Синтез быстрых управлений в линейных системах (1104819), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . n − 1,−hR h hnnn−h ∆h (t) t dt = (−1) n!(15)Ýòî ïîçâîëÿåò ñîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó â âèäå ïðîáëåìû ìîìåíòîâ [9℄. Äîêàçàíî (òåîðåìà 1.4), ÷òî ïðîáëåìà ìîìåíòîâ (14), (15) èìååò ñëåäóþùåå ðåøåíèå:n+1signUn ht ,∆nh(t) = 14 (−1)nn! h2(16)ãäå Un (·) ìíîãî÷ëåí ×åáûøåâà âòîðîãî ðîäà: Un (t) = cos (n · arccos t). Ïîëó÷åííûå àïïðîêñèìàöèè áóäóò êóñî÷íî-ïîñòîÿííûìè, òî åñòü ðàçðûâíûìèóíêöèÿìè.Òàêæå äîêàçàíà ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü àïïðîêñèìàöèè ∆nh(t) ê n-îé ïðîèçâîäíûé äåëüòà-óíêöèè δ (n) (t) ïðè h → 0 (òåîðåìà 1.5). ðàçäåëå1.3ïîñòàâëåíà çàäà÷à ïîèñêà íåïðåðûâíûõ è ãëàäêèõ àïïðîêñèìàöèé äåëüòà-óíêöèè è å¼ ïðîèçâîäíûõ:Çàäà÷à 1.6.Íàéòè àïïðîêñèìàöèþ ∆nh,k (t) n-îé ïðîèçâîäíîé äåëüòà12óíêöèè δ (n) (t) íà îòðåçêå [−h, h], êîòîðàÿ áûëà áû (k − 1) ðàç íåïðåðûâíîäèåðåíöèðóåìà, ñ ìèíèìàëüíûì ìîäóëåì ïðîèçâîäíîé (k−1)-îãî ïîðÿäêà.Ïðåäëàãàåòñÿ èñêàòü ∆nh,k (t) â âèäå nR t R t1R tk−1 n∆h,k (t) = −h −h.
. . −hgk (tk )dtk dtk−1 . . . dt1 ,n|gk (t)| 6 µ,(17)ãäå gkn (·) íåêîòîðàÿ íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ, ïîäëåæàùàÿ îïðåäåëåíèþ. Òàêæå íàêëàäûâàþòñÿ îãðàíè÷åíèÿ, àíàëîãè÷íûå (15). Äîêàçàíî (òåîðåìà 1.6),÷òî ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è áóäåò k -êðàòíûì èíòåãðàëîì îò óíêöèè,ÿâëÿþùåéñÿ ðàçðûâíîé àïïðîêñèìàöèåé ñ ìèíèìàëüíûì ìîäóëåì äëÿ ïðîèçâîäíîé äåëüòà-óíêöèè (n + k)-îãî ïîðÿäêà, ∆n+kh (t) :Z tk−11∆nh,k (t) = (k−1)!∆n+kdτ, ãäåh (τ )(t − τ )−hn+k1∆n+kh (t) = 4 (−1)2 n+k+1(nh+ k)! sign Un+kth.åçóëüòèðóþùèå àïïðîêñèìàöèè áóäóò â ñëó÷àå k = 1 êóñî÷íî-ëèíåéíûìè, íåïðåðûâíûìè óíêöèÿìè. Ïðè k > 2 àïïðîêñèìàöèè ∆nh,k (t) áóäóò êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûìè óíêöèÿìè ïîðÿäêà k , èìåþùèìè (k − 1) íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ â òî÷êàõ ñòûêîâêè. Àïïðîêñèìàöèè (17) ñëàáî ñõîäÿòñÿ ên-îé ïðîèçâîäíîé äåëüòà-óíêöèè δ (n) (t) ïðè h → 0 (òåîðåìà 1.7). ðàçäåëå 1.4 ïðèâåä¼í ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ îáîáù¼ííûìóïðàâëåíèåì áåç íåîïðåäåë¼ííîñòè â áûñòðûõ óïðàâëåíèÿõ, ïîëó÷åííûé âðàáîòå [6℄.
Èçíà÷àëüíî ìåòîä ïðåäëîæåí äëÿ îäíîãî âèäà äåëüòîîáðàçíûõïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, îäíàêî îí ïðèìåíèì è äëÿ àïïðîêñèìàöèé âèäà (16) è(17), à òàêæå â çàäà÷àõ ñ íåîïðåäåë¼ííîñòüþ.Âðàçäåëå 1.5íà ïðèìåðå çàäà÷è óïðàâëåíèÿ êîëåáàòåëüíîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû ïîêàçàíî ïðèìåíåíèå èìïóëüñíûõè îáîáù¼ííûõ ïðîãðàììíûõ óïðàâëåíèé â çàäà÷àõ áåç íåîïðåäåë¼ííîñòè, àòàêæå ïåðåõîä ê áûñòðûì óïðàâëåíèÿì.Âî âòîðîéãëàâåäëÿ çàäà÷è ñèíòåçà èìïóëüñíûõ è áûñòðûõ óïðàâëåíèéäëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû ïðè íàëè÷èè íåèçâåñòíîé îãðàíè÷åííîé ïîìåõè äîêàçàí ïðèíöèï îïòèìàëüíîñòè äëÿ óíêöèè öåíû â çàäà÷å ñèíòåçà.
Äîêàçàíî,÷òî óíêöèÿ öåíû óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó òèïà àìèëüòîíàßêîáèÁåëëìàíàÀéçåêñà, è ïîëó÷åíà ñòðàòåãèÿ èìïóëüñíîãî óïðàâëåíèÿ. Òàêæå ïðåä13ëîæåíû ñïîñîáû îïèñàíèÿ òðàåêòîðèé çàìêíóòîé ñèñòåìû.åçóëüòàòû âòîðîé ãëàâû îïóáëèêîâàíû àâòîðîì â ðàáîòå [36℄ â ñîàâòîðñòâå ñ íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëåì À.
Í. Äàðüèíûì. Íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþïðèíàäëåæèò ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Äîêàçàòåëüñòâà ïðèíàäëåæàò àâòîðó äèññåðòàöèè.Èññëåäóåòñÿ çàäà÷à ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ â ëèíåéíîé ñèñòåìå ñ èìïóëüñíûìóïðàâëåíèåì U (·) ïðè íåîïðåäåë¼ííîñòè v(·)dx(s) = A(s)x(s)ds + B(s)dU (s) + C(s)v(s)ds,x(t) = x.(18)Ñèñòåìà ðàññìàòðèâàåòñÿ íà èêñèðîâàííîì èíòåðâàëå âðåìåíè s ∈ [t, t1 ].Çàäàí óíêöèîíàë, çàâèñÿùèé îò óïðàâëåíèÿ è ïîìåõè,J(U (·), v(·)) = Var U (·) + ϕ(x(t1 + 0)),[t,t1 +0)(19)ãäå ϕ(·) íåêîòîðàÿ âûïóêëàÿ óíêöèÿ.
Öåëü óïðàâëåíèÿ ìèíèìèçèðîâàòü óíêöèîíàë (19), íåñìîòðÿ íà íàëè÷èå íåîïðåäåë¼ííîñòè.Èñïîëüçóåòñÿ îáîáùåíèå ìåòîäà äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íà ñëó÷àé èìïóëüñíûõ óïðàâëåíèé, ïðèìåí¼ííîå ê çàäà÷àì áåç íåîïðåäåë¼ííîñòè âðàáîòàõ [23, 30℄.Âðàçäåëå 2.2îïðåäåëåíîìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ïîìåõM(t) = {v : [t, t1] → Rq |v(·) ∈ L∞ [t, t1], v(s) ∈ Q(s) äëÿ ï.â. s ∈ [t, t1]}, (20)ãäå L∞ ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ, ïî÷òè âñþäó îãðàíè÷åííûõ óíêöèé,Q(s) íåïóñòîé âûïóêëûé êîìïàêò â Rq .Âîçìîæíûå óïðàâëåíèÿU ïðèíàäëåæàò êëàññó óíêöèé îãðàíè÷åííîéâàðèàöèè BV ([t, t1 ], Rm ).
Ïîñêîëüêó â ñèñòåìó (18) óïðàâëåíèå âõîäèò êàêäèåðåíöèàë dU , òî ðàññìàòðèâàþòñÿ êëàññû ýêâèâàëåíòíûõ óïðàâëåíèé ñòî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû.Ââåäåíû ìèíèìàêñíàÿ V (t, x) è ìàêñèìèííàÿ óíêöèè öåíû W (t, x) [25℄,ðàâíûå ìèíèìàëüíîìó çíà÷åíèå óíêöèîíàëà çàäà÷è â ñëó÷àå, êîãäà ðåàëèçóåòñÿ íàèõóäøèé ñëó÷àé ïîìåõè (íåîïðåäåë¼ííîñòè). Ïðè ýòîì V (t, x) ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî óïðàâëåíèå âûáèðàåòñÿ áåç çíàíèÿ ðåàëèçîâàâøåéñÿ ïîìåõè. ñëó÷àå óíêöèè W (t, x), íàîáîðîò, óïðàâëåíèå âûáèðàåòñÿ ïðè èçâåñòíîéðåàëèçàöèè ïîìåõè.14V (t, x) = min maxVar U (·)+U (·) v(·)∈M(t) [t,t1 +0)+ ϕ(x(t1 + 0)) | x(t) = x, U (·) ∈ BV ([t, t1]) , (21)W (t, x) = max min Var U (·)+v(·)∈M(t) U (·)[t,t1 +0)+ ϕ(x(t1 + 0)) | x(t) = x, U (·) ∈ BV ([t, t1]) .Çäåñü x(t) òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (18), ñîîòâåòñòâóþùàÿ óïðàâëåíèþ U (·) èïîìåõå v(·).Ôóíêöèè V (t, x) è W (t, x) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñîïðÿæ¼ííûå ê íèìóíêöèè ïî Þíãó-Ôåíõåëþ: V (t, x) = sup{hx, pi − V ∗ (t, p) | p ∈ Rn },W (t, x) = sup{hx, pi − W ∗(t, p) | p ∈ Rn }, êîòîðûå èìåþò âèä [25℄:V ∗(t, p) = conv ϕ∗(X T (t, t1)p) − ρ X T (t, t1)p Q(t, t1) ++ I(X T (t, t1 )p | BV [t, t1 ]),W ∗(t, p) = conv ϕ∗(X T (t, t1)p) + I(X T (t, t1 )p | BV [t, t1]) −− ρ(X T (t, t1)p | Q(t, t1)) .Çäåñü ρ (p | Q(t, t1 )) îïîðíàÿ óíêöèÿ â íàïðàâëåíèè p ê âûïóêëîìó êîìïàêòíîìó ìíîæåñòâó Q(t, t1 ), ðàâíàÿ ρ (p | Q(t, t1 )) = sup{hp, qi | q ∈ Q(t, t1 )};ìíîæåñòâî Q(t, t1 ) îïðåäåëÿåòñÿ êàêZQ(t, t1) =t1C(τ )Q(τ )dτ ;(22)tconv(·) îïåðàöèÿ îâûïóêëåíèÿ óíêöèè, òî åñòü ïîëó÷åíèÿ íàèáîëüøåé âûïóêëîé óíêöèè, íå ïðåâûøàþùåé èñõîäíîé óíêöèè; BV [t, t1 ] åäèíè÷íûéøàð â ïîëóíîðìå||ℓ||V = ||B T (·)ℓ||C[t,t1 ] ;(23)I(p, A) èíäèêàòîðíàÿ óíêöèÿ ìíîæåñòâà A, ðàâíàÿ íóëþ, åñëè p ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A, è áåñêîíå÷íîñòè â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Ìèíèìàêñíàÿ è ìàêñèìèííàÿ óíêöèè öåíû èñïîëüçóþòñÿ äàëåå â îðìóëèðîâêå óðàâíåíèÿ àìèëüòîíàßêîáèÁåëëìàíàÀéçåêñà è äëÿ ïîñòðîåíèÿóíêöèé öåíû ñ êîððåêöèÿìè.Âðàçäåëå 2.3ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ïîçèöèîííîé óíêöèè öåíû [26, 27℄.Îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå U : M(t) → BV ([t, t1 ], Rm), ïîçâîëÿþùåå ïî ðåàëè15çàöèè ïîìåõè íà îòðåçêå [t, t1 ] ïîëó÷èòü çíà÷åíèå óïðàâëåíèÿ íà ýòîì îòðåçêå.×åðåç Ω(t) îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî òàêèõ îòîáðàæåíèé, êîòîðûå äîïîëíèòåëüíî îáëàäàþò ñâîéñòâîì íåóïðåæäåíèÿ, à èìåííî, äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè s ∈ [t, t1 ] è äëÿ ëþáûõ v ′, v ′′ ∈ M(t) âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ñâîéñòâî:åñëè v ′ (τ ) = v ′′(τ ) ïðè ï.â.
τ ∈ [t, s], òî U [v ′](τ ) = U [v ′′](τ ) ïðè τ ∈ [t, s + 0).Çäåñü U [v](t) ðåàëèçàöèÿ îòîáðàæåíèÿ U ïðè èçâåñòíîé ðåàëèçàöèè ïîìåõèv(t).Îïðåäåëåíàïîçèöèîííàÿ óíêöèÿ öåíûV(t, x) = inf:sup { Var U [v] + ϕ(x(t1 + 0))}U∈Ω(t) v∈M(t) [t,t1 +0](24)è äîêàçàíû å¼ ñâîéñòâà (òåîðåìû 2.4, 2.9).Òåîðåìà 2.4.Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî τ ∈ [t, t1 + 0) è x ∈ Rn äëÿ óíêöèèöåíû (24) âûïîëíÿåòñÿ ïðèíöèï îïòèìàëüíîñòè:V(t, x) = infsup { Var U [v] + V(τ, x(τ ))}.U∈Ω(t) v∈M(t) [t,τ +0)(25)Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåíî ïî àíàëîãèè ñ [27℄, ñ îáîáùåíèåì íà ñëó÷àé èìïóëüñíûõ óïðàâëåíèé.
Ñëîæíîñòü â ïåðåõîäå íà ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííûõóïðàâëåíèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî èìïóëüñ âîçìîæåí â ìîìåíò âðåìåíè τ .Ïîçèöèîííàÿ óíêöèÿ öåíû V(t, x) (24) óäîâëåòâîðÿåòÒåîðåìà 2.9.óðàâíåíèþ òèïà àìèëüòîíàßêîáèÁåëëìàíàÀéçåêñà (ßÁÀ):min{H1, H2} = 0,H1 (t, x, Vt, Vx ) = Vt + max hVx , A(t)x + C(t)vi ,v∈Q(26)H2 (t, x, Vt, Vx ) = min {1 + hVx , B(t)hi}khk=1ñ êðàåâûì óñëîâèåì(27)V(t1 , x) = V (t1 , x; t1, ϕ(·)),ãäå V (t1 , x; t1, ϕ(·)) ìèíèìàêñíàÿ óíêöèÿ öåíû (21), âçÿòàÿ â ìîìåíò t1 èðàâíàÿ V (t1 , x; t1, ϕ(·)) = max{hx, pi − ϕ∗ (p) | p ∈ Rn , ||B1T (t1 )p|| 6 1}. îáùåì ñëó÷àå ïîçèöèîííàÿ óíêöèÿ öåíû ìîæåò íå áûòü äèåðåíöèðóåìîé â òî÷êå (t, x).
Òîãäà ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïîíèìàþòñÿ êàê ïðîèçâîäíûå ïî ñîîòâåòñòâóþùèì íàïðàâëåíèÿì.Ñ ïîìîùüþ ïîçèöèîííîé óíêöèè öåíû íå óäà¼òñÿ ïîëó÷èòü êîíñòðóêòèâíûé ñèíòåç óïðàâëåíèÿ, ïîýòîìó äàëåå, â16ðàçäåëå 2.4ðàññìàòðèâàåòñÿçàäà÷à ñ êîððåêöèÿìè.Çàäà÷à ñ êîððåêöèÿìè [10℄ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó óïðàâëåíèÿ ïðèíåîïðåäåë¼ííîñòè, â êîòîðîé âåñü îòðåçîê âðåìåíè ðàçáèâàåòñÿ íà íåáîëüøèåèíòåðâàëû.
 èêñèðîâàííûå ìîìåíòû âðåìåíè, îãðàíè÷èâàþùèå äàííûå èíòåðâàëû, ñòàíîâèòñÿ äîñòóïíîé èíîðìàöèÿ î òåêóùåì ïîëîæåíèè ñèñòåìû. êàæäûé òàêîé ìîìåíò âðåìåíè âûáèðàåòñÿ óïðàâëåíèå, êîòîðîå áóäåò äåéñòâîâàòü íà ñëåäóþùåì ìàëåíüêîì èíòåðâàëå.  ðàáîòå [25℄ áûëî ïðåäëîæåíîèñïîëüçîâàòü ïåðåõîä ê çàäà÷å ñ êîððåêöèÿìè â çàäà÷å èìïóëüñíîãî óïðàâëåíèÿ ïðè íàëè÷èè ïîìåõè. åçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ëàâå 2, ïðîäîëæàþòèññëåäîâàíèå ìåòîäà, ïðåäëîæåííîãî â ðàáîòå [25℄.Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè äëÿ óïðîùåíèÿ ïîñëåäóþùèõ âûêëàäîê äàëååðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà ñ íóëåâîé äèíàìèêîéx(t) = x(28)J(U (·), v(·)) = Var U (·) + ϕ(x(t1 + 0)).(29)dx(s) = B(s)dU (s) + v(s)ds,è óíêöèîíàëîì[t,t1 +0)Öåëü óïðàâëåíèÿ ìèíèìèçèðîâàòü óíêöèîíàë (29) íà òðàåêòîðèÿõ ñèñòåìû (28), íåñìîòðÿ íà íàëè÷èå íåîïðåäåë¼ííîñòè v(s) ∈ M(s) (20).Ïóñòü T = {τk }Nk=0 ðàçáèåíèå îòðåçêà [t, t1 ], òàêîå ÷òî t = τN < τN −1 <· · · < τ1 < τ0 = t1 .Ìèíèìàêñíàÿ óíêöèÿ öåíû ñ êîððåêöèÿìèVT (s, x) [25℄ îïðåäåëÿåòñÿðåêóððåíòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè:VT (τ0, x) = V (t1, x; t1, ϕ(·)),VT (s, x) = V (s, x; τk−1, VT (τk−1, ·)), s ∈ [τk , τk−1), k = 1, .
. . , N.Ìàêñèìèííàÿ óíêöèÿ öåíû ñ êîððåêöèÿìè(30)WT (s, x) [25℄ ðàâíà:WT (τ0, x) = W (t1, x; t1, ϕ(·)),WT (s, x) = W (s, x; τk−1, WT (τk−1, ·)), s ∈ [τk , τk−1), k = 1, . . . , N.(31)Ïîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóþò òî÷íàÿ íèæíÿÿ è òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíèinf VT (t, x), sup WT (t, x), è îíè ðàâíû. Ïîýòîìó ìîæíî ââåñòè óíêöèþ öåíûTTâ çàäà÷å ñèíòåçà V(t, x), ðàâíóþ â êàæäîé òî÷êå (t, x)V(t, x) = inf VT (t, x) = sup WT (t, x).TT17(32)Ýòî óòâåðæäåíèå ñîðìóëèðîâàíî â ñëåäóþùåé òåîðåìå:Òåîðåìà 2.14.Ïóñòü ñèñòåìà (28) âïîëíå óïðàâëÿåìà íà êàæäîì îòðåçêå[τ ′ , τ ′′ ], t 6 τ ′ < τ ′′ 6 t1 . Ïóñòü òåðìèíàëüíàÿ óíêöèÿ ϕ(·) âûïóêëàÿ èëèïøèöåâà. Ïóñòü îòîáðàæåíèå Q(s) ëèïøèöåâî ñ êîíñòàíòîé LQ, è Q(s) íåïóñòîé âûïóêëûé êîìïàêò äëÿ âñåõ s ∈ [t, t1 ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
