Синтез быстрых управлений в линейных системах (1104819), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Òîãäà ñóùåñòâóåò óíêöèÿöåíû ñèíòåçà V(t, x) (32).Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà ïðåäñòàâëåíèè ñîïðÿæ¼ííûõ óíêöèé ê ìèíèìàêñíîé è ìàêñèìèííîé óíêöèé öåíû ñ êîððåêöèÿìè êàê ñóïåðïîçèöèè îïåðàòîðîâ S è T âèäàS [t,t1 ] ϕ∗(p) = conv {ϕ∗(p) − ρ (p | Q(t, t1))} ,T [t,t1 ] ψ ∗ (p) = ψ ∗ (p) + I(p | BV [t, t1]),(33)ïðèìåí¼ííûõ ê òåðìèíàëüíîìó ñëàãàåìîìó óíêöèîíàëà (29):VT∗(t, p) = T [t,τN −1 ] S [t,τN −1 ] .
. . T [τ2 ,τ1 ] S [τ2 ,τ1 ] T [τ1 ,τ0 ] S [τ1 ,τ0 ] T [τ0 ,τ0 ] S [τ0 ,τ0 ] ϕ∗ (p),WT∗ (t, p) = S [t,τN −1 ] T [t,τN −1 ] . . . S [τ2 ,τ1 ] T [τ2 ,τ1 ] S [τ1 ,τ0 ] T [τ1 ,τ0 ] S [τ0 ,τ0 ] T [τ0 ,τ0 ] ϕ∗(p).Ïîêàçàíî, ÷òî åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 2.14, òî äëÿ ëþáûõ (t, x)ïîçèöèîííàÿ óíêöèÿ öåíû V(t, x) ðàâíà óíêöèè öåíû â çàäà÷å ñèíòåçàV(t, x) (òåîðåìà 2.15).
Äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìàÒåîðåìà 2.17.Ôóíêöèÿ öåíû çàäà÷è ñèíòåçà V(t, x) äëÿ ñèñòåìû (18) ñóíêöèîíàëîì (19) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ òèïà ßÁÀ:min{H1, H2} = 0,H1(t, x, Vt, Vx ) = Vt + max hVx , A(t)x + C(t)vi ,v∈Q(t)(34)H2 (t, x, Vt, Vx ) = min {1 + hVx , B(t)hi}khk=1ñ êðàåâûì óñëîâèåìV(t1, x) = V (t1, x; t1, ϕ(·)),(35)ãäå V (t1 , x; t1, ϕ(·)) ìèíèìàêñíàÿ óíêöèÿ öåíû (21), âçÿòàÿ â ìîìåíò t1 èðàâíàÿ V (t1 , x; t1, ϕ(·)) = max{hx, pi − ϕ∗ (p) | p ∈ Rn , ||B T (t1 )p|| 6 1}.Èç óðàâíåíèÿ ßÁÀ (34), (35) ñëåäóåò îïòèìàëüíûé çàêîí óïðàâëåíèÿ,ãàðàíòèðóþùèé, ÷òî ïðè íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè x(t) = x çíà÷åíèÿ óíêöèîíàëà çàäà÷è íå ïðåâûñèò V(t, x). Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîçèöèè ñèñòåìû (s, x):• åñëè H1(s, x) = 0, òî dU (s, x) = 0,• åñëè H1 (s, x) > 0, òî H2 (s, x) = 0, è óïðàâëåíèå U (s, x) èìååò ñêà÷îê â íàïðàâëåíèè −B T Vx , âåëè÷èíà êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ, èñõîäÿ èç óñëîâèÿ,18÷òî H1 (s + 0, x(s + 0)) = 0 ïîñëå ïðèìåíåíèÿ óïðàâëåíèÿ.Âðàçäåëàõ 2.5.3 è 2.5.4ïîêàçàíî, êàê èñïîëüçîâàòü ïðèâåä¼ííîå ïðàâèëî óïðàâëåíèÿ äëÿ çàäà÷ ñ îáîáù¼ííûìè è áûñòðûìè óïðàâëåíèÿìè.Äëÿ ïîëíîöåííîãî îïðåäåëåíèÿ ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ íåîáõîäèìî òàêæå èññëåäîâàòü òðàåêòîðèè çàìêíóòîé ñèñòåìû.
Âðàçäåëå 2.6ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà ïîäõîäà ê îïèñàíèþ ðåøåíèÿ ñèñòåìû, â êîòîðóþ ïîäñòàâëåí çàêîíóïðàâëåíèÿ. Ñíà÷àëà ïðåäëàãàåòñÿ ðàññìîòðåòü ðàçáèåíèå îòðåçêà âðåìåíèT òî÷êàìè τi : t = τ0 < τ1 < · · · < τN −1 < τN = t1 , ñ äèàìåòðîì ðàçáèåíèÿσ = diam T . Èñïîëüçóåòñÿ ñõåìà ñ êîððåêöèÿìè äâèæåíèÿ íà ðàçáèåíèè Tè âû÷èñëÿåòñÿ óíêöèÿ öåíû ñ êîððåêöèÿìè VT (t, x). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîé òðàåêòîðèè â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè τi îïðåäåëÿåòñÿ óïðàâëåíèåïî ïðàâèëó, ïðèâåä¼ííîìó ïîñëå òåîðåìû 2.17. Ýòî óïðàâëåíèå áóäåò äåéñòâîâàòü íà èíòåðâàëå [τi , τi+1). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíà ðåàëèçàöèÿ óïðàâëåíèÿUσ (t) è òðàåêòîðèè xσ (t).
Ïóñòü {Uσ (t)} ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óïðàâëåíèé ñîãðàíè÷åííîé íîðìîé. Òîãäà èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xσ (t)} ìîæíî âûäåëèòüñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü òðàåêòîðèé ïðè σ → 0. Ïðåäåëüíûå òðàåêòîðèè â îïèñàííîé ñõåìå ìîæíî ñ÷èòàòü òðàåêòîðèÿìè çàìêíóòîé ñèñòåìû.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî åñëè íà êàæäîì èíòåðâàëå âðåìåíè áðàòü ïîñòîÿííîå óïðàâëåíèå, òî ïîëó÷èòñÿ ñõåìà àïïðîêñèìàöèîííûõ è êîíñòðóêòèâíûõäâèæåíèé, îïèñàííàÿ â ðàáîòå [29℄ äëÿ çàäà÷ ñ íåîïðåäåë¼ííîñòüþ ïðè îãðàíè÷åííîì óïðàâëåíèè.Äðóãèì ïîäõîäîì ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîä ê ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ñèñòåìå [15, 33℄.  ðàáîòå [5℄ äàííûé ïîäõîä áûë ïðèìåí¼í ê çàäà÷å ñ èìïóëüñíûì óïðàâëåíèåì áåç íåîïðåäåë¼ííîñòè.
àññìîòðèì çàäà÷ó ñ íåîïðåäåë¼ííîñòüþ. Ââåä¼ì íîâóþ íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ ξ ∈ [0, S] è çàïèøåì ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííóþ ñèñòåìó(dysxsdξ = A(s(ξ))y(ξ)u (ξ) + B(s(ξ))u (ξ) + C(s(ξ))v(ξ)u (ξ),dssdξ = u (ξ).(36)àñøèðåííîå óïðàâëåíèå u(ξ) = (us(ξ), ux(ξ)) ∈ [0, 1] × B1 , ãäå B1 åäèíè÷íûé øàð ñ öåíòðîì â íóëå, ïðè÷¼ì us è ux íå ìîãóò îäíîâðåìåííî ðàâíÿòüñÿíóëþ. Ñâÿçü èñõîäíîé ïåðåìåííîé x ñ íîâîé ïåðåìåííîé y çàäà¼òñÿ ñîîòíîøåíèåì y(ξ) = x(s(ξ)), à óïðàâëåíèÿ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì dU = ux dξ.19Ôóíêöèîíàë (19) ïðåîáðàçóåòñÿ âZ SJ(u(·)) =kux (ξ)kdξ + ϕ(y(S)).(37)0Ñìûñë ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé çàìåíû ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè â èñõîäíîé ñèñòåìå óïðàâëåíèå U ñîâåðøàåò ñêà÷îê âåëè÷èíû γ > 0, òî â ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ñèñòåìå óïðàâëåíèå us (s) ðàâíî íóëþ íà ïðîòÿæåíèèγ åäèíèö âðåìåíè (¾âðåìÿ îñòàíàâëèâàåòñÿ¿).
 ýòî âðåìÿ ||ux (s)|| = 1. Åñëèâ èñõîäíîé ñèñòåìå íåò ñêà÷êîâ óïðàâëåíèÿ, òî â ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîéñèñòåìå us(s) = 1, ux (s) = 0. çàäà÷å (36), (37) óïðàâëåíèå îãðàíè÷åíî, çíà÷èò ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿìåòîäîì äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ çàäà÷ ñ íåîïðåäåë¼ííîñòüþ[7, 10, 16℄ è îïðåäåëèòü ñèíòåç óïðàâëåíèÿ. Ïðè ïîäñòàíîâêå ñèíòåçà â ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííóþ ñèñòåìó ïîëó÷àåòñÿ äèåðåíöèàëüíîå âêëþ÷åíèå,ðåøåíèÿ êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ òðàåêòîðèÿìè çàìêíóòîé ñèñòåìû.Èçâåñòíî [33℄, ÷òî ìíîæåñòâî òðàåêòîðèé èñõîäíîé ñèñòåìû x(s) ïëîòíîâî ìíîæåñòâå òðàåêòîðèé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ñèñòåìû y(ξ), òî åñòü,ëþáàÿ îêðåñòíîñòü òðàåêòîðèè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ñèñòåìû (36) ñîäåðæèò òðàåêòîðèþ èñõîäíîé ñèñòåìû (18).
Ñîîòâåòñòâóþùèå òðàåêòîðèèïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ñèñòåìû ìîæíî ñ÷èòàòü òðàåêòîðèÿìè èñõîäíîéçàìêíóòîé ñèñòåìû. êîíöå ãëàâû ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ñèíòåçà èìïóëüñíûõ èáûñòðûõ óïðàâëåíèé.Âòðåòüåé ãëàâåîïèñàí ÷èñëåííûé àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïîñòðîèòüñèíòåç óïðàâëåíèÿ â çàäà÷àõ ñ èìïóëüñíûì è îáîáù¼ííûì óïðàâëåíèåì ïðèíåîïðåäåë¼ííîñòè â ñëó÷àå, êîãäà óíêöèÿ öåíû íå ìîæåò áûòü íàéäåíà àíàëèòè÷åñêè. Àëãîðèòì îñíîâàí íà àïïðîêñèìàöèè ñîïðÿæ¼ííîé óíêöèè ê ìèíèìàêñíîé óíêöèè öåíû. Àïïðîêñèìàöèÿ ñòðîèòñÿ â êëàññå êóñî÷íî-àèííûõ âûïóêëûõ óíêöèé.åçóëüòàòû òðåòüåé ãëàâû îïóáëèêîâàíû àâòîðîì äèññåðòàöèè â ðàáîòå[37℄ â ñîàâòîðñòâå ñ íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëåì À.
Í. Äàðüèíûì. Íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ ïðèíàäëåæèò îáùàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è è ðåêîìåíäàöèè ïî ïîâîäó âûáîðà êëàññà êóñî÷íî-àèííûõ âûïóêëûõ óíêöèé äëÿ ïîñòðîåíèÿàïïðîêñèìàöèé. Äîêàçàòåëüñòâà ïðèíàäëåæàò àâòîðó äèññåðòàöèè.20àññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à äëÿ ñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì óïðàâëåíèåì ïðèíåîïðåäåë¼ííîñòè (28), (29). Èñïîëüçóåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå ñîïðÿæ¼ííûõ óíêöèé ê ìèíèìàêñíîé è ìàêñèìèííîé óíêöèÿì öåíû ÷åðåç îïåðàòîðû S, T(33), ââåä¼ííûå âî âòîðîé ãëàâå:V ∗(t, p) = T [t,t1 ] S [t,t1 ] ϕ∗(p),W ∗ (t, p) = S [t,t1 ] T [t,t1 ] ϕ∗(p),(38)Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíîê óíêöèé V ∗ , W ∗ ââîäèòñÿ êëàññ óíêöèé F .Îí ñîñòîèò èç êóñî÷íî-àèííûõ âûïóêëûõ óíêöèé, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ íàçàäàííîì êîíå÷íîì íàáîðå òî÷åê {pi }Ii=1 íå ïðåâûøàþò çàäàííûõ âåëè÷èí{fi }Ii=1.
Íàáîð {pi, fi}Ii=1 íàçûâàþò ïàðàìåòðàìè óíêöèè èç êëàññà F .Äîêàçàíî, ÷òî êëàññ F ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà S èç(33) (òåîðåìà 3.1). Äëÿ ïðîèçâîëüíîé óíêöèè ϕ∗ (p) ∈ F ïîñòðîåíèå Sϕ∗ (p)ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ âûïóêëîé îáîëî÷êè å¼ íàäãðàèêà, êîòîðîå ìîæåòáûòü âûïîëíåíî ïðè ïîìîùè àëãîðèòìà QuikHull [20℄.Êëàññ F íå çàìêíóò îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà T èç (33), îäíàêî äîêàçàíî (òåîðåìà 3.2), ÷òî ñóùåñòâóþò îïåðàòîðû T− , T+ , çàìêíóòûå îòíîñèòåëüíî êëàññà F , ïîçâîëÿþùèå ïîñòðîèòü íèæíþþ è âåðõíþþ îöåíêè îïåðàöèèT ψ ∗ (p) ïðè ψ ∗ ∈ F : T−ψ ∗ (p) 6 T ψ ∗ (p) 6 T+ψ ∗ (p) äëÿ âñåõ p. Ïàðàìåòðûýòèõ îöåíîê ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû èç ïàðàìåòðîâ èñõîäíîé óíêöèè ψ ∗ (p).Óêàçàííûå âûøå ñâîéñòâà ïîçâîëÿþò íàéòè îöåíêè äëÿ ñîïðÿæ¼ííûõóíêöèé ê ìèíèìàêñíîé è ìàêñèìèííîé óíêöèè öåíû. Äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:Ïóñòü óíêöèè ϕ∗− (p) ∈ F è ϕ∗+ (p) ∈ F íèæíÿÿ è âåðõf∗ (t, p), îïðåäåëÿåìûåíÿÿ îöåíêè óíêöèè ϕ∗ (p).
Òîãäà óíêöèè Ve ∗ (t, p) è WÒåîðåìà 3.3.−îðìóëàìè(+[t,t ]Ve−∗(t, p) = T− 1 S [t,t1 ] ϕ∗− (p),f ∗ (t, p) = S [t,t1 ] T+[t,t1 ] ϕ∗ (p),W++ÿâëÿþòñÿ íèæíåé è âåðõíåé îöåíêàìè V ∗ è W ∗ (38), òàêèìè ÷òî V ∗ (t, p) >f∗ (t, p).Ve ∗(t, p) è W ∗(t, p) 6 W−+Çàòåì ðåêóððåíòíûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêè äëÿ ñîïðÿæ¼ííûõóíêöèé ê ìèíèìàêñíîé è ìàêñèìèííîé óíêöèÿì öåíû ñ êîððåêöèÿìè.
Âìèíèìàêñíîì ñëó÷àå íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ t ∈ [τk , τk−1), k = 1, . . . , N21îöåíêà áóäåò èìåòü âèä:[t,τ][τ ,τ ][τ ,τ ]VeT∗− (t, x) = T− k−1 S [t,τk−1 ] . . . T− 1 0 S [τ1 ,τ0 ] T− 0 0 S [τ0 ,τ0 ] ϕ∗−(p) 6 VT∗(t, x).(39)Ïåðåõîäÿ îò ñîïðÿæ¼ííîé óíêöèè ê èñõîäíîé, ìîæíî ïîëó÷èòü âåðõíþþîöåíêó äëÿ ìèíèìàêñíîé óíêöèè öåíû ñ êîððåêöèÿìè è íèæíþþ îöåíêó äëÿìàêñèìèííîé óíêöèè öåíû ñ êîððåêöèÿìè (òåîðåìà 3.5).Ïîëó÷åííûå îöåíêè ïîçâîëÿþò ñîðìóëèðîâàòü àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ñèíòåçà èìïóëüñíîãî óïðàâëåíèÿ â çàäà÷å ñ íåîïðåäåë¼ííîñòüþ (28), (29), îïèñàííûé â ðàçäåëå3.5.Íà ðàññìàòðèâàåìîì èíòåðâàëå âðåìåíè [t, t1 ] ñëåäóåòçàäàòü íåêîòîðîå ðàçáèåíèå, òàêæå ñëåäóåò çàäàòü ñåòêó â îáëàñòè ñîïðÿæ¼ííîé ïåðåìåííîé p.
Äëÿ ýòîãî ðàçáèåíèÿ ïî âðåìåíè, íà çàäàííîé ñåòêå ñëåäóåò âû÷èñëèòü àïïðîêñèìàöèþ ñîïðÿæ¼ííîé óíêöèè ê ìèíèìàêñíîé óíêöèè öåíû ñ êîððåêöèÿìè ïî ïðàâèëó (39). Ñ å¼ ïîìîùüþ ìîæíî íàéòè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå àïïðîêñèìàöèè óíêöèè öåíû è âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîìóïðàâëåíèÿ, îïèñàííûì â ëàâå 2.Âðàçäåëå 3.6ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ñèíòåçà èìïóëüñíûõ èáûñòðûõ óïðàâëåíèé ïðè ïîìîùè ÷èñëåííîãî ìåòîäà, ïðåäëîæåííîãî â òðåòüåé ãëàâå. çàêëþ÷åíèè ñîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè:1.
Ïîñòðîåíû ðàçðûâíûå, íåïðåðûâíûå è ãëàäêèå (k ðàç äèåðåíöèðóåìûå) àïïðîêñèìàöèè îáîáù¼ííûõ óïðàâëåíèé ñ ìèíèìàëüíûì ìîäóëåìàïïðîêñèìàöèè, å¼ ïðîèçâîäíîé, ëèáî å¼ ïðîèçâîäíîé k -îãî ïîðÿäêà ñîîòâåòñòâåííî, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè áûñòðûõ óïðàâëåíèé.2. Äîêàçàí ïðèíöèï îïòèìàëüíîñòè â çàäà÷å ñèíòåçà èìïóëüñíûõ è áûñòðûõ óïðàâëåíèé äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû ïðè íàëè÷èè íåèçâåñòíîé îãðàíè÷åííîé ïîìåõè.
Äîêàçàíî, ÷òî óíêöèÿ öåíû óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó òèïà àìèëüòîíàßêîáèÁåëëìàíàÀéçåêñà, è ïîëó÷åíà ñòðàòåãèÿèìïóëüñíîãî óïðàâëåíèÿ.3. Ïîëó÷åí ÷èñëåííûé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ñèíòåçà èìïóëüñíîãî óïðàâëåíèÿ ïðè íåîïðåäåë¼ííîñòè, îñíîâàííûé íà àïïðîêñèìàöèè óíêöèè öåíû.22Ëèòåðàòóðà1.Àéçåêñ .Äèåðåíöèàëüíûå èãðû. Ì.: Ìèð, 1967.2.Áåëëìàí.Äèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå. Ì.: Èçäàòåëüñòâî èíîñòðàííîé ëèòåðàòóðû, 1960.3.åëüàíä È. Ì., Øèëîâ . Å.Îáîáùåííûå óíêöèè è äåéñòâèÿ íàä íèìè.Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 1959.4.åëüàíä È. Ì., Øèëîâ . Å.Ïðîñòðàíñòâà îñíîâíûõ è îáîáùåííûõ óíêöèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
