Диссертация (1104792), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Л.Алдай, Д.Гайотто и Ю.Тачикава в работе [11] предположили существованиетакого соотношения, получившего название соотношения Алдая-Гайотто-Тачикавы(АГТ-соотношения) или гипотезы АГТ. Согласно высказанной ими гипотезе функция Некрасова равна конформным блокам — голоморфной части корреляторов конформной теории поля. Данное соотношение позволяют решить ряд задач, связанныхкак с суперсимметричной теорией, так и с конформной теорией.

Так, с помощьювычислений в конформной теории было получено выражение для препотенциала всуперсимметричной теории с четырьмя безмассовыми мультиплетами в фундаментальном представлении [12].Первая часть работы посвящена различным вопросам, связанным с двумернойконформной теорией.

Конформной теорией поля [13, 14] называется модель квантовой теории поля, инвариантная относительно конформных преобразований. Этипреобразования, являющиеся прямым обобщением масштабных преобразований, сохраняют углы между любыми двумя направлениями, но не сохраняют расстояния.Конформная теория имеет непосредственное отношение к физике твердого тела, вчастности, к теории фазовых переходов [15, 16].

Наиболее интересный случай конформной теории — это двумерная теория, потому что только в этом случае множество генераторов в теории бесконечномерно.Еще одно важное свойство двумерной конформной теории состоит в возможности рассмотрения по отдельности голоморфных и антиголоморфных объектов. Еслиперейти от двумерных координат x1 и x2 к комплексным координатам z = x1 + ix2 иz̄ = x1 − ix2 , то оказывается, что все объекты распадаются в комбинацию голоморфной части, зависящей только от z, и антиголоморфной, зависящей только от z̄.В данной работе изучаются не сами поля, а их корреляторы. Как и у другихобъектов в двумерной конформной теории, у корреляторов также можно выделитьголоморфную и антиголоморфную компоненты. Для этого вводят в коррелятор дополнительные поля, по которым позже производится суммирование. Например, коррелятор четырех полей можно описать следующей формулой: P ∆,∆¯ ∆,∆¯C12 C34 ×V∆1 ,∆¯ 1 (z1 , z̄1 )V∆2 ,∆¯ 2 (z2 , z̄2 )V∆3 ,∆¯ 3 (z3 , z̄3 )V∆4 ,∆¯ 4 (z4 , z̄4 ) =¯∆,∆(1.5)¯ 1, ∆¯ 2, ∆¯ 3, ∆¯ 4 , c, z̄1 , z̄2 , z̄3 , z̄4 ).×B∆ (∆1 , ∆2 , ∆3 , ∆4 , c, z1 , z2 , z3 , z4 )B̄∆¯ (∆¯¯∆,∆∆,∆C12и C34— это структурные константы, описывающие зависимость коррелятора¯ i — это голоморфная и антиголоморфнаяот конкретной конформной теории.

∆i и ∆5части размерности поля Vi , а суммирование ведется по всевозможным промежуточным полям, которые дополнительно вводятся в коррелятор. Функции B∆ и B̄∆¯ называются голоморфным и антиголоморфным конформными блоками соответственно.Разложение такого вида может быть построено и для корреляторов произвольногочисла полей. Далее рассматриваются только свойства голоморфных конформныхблоков B. Все вычисления, однако, могут быть проведены аналогичным образом идля антиголоморфного случая.В данной работе используются два метода вычисления конформных блоков.

Первый основан напрямую на свойствах конформной симметрии. При этом вычислениядовольно громоздки, а их сложность значительно увеличивается при рассмотрениивысших порядков разложения по координатам полей в конформном блоке.Второй метод основан на использовании конкретной конформной модели — теории свободных скалярных полей.

Это — одна из простейших моделей конформнойтеории. С помощью данной модели можно легко получить все интересующие конформные блоки. В качестве полей конформной теории при этом выступают экспоненты от скалярного поля:Vα (z) = eαφ(z) ,(1.6)конформные размерности которых связаны с параметрами α:1∆α = α(α − Q).2(1.7)Однако, в данной модели присутствует закон сохранения — уравнение, жестко связыPвающее друг с другом размерности полей, входящих в конформный блок — α = 0.Тем самым эта модель не позволяет рассматривать конформный блок для произвольных размерностей полей.Один из результатов данной работы связан с рассмотрением способа вычислениякорреляторов полей с произвольной размерностью в модели свободных полей.

Идеятакого вычисления состоит в добавлении в корреляторы экранирующих операторовДоценко-Фатеева [17, 18, 19]. Экранирующими называются поля, которые задаютсяпараметром b, связанными с Q следующим образом — Q = b − 1/b. Специфика такихполей состоит в том, что конформная размерность интегралов от них равна нулю.По этой причине добавление в выражения для корреляторов элементов видаZebφ(z)(1.8)не должно повлиять на конформные свойства теории. Таким образом, при добавлении экранирующих полей получается выражение для конформного блока, включа-6ющее в себя интегралы Сельберга:)(NNN Z qYYY20zi2bα1 (q − zi )2bα2 .(zi − zj )2bdzi z YIY 0 =i=10(1.9)i=1i<jВыражения такого типа близки к матрично-модельным интегралам [20]-[37], чтопозволяет говорить о построении матричной модели, соответствующей конформному блоку.

Однако, связь полученных ответов в такой “деформированной” свободнойтеории с ответами, полученными из конформной симметрии, не очевидна и требует проверки. В данной работе проверено, что в первых трех порядках разложенияпо двойным отношениям координат полей “деформированные” константы связи действительно равны рассчитанным с помощью конформной симметрии.АГТ-соотношение связывает между собой два описанных выше объекта — конформный блок и функцию Некрасова — для определенного состава полей конформной теории и состава материи суперсимметричной теории.

Простейший и наиболееизученный случай, в котором рассматривается АГТ-соотношение, это связь междуSU (2) суперсимметричной теорией Янга-Миллса и конформной теорией с полями,которые генерируются с помощью операторов Вирасоро. Но это соотношение допускает и обобщение на SU (N ) суперсимметричную теорию. При этом в конформнойтеории рассматриваются поля, которые генерируются с помощью W (N ) алгебры. Вчастности, в работах [38] было рассмотрено такое соотношение для случая N = 3.Исследования в этом направлении были продолжены в рамках данного диссертационного исследования. Были получены некоторые общие формулы необходимыедля вычислений в случае N = 3.

Эти формулы позволяют рассмотреть конформныеблоки с алгеброй W (3) . Полученные результаты были проверены с помощью моделисвободных полей.Кроме того, в данной работе рассмотрено АГТ-соотношение для двух конфигураций полей — конформного блока для нескольких внешних полей на двумернойсфере и конформного блока для одного поля на двумерном торе. Как конформныйблок, так и функция Некрасова, представляются рядами по двойным отношениямкоординат в первой теории и по непертурбативному параметру во второй.

В даннойработе рассмотрены низшие порядки этих разложений (иногда соответствующие порядки разложений будут называться “уровнем” АГТ-соотношения) и проверено, чтогипотеза АГТ действительно выполняется.Вторая часть работы посвящена трехмерной теории Черна-Саймонса. Исходнаягипотеза АГТ, предложенная в [11], описывает связь между двумерной и четырехмерной теориями. Но также существуют и обобщения на теории других размерностей. Так, рассматриваются обобщения на случай двух трехмерных теорий [39]-[57]7и трехмерной и пятимерной теорий [57].

В обоих случаях в роли (одной из) трехмерных теорий выступает теория Черна-Саймонса с действиемk2LCS =A ∧ dA + A ∧ A ∧ A .4π3(1.10)Эта теория примечательна тем, что она является топологической теорией, то есть еекорреляторы не зависят от координат в трехмерном пространстве. По этой причинеее изучение актуально в контексте приложений к более сложным топологическимтеориям, в том числе к топологической теории струн [58].При некоторых выборах калибровки трехмерная теория Черна-Саймонса превращается в локально невзаимодействующую теорию.

Тем самым задача о нахождениикорреляторов нескольких полей не представляет такого широкого интереса, как вдругих теориях поля. Однако, благодаря топологической инвариантности и трехмерности, большой интерес для изучения представляют корреляторы другого типа —вильсоновские средние.1hWK i =ZIZAdx e[DA]T r P exp MihRML[A],(1.11)Kгде Z — статистическая сумма теории:RZiL[A]hZ = [DA]e M.(1.12)MВильсоновские средние (средние значения петель Вильсона) вычисляются для различных контуров K. Ключевая особенность трехмерной теории, которая не проявляется в теориях больших размерностей, состоит в том, что в трехмерном пространствесуществуют нетривиальные контуры, которые нельзя свести с помощью топологических преобразований друг к другу.

Такие контуры соответствуют различным узлам.Тем самым открывается большой пласт задач об изучении свойств таких вильсоновских средних для различных контуров (узлов).Согласно работе Э.Виттена [59] средние значения петель Вильсона в теории ЧернаСаймонса с калибровочной группой SU (2) равны полиномам Джонса [60], построенным в математической теории узлов. Математическая теория узлов — это довольно старая область математики, которую начали изучать еще в семнадцатом веке.Главная задача этой теории состоит в построении алгоритма, позволяющего отличить друг от друга различные узлы — замкнутые контуры в трехмерном пространстве.

Основной метод, используемый для достижения этой цели, состоит в построении так называемых инвариантов узлов. Одни из наиболее общих полиномов узлов8— это так называемые полиномы Хосте-Окнеану-Милле-Фрейда-Ликориша-Йеттера(ХОМФЛИ)1 . Полиномы Джонса являются их частным случаем.Если обобщить утверждения, сделанные Э.Виттеном, то вильсоновские средниетеории Черна-Саймонса эквивалентны полиномам ХОМФЛИ.

Свойства таких полиномов на данный момент широко изучены только для одного класса узлов, называемых торическими (так как они получаются с помощью намотки нити на тор).Однако, общие свойства вильсоновских средних (полиномов ХОМФЛИ) для произвольных узлов пока мало изучены. Во многом причиной для этого служит то, чтоответы для неторических узлов известны только в фундаментальном представлении.Многие известные свойства торических узлов, однако, связаны с полиномами такжеи в высших представлениях.В данной работе рассмотрены две задачи, связанные с полиномами узлов.

Характеристики

Список файлов диссертации