Диссертация (1104792), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Однаиз них связана с построением полиномов ХОМФЛИ в высших симметрических иантисимметрических представлениях для простейшего неторического узла. Втораязадача связана с описанием интегрируемых свойств полиномов торических узлов,а именно, со связью полиномов ХОМФЛИ торических узлов и решений уравненийиерархии Кадомцева-Петвиашвили (КП).В случае теории Черна-Саймонса с произвольной калибровочной группой SU (N )вильсоновские средние соответствуют полиномам ХОМФЛИ, которые являются полиномами по двум переменным q и A, которые связаны с константой связи теориии группой SU (N ):q = expk+N4πA = qN .(1.13)Данное соотношение между теорией узлов и теорией Черна-Саймонса интересно потой причине, что оно позволяет изучать структуру Вильсоновских средних для различных контуров (узлов).
Отметим также, что теория Черна-Саймонса связана ис другими физическими теориями, например, конформной теорией Весса-ЗуминоВиттена [59].Исходно в математической теории узлов полиномы ХОМФЛИ задаются с помощью набора скейн-соотношений, связывающих между собой полиномы для узлов,в которых пересечение заменяется на обратное пересечение или же на отсутствиепересечения:]JJ J] K ←→ , K0 ←→ J , K00 ←→ J JJСкейн-соотношения при этом гласят, что0] .(1.14)00AH K (A, q) − A−1 H K (A, q) = (q − q −1 )H K (A, q).1(1.15)Иногда их также называют полиномами ХОМФЛИ-ПТ — по фамилиям авторов Дж.Хосте,А.Окнеану, К.Милле, П.Фрейд, В.Ликориш и Д.Йеттер, а также Й.Пржтицки и П.Трачук [62, 63]9Топологическую инвариантность построенных таким образом полиномов можно проверить, рассмотрев движения Редемейстера:I:←→II:←→SS SSIII:(1.16)←→SS SSС точки зрения топологических преобразований два контура совпадают тогда итолько тогда, когда двумерную проекцию одного из них можно перевести в проекцию другого с помощью движений Редемейстера и плавных деформаций [61].
Изтретьего движения Редемейстера следует, что полиномы ХОМФЛИ описываютсяпроизведением R-матриц, так как оно эквивалентно уравнению Янга-БакстераR1 R2 R1 = R2 R1 R2 .(1.17)Уравнение (1.15) при этом задает собственные значения R-матрицы.Согласно [62, 63] для того, чтобы удовлетворялось первое движение Редемейстера, полиномы ХОМФЛИ следует представлять в форме разложения по характерамквантовой группы SU (N ):HTK =XKSQ∗ (A, q)hQT .(1.18)QKгде SQ∗ (A, q) — это характеры, а hQ— коэффициенты, определяемые для каждогоTузла с помощью произведения R-матриц.
Характеры SQ∗ (A, q) при этом берутся вспециальной точке, называемой топологическим локусом. Стандартная запись дляхарактеров описывает их, как функции временны́х переменных tk (следы степенейгруппового элемента в фундаментальном представлении). Соответственно, разложение (1.18) можно обобщить путем замены топологического локуса на произвольныеtk , построив, таким образом, обобщенные полиномы ХОМФЛИ.В данной работе была изучена связь между теорией Черна-Саймонса и интегрируемыми системами.
Одни из самых хорошо изученных объектов в теории интегрируемых систем это — τ -функции иерархии Кадомцева-Петвиашвили (КП). В случаетрех переменных они являются решениями классического уравнения КадомцеваПетвиашвили. Это уравнение допускает также обобщение на случай большего чис10ла переменных, порождая, тем самым, иерархию уравнений. Соответствующие τ функции являются решениями билинейного уравнения Хироты IPzkzk0(tk −t0k )z −kkτ tk −= 0.dz eτ tk +kk(1.19)В настоящее время решения данного уравнения широко изучаются, в том числе вконтексте связей с различными теориями.Как τ -функции, так и обобщенные полиномы ХОМФЛИ являются функциямиот временных переменных.
В данной работе рассмотрена связь между этими двумяобъектами. При этом используются методы построения полиномов ХОМФЛИ какразложения по характерам. Так, было получено, что производящая функция обобщенных полиномов ХОМФЛИ действительно является τ -функцией КП для торических узлов.
Но также оказалось, что это не всегда соблюдается для неторическихузлов.Связь с интегрируемыми системами не ясна для неторических узлов. Одна изпричин состоит в том, что только для торических узлов известна наиболее общаяформула для полиномов ХОМФЛИ в произвольном представлении (соответствующих вильсоновским средним с полем, преобразующимся по произвольному представлению калибровочной группы). Скейн-соотношения (1.15) также сильно усложняются при изучении высших представлений, что не позволяет использовать их длярассмотрения таких полиномов. В том числе и для прояснения связи с интегрируемыми системами возникает задача о построении полиномов ХОМФЛИ в высшихпредставлениях для простейшего неторического узла — узла-восьмерки.Результаты данной работы опубликованы в ведущих отечественных и зарубежных научных журналах [64, 65, 66, 67, 68, 69].
Работы широко цитируются. Так,работы [65, 66, 67] имеют цитируемость более 50, а работы [64, 68, 69] — более 30.1.1Содержание диссертацииВведение посвящено общему описанию рассмотренных задач и их актуальности.Глава 2 посвящена двумерной конформной теории поля. Рассмотрены основныесвойства и элементы конформной теории.Разделы 2.1-2.3 посвящены теории свободных скалярных полей в контекстеизучения конформной теории поля. В частности, в этих разделах описаны свойствакорреляторов в свободной теории.В разделах 2.4-2.8 рассмотрена методика расчета конформных блоков по диаграмме. Конформный блок, который является частью коррелятора конформной тео11рии поля, сводится к произведению обратных матриц Шаповалова и тройных вершин.
Матрица Шаповалова соответствует коррелятору двух полей. Описаны свойства тройных вершин и матрицы Шаповалова, а также приведен ряд вычисленныхтройных вершин.В разделе 2.9 описаны свойства конформной теории с алгеброй W (3) (обобщением алгебры Вирасоро). Рассмотрены отличия от алгебры Вирасоро. Описаны способы вычисления тройных вершин и получены основные формулы для их построения.В том числе построены рекурсивные выражения на тройные вершины с алгебройW (3) .
Также проведены аналогичные вычисления с помощью теории свободных полей. Проверены полученные с помощью общих методов конформной теории тройныевершины в случае теории свободных полей.Глава 3 посвящена рассмотрению АГТ-соотношения. АГТ-соотношение подразумевает равенство между конформным блоком и функцией Некрасова (свойстваконформных блоков подробно рассмотрены в главе 2). Процедура построения функции Некрасова, необходимой при рассмотрении АГТ-соотношения, рассмотрена вразделе 3.1.В данной главе рассмотрены две конфигурации полей конформной теории. Раздел 3.2 посвящен АГТ-соотношению для конформных блоков на двумерной сфере.Подробно рассмотрены случаи четырех, пяти и шести внешних полей.
Из выражений для первых порядков разложений по координатам полей получены соотношения между параметрами, и проверено, что при таком выборе параметров АГТсоотношение выполняется для второго и третьего порядков разложений. Также показано, что с помощью рассмотренных случаев можно получить связь между параметрами теорий для произвольного числа внешних полей. Показано, что первые трипорядка разложения многоточечного случая (как конформного блока, так и функции Некрасова) сводятся к четырех-, пяти- и шеститочечным случаям.
В разделе3.2.6 также описано множество симметрий для соотношений между параметрами.В разделе 3.2.7 рассмотрены различные способы выбора диаграмм для одинакового числа полей и описаны диаграммы, которые связаны с функциями Некрасовапосредством АГТ соотношения.В разделе 3.3 рассматривается АГТ-соотношение для конформного блока дляодного внешнего поля на двумерном торе. Описаны соответствующий конформныйблок и функция Некрасова.
В частности, в разделе 3.3.1 рассмотрен предел больших размерностей конформных полей. Доказано, что конформный блок в такомпределе описывается формулойnnq n B (n) ∼ Λ4n Q−1∆ ([1 ], [1 ]) ,12(1.20)что согласуется с рассчитанным ранее в работах [70, 71] аналогичным пределом дляслучая четырех внешних полей на сфере.В главе 4 рассматривается процедура вычисления конформного блока с использованием конкретной конформной теории — теории свободных полей. Эта теорияпозволяет легко рассчитать все необходимые элементы, но обладает существеннымограничением — “законом сохранения”, налагающем жесткие условия на размерности полей.
Для рассмотрения произвольных размерностей в конформный блок, согласно работам Доценко и Фатеева, добавляются операторные вставки специальноговида, которые не изменяют конформных свойств выражений. При этом конформныйблок представляется суммой интегралов, являющихся обобщением известных в математике интегралов Сельберга. Форма этого интеграла характерна для матричныхмоделей. В разделах 4.1-4.3 построены структурные константы для свободной теории с операторными вставками Доценко-Фатеева и проверено, что они согласуютсяс соответствующими результатами из главы 2. В разделе 4.4 описан метод построения соответствующего матрично-модельного выражения для конформного блока.В разделе 4.5 рассмотрены свойства интегралов Сельберга.Глава 5 посвящена трехмерной теории Черна-Саймонса и связанным с ней задачам. Описаны основные методы построения Вильсоновских средних теории ЧернаСаймонса и соответствующих им полиномов ХОМФЛИ в теории узлов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
