Диссертация (1104762), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Для решения задачи целесообразно использовать такой универсальный программный комплекс какCOMSOL [105], разработав методику его корректного применения для сверхпроводниковых микро- и наноструктур.В отличие от случая постоянного тока в сверхпроводнике, переносимого бездиссипативно конденсатом куперовских пар электронов, в высокочастотном электромагнитном поле кроме основной сверхпроводящей компоненты плотности то-122ка js присутствует также нормальная компонента тока jn , носителями которой являются квазичастицы (нормальные электроны).
Поэтому на переменном (высокочастотном) токе сверхпроводник можно характеризовать конечной по величинекомплексной проводимостью [19, 103]:σ = σ1 + iσ2 ,(Б.7)где реальная часть σ1 обусловлена существованием нормальной компоненты тока,а мнимая часть σ2 – сверхпроводящей компонентой. При условииωτ ≪ 1(Б.8)(ω – частота тока, τ – среднее время свободного пробега электронов), котороепрактически всегда выполняется, комплексная проводимость сверхпроводникаσ=nn1σn − i.nµ0 λ2L ω(Б.9)Конечная величина проводимости позволяет формально использовать закон Омаj =σ·E(Б.10)в качестве материального уравнении в дополнение к системе уравнений Максвелла⃗⃗ = µµ0⃗j + µεµ0 ε0 ∂ E ,rot B∂t⃗⃗ = − ∂B ,rot E∂t⃗div B = 0,⃗ = ρ/εε0 ,div E(Б.11)(Б.12)(Б.13)(Б.14)где ε0 – электрическая постоянная вакуума, ε и µ – относительные электрическаяи магнитная проницаемости среды, j – плотность электрического тока, ρ – плотность электрического заряда. При этом полагается линейная связь⃗ = εε0 E,⃗D⃗ = µµ0 H.⃗B(Б.15)123Решение задачи воздействия высокочастотной электромагнитной волны на проводник с комплексной проводимостью (Б.9) дает комплексную величину скинслоя:δ = λL (1 + i).(Б.16)В свою очередь, это означает что при выполнении условия (Б.8) электромагнитноеполе проникает в сверхпроводник, как и постоянное магнитное поле, на глубинупроникновения λL .
При этом закон затухания высокочастотного электромагнитного поля в сверхпроводнике имеет неволновой характер: H ∝ e−x/λL eiωt , в товремя как в проводнике затухание высокочастотного электромагнитного поля вскин-слое имеет волновой характер: H ∝ e−x/δ eiωt−x/δ .Изложенные результаты позволяют предложить два подхода к трехмерномучисленному моделированию сверхпроводниковых микро- и наноструктур в полевысокочастотной электромагнитной волны с помощью программного продуктаCOMSOL или аналогичного ему.Первый подход основан на моделировании сверхпроводника гипотетическимпроводником со сверхвысокой величиной проводимости σ, при которой толщинаскин-слоя()1/22(Б.17)δ=ωσµ0будет равна глубине проникновения λL ≈ 40 .
. . 100 нм.Второй подход основан на моделировании сверхпроводника идеальным проводником, задание и использование которого возможно в рамках программногопродукта COMSOL и других подобных программных пакетах.Б.1. Модель – проводник со сверхмалыми потерямиЗадавая частоту f = ω/2π, по формуле (Б.17) можно рассчитать величинупроводимости, при которой толщина скин-слоя δ будет равна глубине проникновения λL . Для частоты f = 1 ГГц и λL ≈ 40 .
. . 100 нм получаем следующуювеличину проводимости: σ ≈ (15 . . . 2,5)·1010 см/м (для сравнения, проводимостьмеди σ|Cu ≈ 5 · 107 см/м). При моделировании сверхпроводника на основе ниобия с глубиной проникновения λL ≈ 40 нм необходимо задавать проводимостьσ ≈ 1,5 · 1011 см/м.При выполнении численного моделирования сверхпроводниковых микро- и124наноструктур на основе очень тонких пленок, когда толщина пленок d ∼ λL , такой подход является не только вполне оправданным, но и наиболее корректнымпри использовании программного продукта COMSOL и подобных ему вычислительных пакетов.В то же время, основная часть устройств сверхпроводниковой электроники создается на основе относительно толстых сверхпроводниковых пленок, когда d >λL .
Это позволяет использовать сверхпроводящие пленки в качестве сверхпроводящего экрана для уменьшения индуктивностей пленочных структур толщинойd > λL за счет размещения их над сверхпроводящим экраном. Именно такиесверхпроводниковые микро- и наноструктуры представляют наибольший интерес для данного проекта, для создания активных электрически малых антенн наоснове сверхпроводящих квантовых решеток.В случае, когда толщина d используемых пленочных сверхпроводников заметно превышает глубину проникновения λL , моделирование сверхпроводника проводником со сверхвысокой проводимостью неоптимально, поскольку вычислительная задача становится неоправданно громоздкой, требующей слишком большого объема вычислений (как времени вычислений, так и задействованного объема оперативной памяти).
Это связано с тем, что при выполнении численного трехмерного моделировании используемая пространственная сетка должны иметь минимальный пространственный шаг ∆z (и соответственно величина шага по времени ∆t) существенно меньше, чем наименьшая характерная величина моделируемого объекта, в данном случае, глубина проникновения λL . В то же время,линейный размер Z полного объема пространства, в котором выполняется численное моделирование (и строится пространственная сетка), должен существенно превышать размер моделируемой сверхпроводниковой структуры D, а такжебыть больше длины электромагнитной волны λW или, по крайней мере, порядкаэтой длины. Таким образом, должно выполняться условие∆z ≪ λL ≪ d ≪ D ≪ Z.(Б.18)Это неравенство транслируется в большое число узлов пространственной сетки спостоянным шагом ∆z, так что задача будет требовать чрезмерно больших объемов оперативной памяти и времени вычислений.
Существенное уменьшение числа узлов может быть достигнуто за счет применения пространственной сетки спеременным шагом, то есть использования системы встроенных сеток с шагом125от самого большого ∆z ≪ Z до самого маленького ∆z ≪ λL . В то же время,сопряжение сеток должно быть таким, чтобы обеспечивать сходимость алгоритма построения численного решения в данном пространстве. Чем больше различаются минимальный и максимальный пространственные шаги сетки, тем сложнее добиться генерации оптимальной сеточной структуры. Таким образом, генерация такой сеточной структуры превращается в сложную задачу, решение которой занимает большое время, которое может оказаться основным при выполнении численного моделирования в случае сильного неравенства минимального имаксимального шагов пространственной сетки.
Значительное уменьшение степени неравенства минимального и максимального шагов пространственной сеткиможет быть получено при моделировании сверхпроводника идеальным проводником.Б.2. Модель – идеальный проводникМодель идеального проводника присутствует в программном продуктеCOMSOL и ряде других программных пакетов. Такой объект реализуется путемзадания на его поверхности соответствующих граничных условий, которые отвечают условию нулевого значений магнитного и электрического полей внутриобъекта, а также нулевой тангенциальной составляющей электрического поля наповерхности этого объекта.
В этом случае плотность поверхностного тока на поверхности идеального проводника равна линейной плотности тока в приповерхностном слое сверхпроводника (плотность Мейсснеровского тока в сверхпроводнике максимальна на поверхности и убывает экспоненциально в приповерхностном слое):∫∞j = j0 · e−x/λL dx = j0 λL .(Б.19)0В случае относительно толстых пленок, применение модели идеального проводника будет означать, что Мейсснеровкий ток, протекающий в λL -слое, будетмоделироваться поверхностным током, что равносильно λL → 0. В то же время,задача построения трехмерной сетки с переменным шагом существенно упрощается, поскольку уменьшается разница между максимальным шагом и минимальным шагом, который теперь должен быть много меньше лишь толщины пленки d,то есть ограничение для максимального шага остается прежним (∆z ≪ Z), а для126минимального шага ограничение слабее на одно неравенство:∆Z ≪ d ≪ D ≪ Z.(Б.20)Именно эта модель используется в дальнейшем при выполнении трехмерногочисленного моделирования сверхпроводящих квантовых ячеек, поскольку изучаемые сверхпроводниковые микро- и наноструктуры формируются на основе относительно толстых пленок (порядка 300 нм) для реализации и использованияв этих структурах свойств сверхпроводящих экранов и пленочных структур надэкраном.Б.3.
Основные положения методики численного моделированияОсновные положения методики численного моделирования могут быть краткосформулированы следующим образом.1. Линейный размер Z области пространства Z, в котором численным методомстроится решение (электромагнитное поле, пространственные токи) должнобыть много больше, чем максимальный линейный размер D сверхпроводникового объекта в поле волны, а также много больше длины волны или порядкадлины волны, если используются соответствующие специальные граничныеусловия для пространства моделирования.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
