Синтез быстрых управлений в линейных системах (1104819), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Êóðæàíñêîãî íà êàåäðå ñèñòåìíîãî àíàëèçà ÂÌÊ ÌÓ è íàñëåäóþùèõ êîíåðåíöèÿõ: ¾Òèõîíîâñêèå ÷òåíèÿ 2013¿ (Ìîñêâà, îêòÿáðü2013), 20 Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíåðåíöèÿ ïî àâòîìàòè÷åñêîìó óïðàâëåíèþ ¾Àâòîìàòèêà 2013¿ (Íèêîëàåâ, Óêðàèíà, ñåíòÿáðü 2013), ¾Ëîìîíîñîâñêèå ÷òåíèÿ¿ (Ìîñêâà, àïðåëü 2014, 2012 è 2011 ãîäîâ), êîíåðåíöèÿ ¾Ëîìîíîñîâ¿(Ìîñêâà, àïðåëü 2014 è 2012 ãîäîâ), 18 Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíåðåíöèÿ ïî àâòîìàòè÷åñêîìó óïðàâëåíèþ ¾Àâòîìàòèêà 2011¿ (Ëüâîâ, Óêðàèíà, ñåíòÿáðü2011).ÏóáëèêàöèèÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â 3 ðàáîòàõ [35, 36, 37℄,âñå ðàáîòû îïóáëèêîâàíû â æóðíàëàõ èç ïåðå÷íÿ ÂÀÊ.Âñå ðàáîòû âûïîëíåíû â ñîàâòîðñòâå ñ íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëåì À. Í.
Äàðüèíûì.  ðàáîòå [35℄ íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ ïðèíàäëåæàò ïîñòàíîâêè çàäà÷ àïïðîêñèìàöèè äåëüòà-óíêöèè, à òàêæå îðìóëèðîâêà ýòèõ çàäà÷ â âèäå ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîáëåì ìîìåíòîâ. Äîêàçàòåëüñòâà ïðèíàäëåæàò àâòîðóäèññåðòàöèè.  ðàáîòå [36℄ íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ ïðèíàäëåæèò ïîñòàíîâêàçàäà÷. Äîêàçàòåëüñòâà ïðèíàäëåæàò àâòîðó äèññåðòàöèè.  ðàáîòå [37℄ íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ ïðèíàäëåæèò îáùàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è è ðåêîìåíäàöèèïî ïîâîäó âûáîðà êëàññà êóñî÷íî-àèííûõ âûïóêëûõ óíêöèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ àïïðîêñèìàöèé. Äîêàçàòåëüñòâà ïðèíàäëåæàò àâòîðó äèññåðòàöèè.Àâòîð áëàãîäàðèò ñâîåãî íàó÷íîãî ðóêîâîäèòåëÿ Àëåêñàíäðà Íèêîëàåâè7÷à Äàðüèíà çà ïîñòàíîâêó çàäà÷ è ïîñòîÿííîå âíèìàíèå ê ðàáîòå, öåííûåóêàçàíèÿ è êîíñóëüòàöèè.Àâòîð áëàãîäàðèò àêàäåìèêà Àëåêñàíäðà Áîðèñîâè÷à Êóðæàíñêîãî çà ïîëåçíûå êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ ê ðàáîòå è ê âûñòóïëåíèÿì àâòîðà â ðàìêàõíàó÷íîãî ñåìèíàðà ¾Ïðèêëàäíûå çàäà÷è ñèñòåìíîãî àíàëèçà¿.àáîòà âûïîëíåíà íà êàåäðå ñèñòåìíîãî àíàëèçà ÂÌÊ ÌÓ, ïðè èíàíñîâîé ïîääåðæêå ÔÔÈ (ãðàíòû 12-01-00261-à è 12-01-31416-ìîë-à) è ïðîãðàììû ¾îñóäàðñòâåííàÿ ïîääåðæêà âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë¿ (ãðàíòû ÍØ-2239.2012.1, ÍØ-2692.2014.1).Ñòðóêòóðà è îáú¼ì äèññåðòàöèèÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ,òð¼õ ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ è áèáëèîãðàèè.
Îáùèé îáú¼ì äèññåðòàöèè 98 ñòðàíèö. Áèáëèîãðàèÿ âêëþ÷àåò 62 íàèìåíîâàíèÿ.Êðàòêîå ñîäåðæàíèå ðàáîòû ïåðâîé ãëàâåîïðåäåëåíû îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îáúåêòû, îòíîñÿùèåñÿ ê òåìå äèññåðòàöèè, è ðàññìîòðåíû çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè èìïóëüñíûõè îáîáù¼ííûõ óïðàâëåíèé ïðè ïîìîùè îãðàíè÷åííûõ óíêöèé, íàçûâàåìûõáûñòðûìè óïðàâëåíèÿìè. Äëÿ äåëüòà-óíêöèè è å¼ ïðîèçâîäíûõ íàéäåíû êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå àïïðîêñèìàöèè ñ ìèíèìàëüíûì ìîäóëåì, à òàêæå k ðàçíåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûå àïïðîêñèìàöèè ýòèõ óíêöèé ñ ìèíèìàëüíûì ìîäóëåì k -îé ïðîèçâîäíîé.åçóëüòàòû ïåðâîé ãëàâû (ðàçäåëû 1.2 è 1.3) îïóáëèêîâàíû àâòîðîì äèññåðòàöèè â ðàáîòå [35℄ â ñîàâòîðñòâå ñ íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëåì À. Í.
Äàðüèíûì. Íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ ïðèíàäëåæàò ïîñòàíîâêè çàäà÷ 1.5 è 1.6àïïðîêñèìàöèè äåëüòà-óíêöèè, à òàêæå îðìóëèðîâêà ýòèõ çàäà÷ â âèäåñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîáëåì ìîìåíòîâ.Âðàçäåëå 1.1ïðèâåäåíû îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, èñïîëüçóåìûå â ðàáîòå.Îáîáù¼ííàÿ óíêöèÿ f [3, 19℄ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì óíêöèîíàëîì hf, ξi íàïðîñòðàíñòâå îñíîâíûõ óíêöèé ξ ∈ Dk [α, β], ñîñòîÿùåì èç k ðàç äèåðåíöèðóåìûõ óíêöèé ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì èç èíòåðâàëà (α, β). Ïðîñòðàíñòâî îáîáù¼ííûõ óíêöèé îáîçíà÷àåòñÿ Dk∗ [α, β] è ÿâëÿåòñÿ ñîïðÿæ¼ííûìïðîñòðàíñòâîì ê Dk [α, β].
Íà ïðîñòðàíñòâå Dk∗ [α, β] çàäàíà íîðìà G∗ [f ], êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñîïðÿæ¼ííàÿ íîðìà ê íîðìå G(ξ), çàäàííîé íà Dk [α, β].8 ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå îáîáù¼ííàÿ óíêöèÿ f = (f1 , . . . , fm), è ïðîñòðàíñòâî∗[α, β].òàêèõ óíêöèé îáîçíà÷àåòñÿ êàê Dk,mÄëÿ îáîáù¼ííîé óíêöèè ñïðàâåäëèâî å¼ ïðåäñòàâëåíèå ÷åðåç ïðîèçâîäíûå óíêöèé îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè F0 , .
. . , Fk ∈ BV [α, β] [3℄, ãäå BV [α, β]îáîçíà÷àåò êëàññ óíêöèé îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè íà îòðåçêå [α, β]:f= ðàçäåëå1.1.2Xkj=0(−1)jdj+1Fjdtj+1(1).îïèñàíû èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿëèíåéíûõ. àññìàòðèâàåòñÿñèñòåì ñ èìïóëüñíûì óïðàâëåíèåì áåç íåîïðåäåë¼ííîñòèñëåäóþùàÿ çàäà÷àÇàäà÷à 1.1.Íà òðàåêòîðèÿõ ñèñòåìûdx(t) = A(t)x(t)dt+B(t)dU (t),t ∈ [t0, t1 ],x(t0) = x0 ,x(t1 +0) = x1 (2)ìèíèìèçèðîâàòü óíêöèîíàëJ(U ) = Var U (·) → min[t0 , t1 +0)U (·)(3)â êëàññå ïðîãðàììíûõ óïðàâëåíèé. Çäåñü àçîâàÿ ïåðåìåííàÿ x ∈ Rn , äîïóñòèìûå óïðàâëåíèÿ U (·) ∈ Rm óíêöèè îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè íà [t0 , t1 ],ìàòðè÷íûå óíêöèè ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçìåðíîñòè A(t), B(t) íåïðåðûâíû.Èçâåñòíî [9℄, ÷òî äëÿ âïîëíå óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû â çàäà÷å (2), (3) ñðåäèîïòèìàëüíûõ óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé â êëàññå ïðîãðàììíûõ óïðàâëåíèéPrdU (t)(j)(j)ñóùåñòâóþò óïðàâëåíèÿ âèäà u(t) = dt =j=1 p δ(t − τj ), ãäå pm-âåêòîðû, îïðåäåëÿþùèå íàïðàâëåíèå óäàðíîãî âîçäåéñòâèÿ íà ñèñòåìó âìîìåíòû τj , à îáùåå êîëè÷åñòâî èìïóëüñîâ r íå ïðåâûøàåò ðàçìåðíîñòü àçîâîãî âåêòîðà r 6 n. ðàçäåëå 1.1.3 îïèñàíû èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû äëÿ çàäà÷èñ îáîáù¼ííûì.
àññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà óðàâóïðàâëåíèåì áåç íåîïðåäåë¼ííîñòèíåíèéẋ = A(t)x + B(t)u + f (α) − f (β) ,(4)ãäå àçîâàÿ ïåðåìåííàÿ x è óïðàâëåíèå u ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàñïðåäåëå∗∗[α, β] è Dk,m[α, β] ñîîòâåòñòâåííî, A(t), B(t) kíèÿ èç ïðîñòðàíñòâ Dk,nðàç äèåðåíöèðóåìûå óíêöèè. àñïðåäåëåíèÿ f (α) è f (β) íà÷àëüíîå èêîíå÷íîå ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî, ñîñðåäîòî÷åííûå â òî÷êàõ t0 è t1 ,9α < t0 < t1 < β .Ââîäèòñÿ ïîíÿòèåäîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåìû ñ îáîáù¼ííûì ðàñïðåäåëåíèÿ u, ïðè êîòîðîì ñóùåóïðàâëåíèåì áåç íåîïðåäåë¼ííîñòèñòâóåò ñîîòâåòñòâóþùåå ðàñïðåäåëåíèå x, óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ (4),ïîíèìàåìîìó â ñìûñëå ðàñïðåäåëåíèé, è ñîñðåäîòî÷åííîå íà èíòåðâàëå [t0 , t1 ].Ïðèâåäåíà ïîñòàíîâêà çàäà÷è îáîáù¼ííîãî óïðàâëåíèÿ áåç íåîïðåäåë¼ííîñòè:Çàäà÷à 1.2.Ñðåäè äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé ñèñòåìû (4) íàéòè óïðàâëåíèå, äîñòàâëÿþùåå ìèíèìóì óíêöèîíàëó J(u) = G ∗ [u].Ýòà çàäà÷à ìîæåò áûòü ñâåäåíà [14℄ ê çàäà÷å ñ èìïóëüñíûì óïðàâëåíèåìñëåäóþùåãî âèäà:Çàäà÷à 1.3.Äëÿ ñèñòåìûdx(t) = A(t)x(t)dt + B(t)dU (t),x(t0) = x0,x(t1 + 0) = x1,(5)íàéòè óïðàâëåíèå U , ìèíèìèçèðóþùåå óíêöèîíàë(6)J(u) = Var U (·),[t0 ,t1 +0)ãäå óïðàâëåíèå èìååò âèä U (t) = U0T (t) U1T (t) · · · UkT (t)T, è åãî êîìïîíåíòû U0 , .
. . , Uk óíêöèè îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè èç ïðåäñòàâëåíèÿ (1).Ìàòðèöà B(t) ∈ Rn×m(k+1) è âåêòîðû x0 , x1 îïðåäåëÿþòñÿ èç ïàðàìåòðîâñèñòåìû (4).Äëÿ Çàäà÷è 1.2 èçâåñòåí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò [9℄: ëèíåéíàÿ óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà ìîæåò áûòü ïåðåâåäåíà èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå çà íóëåâîåPn−1(j)âðåìÿ ïðè ïîìîùè óïðàâëåíèÿ âèäà u(t) =j=1 pj δ (t − t0 ), òî åñòü ïðèïîìîùè n èìïóëüñîâ, âêëþ÷àþùèõ â ñåáÿ äåëüòà-óíêöèþ è å¼ îáîáù¼ííûåïðîèçâîäíûå äî (n − 1)-îãî ïîðÿäêà.Âðàçäåëå 1.1.4ë¼ííîñòèââîäÿòñÿëèíåéíûå èìïóëüñíûå ñèñòåìû ïðè íåîïðåäå. Íåîïðåäåë¼ííîñòü ïðåäñòàâëåíà èçìåðèìûìè, ïî÷òè âñþäó îãðàíè÷åííûìè óíêöèÿìè v(t) ñ äîïîëíèòåëüíûì ïîòî÷å÷íûì îãðàíè÷åíèåìv(t) ∈ Q(t) ïðè ï.â. t ∈ [t0, t1 ], ãäå Q(t) íåïóñòîé âûïóêëûé êîìïàêò âRq äëÿ âñåõ t ∈ [t0 , t1].Èìïóëüñíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ñ íåîïðåäåë¼ííîñòüþdx(t) = A(t)x(t)dt + B(t)dU (t) + C(t)v(t)dt,10x(t0) = x0(7)ïîíèìàåòñÿ êàê îðìàëüíàÿ çàïèñü òîãî, ÷òî äâèæåíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿðàâåíñòâîìx(t + 0) = X(t, t0 )x0 +Zt+0X(t, τ )B(τ )dU (τ ) +t0Zt+0X(t, τ )C(τ )v(τ )dτ, (8)t0â êîòîðîì èíòåãðàë ïî óïðàâëåíèþ ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå èíòåãðàëà Ñòèëüòüåñà [17℄, à èíòåãðàë ñ ïîìåõîé èíòåãðàë Ëåáåãà.
Çäåñü X(t, τ ) óíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ. X(t, τ ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåììàòðè÷íîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ∂X(t,τ )∂t= A(t)X(t, τ ),(9)X(τ, τ ) = E,ãäå E ∈ Rn×n åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. åøåíèå ñèñòåìû (7) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéêóñî÷íî-íåïðåðûâíóþ óíêöèþ.Âðàçäåëå 1.1.5ââîäèòñÿ ïîíÿòèåëèíåéíîé ñèñòåìû ñ îáîáù¼ííûì. Äëÿ ñèñòåìûóïðàâëåíèåì ïðè íåîïðåäåë¼ííîñòèẋ = A(t)x + B(t)u + C(t)v(t) + f (α) − f (β)(10)ââîäèòñÿ ïîíÿòèå äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ ïðè èçâåñòíîé ðåàëèçàöèè ïîìåõè ðàñïðåäåëåíèÿ u, ïðè êîòîðîì ñóùåñòâóåò ñîîòâåòñòâóþùåå ðàñïðåäåëåíèåx, óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ (10), ïîíèìàåìîìó â ñìûñëå ðàñïðåäåëåíèé.àññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ìèíèìèçàöèè óíêöèîíàëà J(u) = G ∗ [u].Ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è ñ îáîáù¼ííûì óïðàâëåíèåì ïðè íåîïðåäåë¼ííîñòè ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è ñ èìïóëüñíûì óïðàâëåíèåì ïðè íåîïðåäåë¼ííîñòè:dx(t) = A(t)x(t)dt + B(t)dU (t) + C(t)v(t),ñ óíêöèîíàëîì J(u) =x(t0) = x0,x(t1 + 0) = x1 , (11)Var U (·), ãäå ìàòðèöà B(t) ∈ Rn×m(k+1) è x0, x1[t0 ,t1 +0)îïðåäåëÿþòñÿ èç ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû (10) (òåîðåìà 1.3).Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ñ îáîáù¼ííûìè óïðàâëåíèÿìè áåç ïîìåõè ðåàëèçàöèÿ óïðàâëåíèÿ ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ äåëüòàóíêöèè è å¼ ïðîèçâîäíûõ [9℄XN Xku(t) =i=1 ðàçäåëå1.1.6j=0pij δ (j) (t − τi ).ðàññìàòðèâàþòñÿ áûñòðûåóïðàâëåíèÿ(12) îãðàíè÷åííûåàïïðîêñèìàöèè èìïóëüñíûõ óïðàâëåíèé [11, 30℄.
Áûñòðûå óïðàâëåíèÿ âîç11äåéñòâóþò íà ñèñòåìó â òå÷åíèå ìàëîãî âðåìåíè, â îòëè÷èå îò èìïóëüñíûõóïðàâëåíèé, äåéñòâóþùèõ ìãíîâåííî è, â ñâÿçè ñ ýòèì, íå ðåàëèçóåìûõ íàïðàêòèêå.Îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆jh (t − τi ) àïïðîêñèìàöèþ ïðîèçâîäíîé äåëüòà-óíêöèèδ (j) (t − τi ), j = 0, . . . , k , îòëè÷íóþ îò íóëÿ íà îòðåçêå [τi − h, τi + h]. Òîãäàáóäåì àïïðîêñèìèðîâàòü èìïóëüñíîå óïðàâëåíèå (12) áûñòðûì óïðàâëåíèåìâèäàu∆ (t) =XN Xki=1j=0uij ∆jh(t − τi ),(13)ãäå êîýèöèåíòû h è uij è âèä óíêöèé ∆jh (t) ïàðàìåòðû àïïðîêñèìàöèè.jÏðè h → 0 óíêöèè ∆h (t) îáðàçóþò äåëüòîîáðàçíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè [4℄. ðàçäåëå 1.2 ïîñòàâëåíà Çàäà÷à 1.5 îïðåäåëåíèÿ àïïðîêñèìàöèè ∆nh (t)äåëüòà-óíêöèè δ(t) è å¼ ïðîèçâîäíûõ δ (n) (t) ïðè ïîìîùè êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ óíêöèé, îòëè÷íûõ îò íóëÿ íà èêñèðîâàííîì îòðåçêå âðåìåíè [−h, h],è îáëàäàþùèõ ìèíèìàëüíûì ìîäóëåì ñðåäè âñåõ òàêèõ àïïðîêñèìàöèé:µ → inf,(14)|∆nh(t)| 6 µ, t ∈ [−h, h].Äîïîëíèòåëüíî íàêëàäûâàþòñÿ îãðàíè÷åíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå ñëàáóþ ñõîäèìîñòü ∆nh (t) ê ïðîèçâîäíîé äåëüòà-óíêöèè δ n (t):(Rh∆n (t) tj dt = 0, j = 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
