо известно, что индефинитную метрику и нефизические частицы необходимо вводить в калибровочных теориях, чтобы использовать ковариантную калибровку. Например, при квантовании электромагнитного поля рассматриваются операторы ± как операторы рождения и уничтожениячетырех независимых сортов фотонов: двух поперечных, “продольных” и “временных”. Однако такое квантование оказывается несовместимым с предположением о вещественности поля или положительности метрики.
Чтобы преодолеть эту трудность, Блейлер [25] и Гупта [26] использовали формальный прием, основанный на том, что соответствующие нулевой компоненте потенциала“временные” и “продольные” фотоны в действительности не существуют, а ихвозникновение в промежуточных рассуждениях связано с переходом от наблюдаемых величин (векторов E и H) к ненаблюдаемому 4-потенциалу . Чтобысохранить самосопряженность оператора , вводится индефинитная метрика впространстве амплитуд состояния.Представления канонических коммутационных соотношений в пространствах с индефинитной метрикой были изучены сравнительно недавно [27], [28].При этом оказалось, что для описания реалистичных физических ситуаций необходимо работать в классе пространств Крейна [29].
В работе [27] показано, что,помимо фоковского представления, в пространстве Крейна возможно представление ККС с отрицательным спектром оператора числа частиц = + (так называемый антифоковский случай). Именно этот случай соответствует теории снефизическими частицами. В работе [28] был получен аналог вейлевского представления алгебры ККС для случая нефизических частиц. Обобщение теоремы5Хаага на случай нефизических частиц было бы следующим логичным шагом,позволяющим продвинуться в изучении свойств единственности представленийККС в пространствах с индефинитной метрикой для систем с бесконечным числом степеней свободы.Целью диссертационной работы является исследование возможностиобобщения теоремы Хаага и ее следствий на два специальных класса теорий.В качестве первого класса рассматривается некоммутативная квантовая теорияполя в двух своих вариантах перестановочных соотношений операторов временных и пространственных координат: “space-space” и “time-space”.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
