Диссертация (1104792), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Можно ожидать, что обобщением этих уравнений от однойпеременной на случай A = q N при N > 2 будут уравнения более высоких порядков,однако, для произвольного A не ясно, существует ли вообще уравнение такого типа.103Глава 6ЗаключениеВ данной работе были получены следующие результаты:• В рамках изучения обобщения АГТ-соотношения была рассмотрена процедурапостроения конформных блоков с алгеброй W (3) . Для построения конформныхблоков с помощью рассмотренной в данной работе процедуры необходимы триэлемента — скалярное произведение двух полей из модуля Верма, обобщениекоторого на случай алгебры W (3) тривиально, корреляторы и скалярные произведения трех полей. В рамках рассмотрения таких трехточечных функцийбыли получены рекурсивные формулы, позволяющие выразить их через тривиальные трехточечные функции и трехточечные функции с оператором W−1 .Полученные выражения проверены с помощью вычислений в теории свободныхскалярных полей.• Рассмотрена гипотеза АГТ для четырех-, пяти- и шеститочечных конформныхблоков на двумерной сфере.
В рамках АГТ-соотношения в конформной теориирассматриваются разложения конформных блоков, соответствующих диаграмме типа гребенки. Были рассмотрены выражения такого типа, и показано, чтов первых трех порядках разложения по двойному отношению координат конформных полей АГТ-соотношение действительно выполняется в случае четырех, пяти и шести полей. Также было показано, что для конформных блоковтипа гребенки в случае n-полей гипотеза АГТ в первых трех порядках сводитсяк рассмотренным случаям четырех, пяти и шести полей.
Соответственно, былопоказано, что АГТ-соотношение также выполняется в этих случаях. Кроме того, во всех рассмотренных выше случаях было построено соответствие междупараметрами теорий и рассмотрено множество симметрий этих параметров.• Рассмотрена гипотеза АГТ для 1-точечного конформного блока на двумерном104торе. Проверено, что в данном случае АГТ-соотношение выполняется в первых двух порядках разложения. Установлена связь между параметрами теорий. Также исследован предел большой конформной размерности внешнегополя для конформного блока, соответствующий пределу больших масс суперсимметричной теории.
Построено выражение для одноточечного конформногоблока на двумерном торе в любом порядке разложения в таком пределе. Проверено, что выражения, полученные в таком пределе, совпадают с аналогичнымпределом для четырехточечного конформного блока на двумерной сфере. Данное свойство является косвенным подтверждением гипотезы АГТ.• Рассмотрено матрично-модельное представление конформного блока.
Основная идея такого представления состоит в рассмотрении теории свободных скалярных полей с деформированными структурными константами. Для этогов произведения полей добавляются экранирующие поля Доценко-Фатеева. Деформированные структурные константы при этом выражаются через обобщенные интегралы Сельберга. Проверено, что деформированные таким образомструктурные константы совпадают со структурными константами конформной теории поля в первых трех порядках разложения по двойным отношениям координат полей. Полученное таким образом интегральное представлениедля конформного блока характерно для матричных моделей, что позволяетговорить о построении матрично-модельного представления для конформногоблока.• В рамках изучения теории Черна-Саймонса рассмотрена связь с интегрируемыми системами.
Вильсоновские средние трехмерной теории Черна-Саймонсаравны полиномам узлов. В частности, вильсоновские средние теории с калибровочной группой SU (N ) соответствуют полиномам ХОМФЛИ. Из процедурыпостроения полиномов узлов с помощью R-матриц естественным образом может быть получено разложение по характерам для полиномов узлов. С помощью разложения по характерам для полиномов узлов можно построить так называемые обобщенные полиномы ХОМФЛИ, зависящие от набора временны́хпеременных.
Как функции от временных переменных их логично сравнить стау-функциями иерархии КП. В данной работе показано, что обобщенные полиномы ХОМФЛИ торических узлов удовлетворяют уравнениям Плюккера и,тем самым, что производящая функция обобщенных полиномов ХОМФЛИ торических узлов является тау-функцией уравнения КП. Также было рассмотрено аналогичное построение для неторических узлов и показано, что данноесвойство для них не выполняется. Таким образом, интегрируемые свойства по105линомов неторических узлов пока не ясны.• В рамках изучения теории Черна-Саймонса также были рассмотрены цветные полиномы ХОМФЛИ, то есть полиномы в высших, нефундаментальных,представлениях, для простейшего неторического узла — узла-восьмерки.
Вопрос о построении таких полиномов интересен по многим причинам. Цветныеполиномы играют важную роль во многих вопросах, связанных с теорией узлов и теорией Черна-Саймонса. Между тем, они известны для произвольногопредставления только для торических узлов. В данной работе построено выражение для полинома ХОМФЛИ узла-восьмерки в произвольном симметрическом представлении.
Также проверено, что он удовлетворяет ряду известныхсвойств цветных полиномов узлов, таких как зависимость полиномов Александера и специальных полиномов от представления. Из полиномов в симметрических представлениях также можно построить полиномы в антисимметрических представлениях с помощью известной симметрии полиномов ХОМФЛИ.Полученные таким образом полиномы в антисимметрических представленияхтакже удовлетворяют известным свойствам цветных полиномов узлов.Полученные в данной работе результаты касаются двух теорий — трехмерной теории Черна-Саймонса и двумерной конформной теории поля, а также связи последней с суперсимметричными теориями.
Изученные вопросы, касающиеся двумернойконформной теории, позволяют рассматривать ряд задач как в конформной, так и всуперсимметричной теориях. Соотношение между этими двумя теориями позволяет, с одной стороны, значительно упростить вычисление корреляторов конформнойтеории, так как вычисление статсуммы суперсимметричной теории дается значительно более простым алгоритмом, нежели равный ей конформный блок.
С другойстороны, такое соотношение позволяет рассматривать ряд предельных случаев, которые устроены довольно сложно в суперсимметричном случае, но соответствующиевыражения могут быть построены с использованием конформной теории.Аналогичной цели служит и рассмотренное интегральное представление конформного блока. Построенные выражения могут быть легко обобщены на случайпроизвольных алгебр, что позволяет рассматривать различные обобщения как конформной теории, так и соотношений с суперсимметричной теорией. Также сходствотакого представления с интегралами матричных моделей открывает ряд задач освязях с теориями, представимыми в таком виде.Результаты, полученные в рамках изучения теории Черна-Саймонса, относятсяк большому пласту задач, связанному с изучением вильсоновских средних и полиномов узлов.
Трехмерная теория Черна-Саймонса — это топологическая теория. В106трехмерном пространстве в отличие от больших размерностей существуют замкнутые контуры с нетривиальной топологией. Это открывает ряд задач о свойствахкорреляторов, соответствующих таким контурам — вильсоновских средних. Однако, на данный момент даже общие ответы для таких вильсоновских средних известны только для одного класса контуров — торических узлов.
В данной работе быларассмотрена связь таких известных ответов для торических узлов и интегрируемыхсвойств. Полученное соотношение при обобщении его на другие узлы может привестик выражению их через известные операторы разрезания-склейки, что значительноупростит их описание. К сожалению, такое обобщение пока не ясно. Также былиполучены первые результаты для вильсоновских средних в высших представленияхдля простейшего неторического узла — узла-восьмерки. Это открывает возможностидля дальнейшего расширения множества известных ответов на неторические узлы.Результаты данной работы опубликованы в ведущих отечественных и зарубежных научных журналах [64, 65, 66, 67, 68, 69].107Литература[1] Д.
В. Волков, В. П. Акулов, О возможном универсальном взаимодействии нейтрино // Письма в ЖЭТФ (1972), 16, 621—624.[2] D. V. Volkov, V. P. Akulov, Is the neitrino a Goldstone partiicle? // Phys.Lett. B(1973), 46, 109—110.[3] В. П. Акулов, Д. В. Волков, Голдстоуновские поля со спином половина //Теоретическая и математическая физика (1972), 18, 39-50.[4] Ю. А. Гольфанд, Е. П.
Лихтман, Расширение алгебры генераторов Пуанкареи нарушение Р-инвариантности // Письма в ЖЭТФ (1971), 13, 452—455.[5] Ю. Весс, Д. Беггер, Суперсимметрия и супергравитация // Москва, Мир, 1986.[6] N. Seiberg, E. Witten, Electric-magnetic duality, monopole condensation, andconfinement in N = 2 supersymmetric Yang-Mills theory // Nucl. Phys. B (1994),426, 19, arXiv:hep-th/9407087.[7] A. Bilal, Duality in N = 2 SUSY SU (2) Yang-Mills Theory: A pedagogicalintroduction to the work of Seiberg and Witten // arXiv:hep-th/9601007.[8] N.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
