Теорема Хаага в коммутативном и некоммутативном вариантах квантовой теории поля (1104926), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. ⋆ ( )) = 1 (1 ) ⋆ . . . ⋆ ( ),(11)где 1 , . . . , — перестановка индексов 1, . . . , , такая, что01 > 02 > . . . > 0 .Для (1, )-инвариантной теории с некоторым числом дополнительныхнекоммутативных размерностей окончательное выражение для редукционныхформул получено в следующем виде:]︂[︂1−−++⟨Ψ0 | (⃗1 ) . . . (⃗ ) (⃗+1 ) . . .
(⃗ )|Ψ0 ⟩ =×(2)(+)/2]︃⃒[︃⃒∑︁∏︁2 − 2⃒√︀ (−1 , . . . , − , , . . . , +1 ),, , ⃒× exp⃒22(⃗)=1<−(12)где (1 , . . . , ) — фурье-образ функции Грина:⎡⎤∫︁∑︁ (1 , . . . , ) =1 . . . exp ⎣− ⎦ (1 , . . . , ).=1Отличие от стандартных формул выражается в наличии дополнительного фазового множителя]︃⃒[︃⃒∑︁⃒, , ⃒, (1, , . . . , , ) = exp⃒2<−где ограничитель |− указывает на то, что выходящие импульсы нужно взятьсо знаком “минус”.Соотношение (12) позволяет распространить полученные в разделе 2.1результаты для рассеяния частиц на некоммутативную теорию.
Соответствующие результаты приводятся в разделе 2.3.11Раздел 2.4 посвящен распространению теоремы Хаага на случай теории с некоммутативностью типа “time-space”. Такая теория является (1, 1)инвариантной, однако теперь все переменные являются некоммутативными,и свойства аналитичности функций Уайтмана нарушаются.
В частности, втакой теории нельзя выделить точки Йоста. Функции Уайтмана принадлежат пространству обобщенных функций ( )′ , сопряженному к пространствуГельфанда-Шилова , < 1/2.При доказательстве второй части теоремы (о свободном поле) также возникает проблема: в отличие от коммутативной (1, 1)-теории здесь нельзясформулировать условие локальной коммутативности, которое требуется для доказательства равенства нулю тока для поля, унитарно эквивалентного свободному полю.Доказательство теоремы Хаага осуществляется следующим способом,обходящим перечисленные трудности: производится обрыв ряда разложения экспоненты в ⋆-произведении (10) до некоторого конечного числа членов .
Полученные таким образом функции Уайтмана становятся обобщенными функциями умеренного роста. После этого формулируется локальная теория: с использованием теоремы реконструкции по функционалам восстанавливаются гильбертово пространство ℋ , представление группы Пуанкаре и операторы поля () (). Далее стандартным способом получаются все основные свойства аналитичности функций Уайтмана . На основании (1, 1)-симметриивыводится утверждение о совпадении двухточечных функций Уайтмана. Крометого, операторы поля () ( ) рассматриваемой локальной теории будут удовлетворять условию локальной коммутативности. Далее повторяются рассужденияраздела 2.1.
После этого осуществляется предельный переход при → ∞ оттакой локальной теории к некоммутативной теории, при этом свойства слабойсходимости функционалов из пространств ′ (обобщенных функции умеренногороста) и ( )′ используются для доказательства корректности такого перехода.Утверждение теоремы Хаага выполнено для полей () () и функций , следовательно, оно выполнено и для их предельных значений — полей и функцийУайтмана ⋆ (1 , . . . , ) в НКТП.Глава 3 посвящена рассмотрению возможности обобщения теоремы Хаага на теории с индефинитной метрикой.В разделах 3.1 и 3.2 приводятся необходимые сведения из алгебраического подхода к квантовой теории поля.
В разделе 3.1 обсуждается обобщенная формулировка представления канонических коммутационных соотношенийв форме Вейля, охватывающая физические системы с любым числом степенейсвободы (конечным или бесконечным). В разделе 3.2 приводится алгебраическаяформулировка теоремы Хаага.12В разделе 3.3 рассматриваются некоторые свойства пространства Крейна,являющегося важным частным случаем пространства с индефинитной метрикой.В разделе 3.4 рассмотрены представления канонических коммутационных соотношений в пространстве Крейна.
Основное внимание уделено классуантифоковских представлений, который характеризуется наличием отрицательного спектра у оператора числа частиц = + . Этот случай соответствуеттеории с нефизическими частицами.В разделе 3.5 проводится обобщение теоремы Хаага на выбранный класстеорий. Для этого сначала строится аналог представления Вейля для антифоковской реализации в пространстве Крейна в соответствии с [28]. Вводятся опера+торы и + , связанные с операторами антифоковского представления и посредством соотношений: = +,+ = .(13)Знак “ + ” обозначают сопряжение по отношению к индефинитному скалярному произведению.
В терминах новых операторов коммутационные соотношенияпринимают вид:[ , +(14) ] = − .Известно [29], что в пространстве Крейна можно ввести положительно определенное произведение и операцию сопряжения “ * ” относительно него. Дляантифоковского представления известна связь между двумя сопряжениями [28]:* = −+ .(15)При этом перестановочные соотношения перепишутся в виде:[ , * ] = I.(16)Далее вводятся операторы “координаты” и “импульса”:( − * )( + * )˜˜√√, =,(17) =22которые являются симметричными операторами, определенными на некоторыхплотных областях в “эффективном” гильбертовом пространстве.
Следовательно,операторы () = exp{˜ },˜ }, () = exp{ , ∈ R,(18)образуют представление Вейля. На основании построенного представления Вейля, с использованием алгебраической формулировки раздела 3.2 делается утверждение теоремы Хаага для случая нефизических частиц.13ЗаключениеВ заключение сформулируем основные результаты диссертационной работы.1. Получено обобщение теоремы Хаага для квантовой теории поля на некоммутативном четырехмерном пространстве-времени в вариантах как пространственной (”space-space”), так и пространственно-временной (”timespace”) некоммутативности.2. Рассмотрен общий случай (1, )-инвариантной теории с произвольнымфиксированным числом некоммутативных координат, в котором было установлено, что в двух теориях, связанных унитарным преобразованием, совпадают все функции Уайтмана вплоть до ( + 1)-точечных.3.
Получены следствия обобщенной теоремы Хаага для некоторых процессов рассеяния в многомерном коммутативном и некоммутативном пространстве. C помощью некоммутативного аналога редукционных формулЛемана-Циммермана-Симанзика установлено равенство амплитуд и полныхсечений упругого рассеяния в теориях, связанных унитарным преобразованием. Доказано, что равенство первых ( + 1) функций Уайтмана в двухтеориях приводит также к равенству амплитуд соответствующих неупругихпроцессов рассеяния частиц “ → ”, если + 6 + 1.4. Рассмотрены теории с индефинитной метрикой. С помощью методов алгебраического подхода показано, что обобщение теоремы Хаага может бытьполучено для теории, в которой регулярные представления каноническихкоммутационных соотношений реализованы в пространстве с индефинитным скалярным произведением.14Список публикаций автора по теме диссертацииРаботы в научных журналах, входящих в перечень ВАК РФ рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научныхрезультатов диссертаций[A1] K.
V. Antipin, M. N. Mnatsakanova, Yu. S. Vernov. Haag’s theorem in thetheories with non-physical particles // International Journal of Modern PhysicsA. 2013. Vol. 28. P. 1350076-1350086.[A2] K. V. Antipin, M. N. Mnatsakanova, Yu. S. Vernov. Haag’s theorem innoncommutative quantum field theory // Physics of Atomic Nuclei. 2013. Vol.76. P. 965-968.[A3] Антипин К.
В., Вернов Ю. С., Мнацаканова М. Н. Доказательство обобщенной теоремы Хаага в пространстве произвольной размерности // Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2011. № 4.С. 27-32.Работы в сборниках трудов конференций[A4] K. V. Antipin, M. N. Mnatsakanova, Yu.
S. Vernov. Haag’s Theorem inSO (1, k) invariant quantum field theory // Proceedings of the The XIXthInternational Workshop "High Energy Physics and Quantum Field TheoryQFTHEP-2010 (Golitsyno, Moscow, September 2010). PoS - Proceedings ofScience, SISSA, Trieste, Italy, 2010, p.080.[A5] K. V. Antipin, M.
N. Mnatsakanova, Yu. S. Vernov. Extension of GeneralizedHaag’s Theorem on Spaces with Arbitrary Dimensions // Proceedings of the16-th International Seminar on High Energy Physics "QUARKS-2010"(6-12июня, 2010, Коломна, Россия)/ Под ред. В.А. Матвеева, А.Г. Панина, В.А.Рубакова, Издат. Отдел ИЯИ, Москва, Россия, 2010, с.391-401.[A6] K.
V. Antipin, M. N. Mnatsakanova, Yu. S. Vernov. Consequences of theGeneralized Haag’s Theorem // Proceedings of the 16-th International Seminaron High Energy Physics “QUARKS-2010” (6-12 июня, 2010, Коломна, Россия) Под ред. В.А. Матвеева, А.Г. Панина, В.А. Рубакова, Издат. ОтделИЯИ, Москва, Россия, 2010, с.133-136.[A7] Антипин К. В., Вернов Ю. С., Мнацаканова М. Н. Теорема Хаага в теориях с нефизическими частицами // Материалы докладов XX Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов»(Москва, 2013 г.). 2013. С.
336.15Цитируемая литература1. Neumann J. Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren // Math. Ann.1931. Vol. 104. P. 570–578.2. Haag R. On Quantum Field Theory // Dan. Mat. Fys. Medd. 1955. Vol. 29.P. 12–49.3. Hall D., Wightman A. A Theorem on Invariant Analytic Functions with Applications to Relativistic Quantum Field Theory // Mat.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
