Самосопряженные гамильтонианы Дирака с сингулярными внешними потенциалами в 2 1 измерениях (1104744), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Электрически заряженные фермионы нулевой массыв кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измеренияхпосвящена построению всех самосопряженных гамильтонианов Дирака длязаряженного безмассового фермиона в кулоновских (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях и анализу их спектров. В конце главы исследованы локальные плотности состояний (ЛПС)как функции энергии и параметров задачи.13Особенностью энергетического спектра безмассового фермиона в графене, в присутствии кулоновских примесей, является наличие виртуальных(резонансных) связанных состояний.
Эти состояния нетривиальны тем, чтов безмассовом случае нет естественного масштаба длины, характеризующего область локализации связанных состояний, и что в области сверхкритических эффективных зарядов (q > qc ) в системе имеется бесконечное числоквазистационарных уровней, обусловленных дальнодействующим характером кулоновского потенциала.Оказывается, что условие существования виртуальных связанных состояний имеет тот же самый вид, что и условие (22). В четвертой главе диссертации рассматриваются фермионы с нулевой массой (m = 0), поэтому выражение (22) становится существенно комплексным.
Запишем E = |E|eiτ .Спектр виртуальных связанных состояний определяются двумя уравнениями, одно из которых фиксирует параметры поляrπ1|Γ(−ia − iσ)| a + στ= −,(30)ln2 2σ|Γ(−ia + iσ)| a − σа второе нумерует уровни виртуальных связанных состоянийsσ2σ ln(|E|/E0 ) = 2θ − π(1 + 2n) − 2σC + arctg +ν∞ X2σ2σ2σj+.− 2 arctg+ arctg 22jjj+νj=1(31)Здесь E0 – положительная константа, n = 0, 1, 2... и 0 ≤ θ ≤ π.При σ ≪ 1 энергетический спектр виртуальных связанных состоянийопределяется выражениемEn,θ,s = E0 cos(τ ) exp[−π(1+2n)/2σ+θ/σ−(2C−s/(2a)+Reψ(1−ia))], (32)где теперь τ ≈ π/2 − 1/2a + Imψ(ia) и ψ(z) – логарифмическая производная гамма-функции. Мнимая часть En,θ,s определяет ширину виртуальных резонансных состояний или обратное время жизни (скорость распада). Спектр (32) имеет существенно особую точку при q = qc (σ = 0).
Изформулы (30) следует, что sin τ ∼ 0.2 cos τ при σ ≪ 1, поэтому ширинарезонансных состояний исчезающе мала, следовательно, они практическиявляются связанными состояниями.Экспериментально проверяемыми физическими величинами, например,с помощью метода сканирующей туннельной спектроскопии, являются14ЛПС как функции энергии и параметров задачи.
ЛПС на единицу площади определяется выражением∞X|f1 (r, E, l)|2 + |f2 (r, E, l)|2.N (E, r) =2πr|Cl (E)|2(33)l=−∞2.0HaL2.0HbL1.5Θ=0.5Π1.5Θ=0.5ΠNHE,rLNHE,rLЗдесь f1 (r, E, l)/Cl (E) и f2 (r, E, l)/Cl (E) - дублеты, нормированные (наполуоси с мерой dr) путем наложения условия ортогональности по энергии,а Cl (E) является коэффициентом нормировки. Явные выражения ЛПС дляразличной области эффективных зарядов приведены в диссертации.Оказывается, что ЛПС проявляют пики при низких положительныхэнергиях уже в докритической области эффективных зарядов q < qc(рис.
1), поскольку уже во второй некритической области допустимы и регулярные, и сингулярные (при r → 0) решения уравнения Дирака. Виднотакже, что притягивающий кулоновский потенциал приводит к уменьшению спектрального веса в отрицательной области энергии и противоположное происходит в положительной области. Данный эффект проявляется сильнее вблизи кулоновского центра.
На рис. 2 видно существованиеединственного резонанса в отрицательной области энергии вблизи E ≈ 0,когда σ → 0, θ = π/2, и только для значения спина s = 1, что хорошосогласуется с выражением (32). На рис. 3 изображены ЛПС при a = 4/3,µ = 0.1. Видно, что для положительной области энергии, ЛПС свойственноосциллирующее поведение, также здесь можно четко увидеть образованиерезонансов в ЛПС, которые непосредственно связаны с рождением позитронов в квантовой электродинамике.Θ=0.25Π1.0a=0, Μ=00.50.0-10Θ=0.25Π1.0a=0, Μ=00.5-50510E0.0-10-50510EРис.
1: ЛПС N (E, r) при a = 0.3, b = 0, µ = 0.1, s = 1. (a) r = 0.3, (b) r = 1; длясравнения на графиках приведена свободная плотность состояний при a = 0, µ = 0(штриховая линия).15HaL2.0HbL1.5Θ=0.5Π1.5Θ=0.5ΠNHE,rLNHE,rL2.0Θ=0.25Π1.0a=0, Μ=00.50.0-10Θ=0.25Π1.0a=0, Μ=00.5-5050.0-1010-5E0510EРис. 2: ЛПС N (E, r) при a = 0.40001, µ = 0.1, b = 0, r = 1. (a) s = 1, (b) s = −1.1.51.02.0HaLr=0.3NHE,rLNHE,rL2.0r=10.50.0-101.51.0HbLr=0.3r=10.5-50510E0.0-10-50510EРис.
3: ЛПС N (E, r) при a = 4/3, µ = 0.1, b = 0, s = 1. (a) θ = 0.25π, (b) θ = 0.5π.В Заключении сформулированы основные положения диссертации,выносимые на защиту:1. Найдены все самосопряженные дираковские гамильтонианы в кулоновских (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1измерениях во всех четырех областях эффективного заряда.
Проведенполный спектральный анализ полученных самосопряженных дираковских гамильтонианов для каждой области эффективных зарядов. Получены значения параметра самосопряженного расширения, при котором дискретный спектр энергий достигает границы нижнего континуума энергий E = −m. Показано, что эффективный заряд зависитот магнитного потока Ааронова-Бома и спина частицы.2. Получены выражения для амплитуды и сечения рассеяния релятивистских фермионов потенциалом Ааронова-Бома, которые явно зависят от спина фермиона и параметра самосопряженного расширения.Амплитуда и сечения рассеяния обобщены на случай трех пространственных измерений, откуда можно сделать вывод о том, что cпин16электрона в начальном состоянии может влиять на процесс рассеяния,только если его проекция на плоскость рассеяния отлична от нуля.3.
Проведено математически строгое квантово-механическое описаниедвижения фермиона нулевой массы в кулоновских и Ааронова-Бомапотенциалах в 2+1 измерениях (случай графена). Для этого построены самосопряженные дираковские гамильтонианы в указанных полях, и проведен их спектральный анализ. Впервые выведены уравнения, определяющие “дискретный спектр” и обратное “время жизни”(скорость распада) квазистационарных состояний, и найдены решенияэтих уравнений в физически интересных случаях.4. Получены аналитические выражения для ЛПС в зависимости от спинафермиона и параметра самосопряженного расширения.
Анализ ЛПСпоказал, что спин фермиона и параметр самосопряженного расширения может существенно влиять на поведение ЛПС.Основное содержание диссертации и результаты выполненных исследований опубликованы в следующих работах.1. Khalilov V.R., Lee K.E. Bound fermion states in a vector 1/r andAharonov-Bohm potentials in (2 + 1) dimensions // Mod.
Phys. Lett. A.— 2011. — Vol. 26. — P. 865.2. Khalilov V.R., Lee K.E. Fermions in scalar Coulomb and Aharonov-Bohmpotentials in 2 + 1 dimensions // J. Phys. A. — 2011. — Vol. 44. — P.205303.3. Халилов В.Р., Ли Ки Ын. Дискретные спектры дираковского гамильтониана в кулоновских потенциалах и потенциалах Ааронова-Бома в2 + 1 измерениях // Теоретическая и математическая физика. —2011. — Т.
169. — № 3. — С. 368-390.4. Khalilov V.R., Lee K.E., Mamsurov I.V. Spin-polarized fermions in anAharonov-Bohm field // Mod. Phys. Lett. A. — 2012. — Vol. 27. — P.1250027.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
