Сдвиговые волны в резонаторе с кубичной нелинейностью (1104810), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Получено точное аналитическое решение длястоячих волн в таком резонаторе. Точное решение проанализировано дляслучая малой вязкости. Выведены соотношения, позволяющие представитьрезонансные частоты в виде ряда в предельных случаях бесконечно малой ибесконечно большой массы.В § 2.5 описывается экспериментальная установка и методика измерений.Схема установки приведена на рис. 1.
Измерения проводились с двумярезонаторами в виде прямоугольных параллелепипедов, изготовленных изполимерного материала пластисола. На верхней грани параллелепипедовзакреплялась жёсткая пластина массы М. Толщина резонаторов былаодинаковой и составляла 15 мм. Длина и ширина составляли 67мм и 40 мм(резонатор I), 70мм и 40 мм (резонатор II). Масса верхней пластины былапримерно одинакова: 12 г (резонаторI), 11.55 г (резонатор II).Время релаксации и сдвиговаявязкостьматериаларезонаторовопределялисьиззависимостиускорения верхней пластины отчастоты, измеренной в линейномрежиме в диапазоне 10 – 400 Гц.Рис.
1. Схема экспериментальной установки.11Колебания нижней пластины резонатора возбуждались вибратором Brüel&Kjær4810. Электрический сигнал на вибратор поступал с генератора сигналовTektronix 3021B через усилитель мощности MF LV 103. Ускорения нижней иверхней пластин резонатора измерялись миниатюрными однооснымиакселерометрами Brüel&Kjær 4374. Масса акселерометров была 1 г, т.е. ихвлиянием на процесс колебаний резонатора можно было пренебречь. Сигналыакселерометров регистрировались цифровым осциллографом Tektronix 3032B ипередавались через GPIB интерфейс в компьютер. Управлениеэкспериментальной установкой и сбор данных осуществлялись с помощьюпрограммы, написанной в среде LabView В процессе измерения резонансныхкривых ускорение нижней границы резонатора при каждом значении частотыбыло одинаковым и составляло 1 м/с2, что соответствовало линейному режимуизмерений.
Измерения проводились с шагом по частоте 0.1 Гц, чтообеспечивало достаточную точность определения вязкоупругих параметровпластисола. Для обеспечения постоянства амплитуды ускорения нижнейпластины в указанном частотном диапазоне был использован следующийалгоритм. При заданной частоте на выходе генератора устанавливалосьнапряжение, при котором амплитуда ускорения нижней пластины быланемного меньше необходимого значения. Это напряжение увеличивалось дотех пор, пока амплитуда ускорения не достигала необходимого значения спогрешностью, не превышающей 2%. В течение 2-3 секунд в резонатореустанавливались стационарные колебания, после чего производилосьизмерение и запись ускорения верхней пластины резонатора. Затем задавалосьследующее значение частоты и измерения повторялись в соответствии сописаннымалгоритмом.Описанныйалгоритмизмеренийимеетпринципиальное значение при изучении резонансных характеристик внелинейном режиме, когда требуется обеспечить постоянство внешнеговоздействия на резонатор.
Однако в нелинейном режиме профиль ускорениянижней пластины искажается за счёт генерации в резонаторе высшихгармоник. Поэтому в нелинейном режиме поддерживалась постояннойамплитуда ускорения на основной частоте, что потребовало модификацииописанного выше алгоритма измерения резонансных характеристик. Длякаждого заданного значения частоты записывалась реализация, содержащаяоколо 50 периодов колебаний ускорения нижней пластины, и производилосьвычисление амплитуды основной гармоники методом БПФ. Затемрегулировкой выходного напряжения задающего генератора подбиралось такое12ускорение нижней пластины, при котором достигался заданный уровеньамплитуды на основной частоте с погрешностью, не превышающей 3%.В § 2.6 приведены результаты экспериментальных исследованийрезонатора в линейном режиме. Показана возможность измерения модулясдвига материала в резонаторе путём измерения первой резонансной частотыпри различных массах верхней пластины.
Теоретически показано, что сувеличением массы верхней пластины частота первого резонанса медленноуменьшается, частоты второго и третьего резонансов стремятся соответственнок удвоенной и учетверённой частотам первого резонанса.В § 2.7 описан метод определения времени релаксации и вязкости изсравнения измеренных резонансных кривых с расчётными на несколькихрезонансных частотах. Приведены результаты измерения времени релаксации.Результаты измерений в резонаторе с кубичной нелинейностью приконечных амплитудах приведены в § 2.8.
На рис. 2 показаны резонансныекривые,полученныедляW/WWL/ W0резонатора I. На основном121010графикепредставлены8резонансные кривые в режиме6линейных колебаний (W0=1 м/с2).42Точками показаны измеренные36384042441f, Гцзначения, сплошной линией –результатырасчётасиспользованием модели среды содним временем релаксации.0.150100150200250300350Пунктирной линией показанаf, Гцзависимость, рассчитанная дляРис.
2. Резонансные кривые, полученные для среды без релаксации. На вставкерезонатора I.показаны резонансные кривые вобласти первого резонанса при амплитуде ускорения нижней границырезонатора W0=15 м/с2. Символы соответствуют измеренным значениям,результаты расчёта показаны сплошной жирной линией. Тонкой линиейпоказан расчёт для линейных колебаний (W0=1 м/с2).На рис. 3 показаны резонансные кривые вблизи первой резонанснойчастоты, полученные для резонатора II при разных значениях амплитудыускорения нижней пластины W0.
Результаты измерений показаны символами (■– W0=3 м/с2, ○ – W0=10 м/с2 , x – W0=15 м/с2 ), расчетные зависимости –L013линиями. Числа у кривых соответствуют амплитуде W0 в м/с2. В областибистабильности время установления стационарного режима колебаний можетзначительнопревосходитьхарактерные времена в режиме1510143линейныхколебаний.Были12рассчитаны профили ускорениявблизи резонансной частоты в10течение 30 с после включения8постоянногопоамплитудеускорения на нижней пластине6резонатора II.
Расчёт проводился4303132333435приразличныхамплитудахf, Гцускорения нижней пластины. Приамплитудах ускорения менее 15Рис. 3. Резонансные кривые, полученные длям/с2времяустановлениярезонатора II.WL/ W0колебаний не зависит от амплитуды и составляет около десяти периодов начастотах вблизи резонанса (32 – 34 Гц).При амплитудах 20 м/с2 и 25 м/с2 времяустановления стационарного режима увеличивается, при этом его значениезависит от частоты. На резонансной частоте при амплитуде ускорения нижнейпластины W0=25 м/с2 стационарный режим устанавливается за 15 периодов.
Вобласти бистабильности на установления стационарного режима при указаннойамплитуде W0 затрачивается больше времени. Дольше всего (120 периодов)стационарный режим устанавливается на частоте 35.5 Гц, соответствующейсередине области бистабильности. На частоте 35.7 Гц время установлениястационарного режима уже в три раза меньше и составляет около 1 с (40периодов).Временной профиль ускоренияW /Wверхней пластины резонатора I на1.0резонансной частоте при W0=15 м/с20.5приведён на рис.
4. Измеренный и0.0рассчитанныйпрофилипоказаны0.20.40.60.81.0t /Tточкамииштриховойлинией-0.5соответственно.Сплошнойлинией-1.0показан рассчитанный профиль длярезонатора с коэффициентом сдвиговойРис. 4. Профиль ускорения верхнейвязкости η=1.6 Па·с.пластины резонатора.Lmax14На рис. 5 приведены первые тригармоникиускоренияверхней50пластины резонатора I при амплитуде40ускорения нижней пластины 15 м/с2 на30резонансной частоте. Чёрным и серым20цветомпоказаныгармоники10измеренных ускорений верхней (WL) и0нижней (W0) пластин резонатора,-10Заштрихованный столбец и столбец123Номер гармоникибелогоцветасоответствуютускоренияWL,Рис. 5. Спектр ускорения верхней пластины гармоникамрассчитанным для резонаторов срезонатора.W, дБ60коэффициентами сдвиговой вязкости η=4.7 Па·с и η=1.6 Па·с соответственно.
В§ 2.9 обсуждаются основные результаты, а в § 2.10 представлены выводыГлавы 2.Третья глава посвящена исследованию стоячих сдвиговых волн внеоднородном резонаторе. При проведении измерений мы всегда имеем дело срезонаторами конечных размеров, поэтому было важно определить областьприменимости одномерной модели. Вычисления стоячих волн в резонатореконечных размеров выполнялись с использованием метода конечных элементов(МКЭ), который был модифицирован для случая несжимаемых сред.Модификация заключалась в снятии ограничения на сохранение объёмаотдельно взятого конечного элемента при его деформации.
Эффективностьмодифицированного метода конечных элементов продемонстрирована напримере расчёта резонансных кривых резонатора неправильной формы.В § 3.1 представлен обзор литературы по проблеме исследования реальныхобъектов, которая подразумевает учёт конечных размеров этих объектов иналичия в них локальных структурных неоднородностей. Отмечено, что длярешения этой проблемы применяется метод конечных элементов (МКЭ),модифицированный в данной работе для несжимаемых резиноподобных сред.В § 3.2 приведена модель резонатора, основанная на МКЭ и изложеныосновные особенности применения МКЭ для описания несжимаемойрезиноподобной среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
