Диссертация (1104762), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. . 15 близки к параболическомувиду [79]. В таком случае отклик дифференциальной ячейкиV (Φ) = VL (Φ + δΦ) − VR (Φ − δΦ),(2.3)как разность двух одинаковых параболических функций, противоположно сдвинутых по оси аргумента на некоторую величину δΦ, будет представлять собойлинейную зависимость напряжения от магнитного сигнала Φ (магнитного потока), как показано на рисунке 2.2в.Действительно, если VL (Φ) = C0 −k ·(Φ−Φ⋆ )2 и VR (Φ) = C0 −k ·(Φ+Φ⋆ )2 , гдеC0 , k, Φ⋆ – некие константы, то дифференциальное включение будет обеспечиватьлинейное преобразование магнитного сигнала в напряжение:V (Φ) = 4 [k (Φ⋆ − δΦ)] · Φ(2.4)в диапазоне сигналов от −δΦ до δΦ с коэффициентом преобразования магнитногопотока в напряжение dV /dΦ = 4 [k (Φ⋆ − δΦ)].Ограничение линейности возникает за счет следующих по степени малостичленов в описании боковых сторон отклика VR (Φ) и VL (Φ), которые в силу четности функции отклика параллельной ячейки удобно записать в виде парабол высших четных степеней – парабол 4-ого и 6-ого порядков:VR,L (Φ) = C0 − k · (|Φ| − Φ⋆ )2 + a4 · (|Φ| − Φ4 )4 + a6 · (|Φ| − Φ6 )6 ,(2.5)где C0 – некая константа; k > 0, a4 , a6 – коэффициенты разложения отклика ввиде парабол второй, четвертой и шестой степеней соответственно; Φ⋆ , Φ4 , Φ6 –вершины этих парабол, причем их значения строго положительны.
Подставляя32выражение (2.5) в (2.3), получаем6 :[35]V (Φ) = 4 k (Φ − δΦ) − 2a4 (Φ4 − δΦ) − 3a6 (Φ6 − δΦ) ·Φ −|{z}α1[]3− 8 (Φ4 − δΦ) + 5a6 (Φ6 − δΦ) ·Φ3 − 12a6 (Φ6 − δΦ) ·Φ5|{z}|{z}α⋆(2.6)5α3Из полученного выражения видно, что нелинейный вклад поправки 4-ого порядкав дифференциальный отклик становится равным нулю при смещении магнитногопотока δΦ равного Φ4 . Аналогично, нелинейный вклад от поправки 6-ой степениисчезает при δΦ = Φ6 .Найдем выражение для линейности дифференциальной ячейки однотоновымметодом. Для этого в выражении (2.6) в качестве сигнала Φ следует задать гармонический сигнал Φ = A · sin(ωt) частоты ω и амплитудой A:V (t) = α1 · A sin (ωt) − α3 · A3 sin3 (ωt) − α5 · A5 sin5 (ωt) =[][]α3 A3 5α5 A53α3 A3 5α5 A5= α1 A −−· sin (ωt) ++· sin (3ωt) −48416α5 A5−· sin (5ωt) .16(2.7)Тогда амплитуда основной гармоники B1 выражается как:[35]B1 = 4 k (Φ − δΦ) − 2a4 (Φ4 − δΦ) − 3a6 (Φ6 − δΦ) · A −[]153− 6 (Φ4 − δΦ) + 5a6 (Φ6 − δΦ) · A3 − a6 (Φ6 − δΦ) · A5 ,2⋆(2.8а)а амплитуды третьей и пятой гармоник как:[B3 = 2 (Φ4 − δΦ) + 10a6 (Φ6 − δΦ)3]· A3 +15a6 (Φ6 − δΦ) · A5 ,43B5 = − a6 (Φ6 − δΦ) · A5 .4(2.8б)(2.8в)Для линейности дифференциальной квантовой ячейки, определенной однотоно6Далее везде, если не указано обратное, выражения записаны для рабочей области −δΦ ≤ Φ ≤ δΦ.33вым методом, согласно (2.1) можно записать()B1B1Lin1 == 20 lgдБ.max {B3 ,B5 }max {B3 ,B5 }(2.9)При рассмотрении идеализированного случая малых индуктивностей (l = 0)для функции отклика напряжения одного плеча дифференциальной квантовойячейки можно использовать аналитическое выражение [A10, 76, 77]:√(VR (Φ) = IC RNгде IC =N∑IBIC)2− |SN (Φ)|2 ,Ic,k – критический ток плеча, RN =k=11NN∑(2.10)Rn,k – нормальноеk=1Ic,k , Rn,k – критическийсо-противление плеча, N – число переходов в плече,токи нормальное сопротивление k-ого джозефсоновского перехода, IB – общий токсмещения плеча, SN – структурный фактор[]k−1N2πi ∑1 ∑ Ic,kSN (Φ) =expΦm ,NICΦ0 m=1(2.11а)k=1Φm – поток в m-ю ячейку, Φ =N∑Φm – полный поток, приложенный к пле-m=1чу.
В случае, когда плечо представляет собой регулярную параллельную цепочку,структурный фактор будет иметь следующий вид:[]N1 ∑ Ic,k2πi (k − 1)ΦSN (Φ) =exp.NICΦ0 N − 1(2.11б)k=1При достаточно большом числе переходов N ≥ 10 боковая сторона идеализированной параллельной цепочки при токе смещения, равном критическому току, аппроксимируется параболой, начиная с центра пика отклика, т.е. начиная отΦ = 0 (см.
рис. 2.3а).Численное моделирование плеч реальных дифференциальных ячеек показало,что в случае практически достижимых индуктивностей связи джозефсоновскихэлементов в параллельных цепочках l ≈ 0,3 . . . 0,7, отклик плеч ячейки можетбыть так же близок к параболическому виду, обеспечивая высокую линейность34результирующего отклика дифференциальной ячейки. Наилучшие результаты дляреальных дифференциальных ячеек могут быть получены, как будет показано вразделе 2.2.3, при относительно небольших индуктивностях связи l < 0,7.
Придальнейшем увеличении нормированной индуктивности l форма отклика параллельной цепочки ухудшается за счет уменьшения числа джозефсоновских переходов, участвующих в динамическом процессе.Основной пик отклика напряжения реальных ячеек (l ̸= 0) существенно шире,чем в случае нулевых индуктивностей, и содержит две области возможной параболической аппроксимации с различными параметрами, которые показаны на рисунках 2.3б и 2.3в. Первую из этих областей можно рассматривать как трансформированную область аппроксимации, существовавшую в случае l = 0.
Небольшое увеличение тока смещения (приблизительно на 4% − 6% больше критического, т.е. до IB = 1,06 · IC ) позволяет сместить начало этой области ближе к точкеΦ = 0. Важно отметить, что в этой области аппроксимации вершины параболчетвертой и шестой степени Φ4 и Φ6 почти совпадают, поэтому, задавая величинусмещения плеч ячейки равной δΦ ≈ Φ4 ≈ Φ6 , можно получить высокую линейность отклика дифференциальной ячейки.Вторая область возможной параболической аппроксимации, которая появля-1.01.01.00.80.80.80.80.80.80.80.80.80.60.60.60.60.60.60.60.60.60.40.40.40.40.40.40.40.40.40.20.20.20.20.20.20.20.20.2c1.01.01.0V/VcV/VV/Vc1.01.01.06664* **440.00.00.00 001 11/ //(a)(а) (a)(a)60.00.00.02 220 00664* **441 112 22/ //(b)(b)(b)(б)0.00.00.03 3340 00446661 112 22* **3 33/ //(c)(c)(c)(в)Рисунок 2.3 – Параболические аппроксимации (2.5) боковой стороны отклика параллельной цепочки из 10 джозефсоновских элементов, рассчитанные для идеализированной (l =0) цепочки при токе смещения равном критическому току IB = IC (а) и практической цепочки с индуктивностями связи джозефсоновских элементов l = 0,5 дляпервой (б) и второй (в) областей возможной аппроксимации при токе смещенияIB = 1,06IC .
Отклики напряжения показаны штриховой линией, основная парабола (второго порядка) аппроксимации показана тонкой сплошной линией, полнаяаппроксимация – сплошной жирной линией. Φ⋆ , Φ4 , Φ6 – вершины парабол второй,четвертой и шестой степеней соответственно.35ется при l ̸= 0, практически не чувствительна к изменению тока смещения, авершины поправок 4-ой и 6-ой степени практически всегда разнесены, что не позволяет достичь высокой линейности дифференциального отклика в этой областиаппроксимации.Рассмотрение в рамках аппрокисмационной модели позволяет сформулировать фундаментальное положение, лежащее в основе дифференциальных квантовых ячеек: для достижения высоколинейной функции отклика напряжения навнешний магнитный сигнал следует выбрать некую рабочую точку по смещениюмагнитного потока δΦ, в которой поправки четвертого и шестого порядков (одновременно) становятся малыми, степень этой малости и определяет результирующую линейность.
При отклонении величины смещения магнитного потока отзначения δΦ ≈ Φ4 ≈ Φ6 линейность отклика напряжения начнет уменьшаться.Более точный анализ линейности, позволяющий, в том числе, решить задачу оптимизации параметров, следует проводить на основе численного анализа сприменением спектрального подхода исследования линейности. Подробнее спектральный подход к численному анализу линейности рассмотрен в Приложении А,в следующих разделах приводятся только результаты такого анализа.2.2.2. Дифференциальная квантовая ячейка с нулевыми индуктивностямисвязиРассмотрим дифференциальную квантовую ячейку в пределе нулевых индуктивностей. В этом случае для функции отклика плеча ячейки можно использоватьвыражения (2.10)–(2.11).На рисунке 2.4а показана зависимость линейности функции отклика дифференциальной ячейки на основе параллельной цепочки из двадцати переходов отмагнитного потока смещения δΦ, рассчитанная с использованием численных методов в соответствии с однотоновым методом анализа.
Ток смещения IB считается равным критическому току IC . Линейность рассчитана для различных амплитуд входного гармонического сигнала, составляющих 30%, 50% и 70% от полного размаха отклика ячейки по потоку. Линии на рис. 2.4а ограничивают областилинейности для каждой из указанных амплитуд сигнала. На рисунке 2.4б пунктиром показана зависимость линейности в оптимальной точке ΦOp по магнитномусмещению (определенной как величина магнитного смещения, при которой дляамплитуды входного сигнала A = 50% от полного размаха отклика ячейки по36100N=20150l=090N=10N=20I =IBC30%13050%80,,70%110709060l=0I =IB70500.0250.0300.035/0C=Op0.00.2110l=0CN=1050%100N=2090,,N=5I =I807070-1%0%1%((в)1.0Max2%-)/OpN=20Regularl=0SQIFI =IBC908060-2%0.8(б)1101000.6/(а)B0.4(N-1)60-2%-1%0%1%(Op2%-)/OpOp(г)Рисунок 2.4 – Характеристики линейности дифференциальной квантовой ячейки с нулевыми индуктивностями связи при токе смещения IB = IC . (а) Зависимость линейности отсмещения по магнитному потоку δΦ дифференциальной квантовой ячейки с нулевыми индуктивностями с N = 20 переходами в каждом плече для различных амплитуд входного гармонического сигнала, составляющих 30%, 50% и 70% от полного размаха отклика ячейки по потоку.
(б) Пунктиром показана зависимость линейности в оптимальной точке ΦOp по магнитному смещению (определенной каквеличина магнитного смещения, при которой для амплитуды входного сигнала 50%достигается максимальная линейность) от амплитуды сигнала Φ/ΦM ax на входе дляN = 10 и N = 20, где ΦM ax – полный размах отклика ячейки по потоку. Сплошной линией показана результирующая линейность, определяемая минимальной линейностью сигнала с амплитудой меньшей, чем максимальная амплитуда входного сигнала. (в) Зависимость линейности от относительного магнитного смещенияδΦ − ΦOp /ΦOp для различного числа переходов (N = 5, 10, 20) в плече дифференциальной ячейки.(г) Зависимость линейности от относительного магнитного смещения δΦ − ΦOp /ΦOp для регулярной (regular) цепочки переходов и СКИФ-структуры.37потоку достигается максимальная линейность) от амплитуды сигнала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
